啊。。。這個都成月經問題了，各個論壇上都會吵一遍/幾遍。。我也吵過幾次，淡定了一些，既然壇子里的兄弟們感興趣我也就說說我的看法。 y- S- @' _0 ]" g, c: N
有人說這個題是能看出人學沒學過高數的分水嶺，其實不然。這其實只關于對于極限思想的理解而已。。
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其實0.999...999是嚴格=1的。4 w& }; l2 ?+ E; F2 a
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一個簡單的證明：% K. L9 U6 z1 s8 q% I
& C9 `+ Z# M8 ]' _! G【定理】在任意兩個不同的有理數之間必定存在著無窮多個有理數。; }; t3 U4 _* O9 o5 `! W v# {+ h$ J
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先證定理：a和b兩有理數，如果a!=b,那么一定存在n個c,c=m*(b-a)/n+a, m定義域（0，n)
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5 C1 T6 o/ t7 T- ^- m. A- }9 _- m% D顯而易見吧？意思就是它們之間的小區間可以無限再分，從而構成無窮多新的有理數。5 ?( y) x7 x9 E# K$ T
5 ]$ A" l& s( H/ x回到題目：0.999...999和1是不是不同？
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% R, h7 i5 j5 K: Z反證法，假設不同： 那么一定存在a,使a=（1+0.999...999）/2
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這個數是什么呢？那一定是有一個小數，比0.999...999擁有更多的9. 那是不是表示，這個新的數就應該是你之前的那個數？" j k/ y, {/ L \
" f; e0 u3 y; s. T9 H4 Q" d! @所以說明了什么？要么存在一個新數取代了原來的數，要么兩數相等。如果新數取代了原來的數，證明你的9還不夠多。8 R$ M4 i: u% d) g
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所以，0.999...999和1只能相等，證畢1 J8 `. F, [( @. [7 _
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+ r7 @" D9 m, V8 x3 J" @4 _5 p更簡單的證明方式也有, 壇子里不少大俠也說過了：
) R2 Q& Z$ C9 q- s9 D8 n. G1/3=0.33..33， 這個居然還有人質疑？小數（或者說根本不存在小數）和分數是一一對應的，或者說根本就是相等的，這個也不需要質疑的好吧？后面就不證了，有想杠一下的再說。
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9 b0 e4 v) h h' Y: u再細說一下第三種。
9 n. V) \- W+ ?* k% T5 D8 H0.999...999*10=9.999...999( o3 `( k! X5 z# h: ?
這個式子成不成立？顯然成立。但是是不是有一種右邊小數點少一個9的感覺？為什么？( s" W _& u3 t' _ E' E
伽利略悖論有一句話：正偶數和自然數一樣多。' b' ]8 ~% s) W0 n7 J0 u
解讀過來，在無窮的層面上，每一個自然數都和他的2倍一一對應，有n個自然數，就有n個正偶數。& Z. \* |2 e- L8 j* z& H
（多提一句：上例可以一一對應，但涉及無理數和實數則不行，實數對于有理數屬于高階包含，不存在映射關系了）1 x4 f& E- z6 S6 h: x1 k
同理，每一個左邊的9，都與右邊的等位的9(其實是前一個)一一對應，相當于編程里的n=n+1,沒問題吧？
& ?% E$ _( g) a3 V因為是循環小數，數位后是n位，在無限的概念下，n和n+1沒有區別。這一點可能不太好理解，但如果你理解了上面的伽利略悖論，就很好懂了。
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另外說什么無限小數不能計算的，純屬扯淡。無限小數是位數不限，不是大小不限。再無限的小數，他的值也是有限的，不能混淆他和無窮大之間的區別。; E ]& l8 ^ I
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大家都是工程師，感覺理解能力和接受能力應該高于各門戶網站的網友群體吧。有問題或者不同意見，歡迎交流。! N& A8 u4 v; X* h7 h$ ~* ?* c
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樓主: 冷水黃金
發表于 2021-5-20 16:38:35
這個厲害的
