讀書筆記之三---謹慎使用傳遞性

Pascal

這是筆記系列之三。

之一是
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- d( Y9 I# w, O3 ], E
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之二是

" J7 G: f& b! B6 e& Z- o$ ]5 khttp://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=364734
1 W7 C- r1 X& ~2 l2 k9 G$ S

1.在數學中，我們普遍使用傳遞性，如在實數范圍內

a=b,b=c,則a=c

a>b, b>c,則a>c

. U( f: z" H2 H  n, ?4 v$ `! L

2.但在現實生活中，使用傳遞性則要謹慎。

讓我們看看這個問題：有一個2人游戲，甲乙二人來玩，每個人獲勝的概率都是50%，也就是說此游戲對甲乙二人來說是公平的；同樣，此游戲對乙丙二人來說也是公平的。我們能否推導出---此游戲對甲丙二人來說也是公平的？

0 D4 ]' t6 p# n8 n, ^" B, M

3. 答案是否定的---即此游戲對甲丙二人來說不一定是公平的。

9 q+ r' I9 E0 {% \& d

4. 我們可以考察以下例子，比如說這是一個扔硬幣的游戲，以硬幣向上的數字大小定輸贏，即比較硬幣上面的數字，數字大的贏。硬幣非常薄，也就是說硬幣不會立在桌子上。

A.甲的硬幣一面是數字7，一面是數字3；乙的硬幣一面是數字9，一面是數字1。乙如果扔出9，必勝；扔出1則必輸，因此乙獲勝的概率是50%，同樣甲獲勝的概率也是50%，即此游戲對甲乙二人來說是公平的。

B.丙的硬幣一面是數字6，一面是數字2；我們同理可得乙獲勝的概率是50%，同樣丙獲勝的概率也是50%，即此游戲對乙丙二人來說也是公平的。

C.但是，如果甲丙2人來玩，會發生什么情況呢？游戲還是公平的嗎？

( c1 k. N) c. y5 `* L5 l

伏虎降龍

離散變量，好像是不公平。
但是如果是連續變量呢？根據“實數集”那些理論，是否會導出公平？
( A* F, C; c& L( e請大蝦分析。

原諒我今天

這個……用斗獸棋來解釋不是更形象嗎？

Pascal

伏虎降龍 發表于 2014-8-16 21:54
離散變量，好像是不公平。
但是如果是連續變量呢？根據“實數集”那些理論，是否會導出公平？
2 X! i* b/ Z0 K2 h; n) V* O請大蝦分析 ...

如果是同樣的概率分布，但數學期望值不同的話，還是不公平的。
! a# C# r8 S) A6 i4 n, R

Pascal

我們看看甲丙2人來玩，會發生什么。
丙扔數字2，則必輸；扔數字6，有一半機會贏。考慮到扔2、6機會是一樣的，就是說甲丙玩這個游戲，丙贏的概率只有25%，而甲贏的概率有75%。
7 k* e2 e  i, U2 u/ E" T所以，對甲丙二人來說，這不是一個公平游戲。

Pascal

或者我們還可以讓題目更簡單點，乙的硬幣不變，還是數字9和1；
甲硬幣變成數字7和6，丙硬幣變成數字4和3。
6 P) c2 ]; _7 e$ v. G* h! Z* Z對甲乙來說，還是一個公平游戲，勝率各一半；對乙丙來說，也是一個公平游戲，勝率各一半。
只是如果甲丙來玩的話，甲總是贏，丙總是輸，這就是個絕對不公平的游戲了。

122747557

能用傳遞性的都是要在同一性質下的吧！

Pascal

上面說了公平不能傳遞，“原諒我今天”大俠還提到了足球、斗獸棋的例子。
9 i5 S3 K6 ]- i- B下面我們來看看不等量--經濟學上叫偏好--能否傳遞。
0 L5 G3 Q1 N3 y+ C) b1. 華夏國某鎮為推廣旅游經濟，想選一個鎮花出來，經過充分的調查研究，相關部門推出了3種候選花---油菜花、杜鵑花和桂花。
2. 選舉人為該鎮全體居民，并且我們還假定，對每個人來說，偏好可以傳遞；即如果某人喜歡油菜花多于杜鵑花、喜歡杜鵑花多于桂花，那么此人必定喜歡油菜花多于桂花。也就是說個體選擇有傳遞性。
3. 經調查發現有2/3的居民喜歡油菜花多于杜鵑花，有2/3的居民喜歡杜鵑花多于桂花。
6 U( `$ d* h. B# o! |: E4. 能否得出結論---這次鎮花選舉中油菜花將勝出？

Pascal

能否得出結論---這次鎮花選舉中油菜花將勝出？
還真不一定。
0 O) U! x2 X1 H2 ]% C  s( k' y
1. 比如該鎮有1/3居民對花的偏好是最喜歡油菜花，其次杜鵑花，最后桂花；我們把這個群體稱為A群（油菜花，杜鵑花，桂花）。
   有1/3居民對花的偏好是最喜歡杜鵑花，其次桂花，最后油菜花；我們把這個群體稱為B群（杜鵑花，桂花，油菜花）。
* B( f2 T% {" N& U! o+ o% \$ F   有1/3居民對花的偏好是最喜歡桂花，其次油菜花，最后杜鵑花；我們把這個群體稱為C群（桂花，油菜花，杜鵑花）。
2. 現在油菜花PK杜鵑花，A、C都是喜歡油菜花多于杜鵑花，只有B不是；即2/3的居民喜歡油菜花多于杜鵑花。
2 M+ ^9 T8 H" T7 a   杜鵑花PK桂花，A、B都是喜歡杜鵑花多于桂花，只有C不是；即2/3的居民喜歡杜鵑花多于桂花。
3. 是不是就可以認為該鎮居民最喜歡油菜花了？別急，我們再來桂花PK油菜花。
$ |; u, o( l/ O2 e4 o4 |- p   桂花PK油菜花，B、C都是喜歡桂花多于油菜花，只有A不是；即2/3的居民喜歡桂花多于油菜花。
$ L4 k8 K0 o5 D. Y4. 2/3的居民喜歡油菜花多于杜鵑花，2/3的居民喜歡杜鵑花多于桂花，2/3的居民喜歡桂花多于油菜花。
   即油菜花優于杜鵑花，杜鵑花優于桂花，而桂花又優于油菜花！
, p2 e& ]* d; Y) i+ }   怎么會這樣！形成連環套了。
* o$ G! C8 C: v- R0 J   

crazypeanut

不同的樣本空間不能混為一談