0.999......到底應(yīng)不應(yīng)該等于1？

zerowing

Pascal 發(fā)表于 2014-6-16 22:47
: W/ @2 D5 }$ E3 x, i8 p& I  ^. ?zero大俠：
, l7 X: e* Y' e. D9 C2 w1 B, N; h1. 數(shù)量比較是不需要具體差值的，也就不存在假定最右一位的說法。比如咱倆來比身高，零俠身高 ...

P大。我感覺討論越來越有意思了。
- G, G- F3 S: f. A8 n/ B8 v1。數(shù)量比較比一定需要差值，因為只要有參照物即可。但是數(shù)值比較不同。可以借用你這個例子。（我沒有那么高啊）。A身高1米8，B身高1米7，這樣兩個人站一起就知道差別。但是如果我們討論二者身高差量同另外一個參照物，比如一顆手雷的比較時，直接的做法是把他們放一起，再比較。而當(dāng)你不能把兩個比較對象直觀的放在一起時呢？或者對比時看參照物的具體位置變動呢？這樣就沒有辦法比較了。或者說，A身高1米71，B身高1米7。這種小差距不能辨識的情況呢？所以我才強(qiáng)調(diào)，不要說1-0.99...的差值一定比0.1小這樣的話，因為這種直觀上的比較不能作為數(shù)學(xué)論證的依據(jù)。同樣的例子就是歌德巴赫猜想。比如1+2=3。如果就是直觀的講的話，那就不需要證明了，不是嗎？
所以，當(dāng)討論數(shù)值比較，特別是差值比較時，你至少是要確定這個值的。
, q/ o' A9 R4 M8 }5 I6 o( f: u3 h2。關(guān)于這句“證明1-0.9...=0只需要證明│ 1-0.9...│ <任意給定正數(shù)就行了”。我感覺我們像是進(jìn)入了一個雞和蛋的哲學(xué)問題中。究竟是先有證明1-0.9...=0還是先有|1-0.9....|<任意給定正數(shù)。哈哈。這么說吧，
. {5 ?8 {9 h; ?$ ]% d4 J# ^* i我們先討論下|1-0.9....|<任意給定正數(shù)這句話。比如我給定一個正數(shù)0.1，你該如何證明1-0.9....小于0.1呢？你可以說，1-0.9=0.1。1-0.99=0.01<0.1。所以，1-0.99...<0.1。但是問題就出來了，你計算前兩個式子的時候，是有限位計算，按找張先生的理論，是有意義的。而問題就出在第三步上。0.99...=0.99嗎？0.99...>0.99嗎？0.99...<0.99嗎？所有的這三個比較式你都不能直接使用，你都必須先要證明一個確定的關(guān)系發(fā)生在0.99..同0.99之間。而如何確定，這就是需要四則運(yùn)算的地方。比如0.99...同0.99在小數(shù)點后的前兩位相同，但0.99..右側(cè)還有數(shù)位。即0.99...=0.99+0.009...，而0.009..>0，所以0.99..<0.99。而這之中，實際上你已經(jīng)在用一次四則運(yùn)算了。所以，說這么多，其實就是一句話，如果拋棄四則運(yùn)算本身，|1-0.9....|<任意給定正數(shù) 這個問題不可證。既然不可證，那么至少你不能用這個式子說明1=0.99...
! L9 N/ f, u) C* a7 Q接著就是1=0.99..的證明，其實你可以去看各種的證明的方法，有級數(shù)計算的，有錯位相減的。但是最終都是在一個進(jìn)行四則運(yùn)算的基礎(chǔ)上。比如說級數(shù)計算的。0.99...=9*(1/10)+9*(1/10)^2....9*(1/10)^n。然后通過等比數(shù)列和法求的
3 M7 ]+ u: Q2 N( g2 k6 ^1 K0.99..=1-lim(1/10)^n=1。而這其中，其實也是在四則運(yùn)算。如果嚴(yán)格按照張先生的理論，那么同樣，9*（1/10）^n是找不到的右位，那么最后的lim(1/10)^n原則上也不應(yīng)該出現(xiàn)。說白了，就是不可證。
總之，通過假設(shè)推論，如果因為找不到右位而否定四運(yùn)算的可行性，那么現(xiàn)有的多數(shù)證明本身都是不成立的。1-0.99...同“任意給定正數(shù)”的比較就成了雞蛋問題。哈哈。
7 ]! \7 @5 d) R2 D4 W& n6 X& g3。我不太明白大俠寫這三個式子同證明1-0.99..的差值和任意正數(shù)的關(guān)系有什么聯(lián)系。
4。我寫的那個式子，希望大俠看全。
3 ]& j: C, g* ]* H7 R3 O  i9 ]3 P1/3+1/3=0.333...+0.333...=0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n+0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n=0+2*3*(1/10)+...+2*3*(1/10)^n=0.6666.....=2/3
$ ~  K; T/ a+ c+ P- G) o8 \% j其關(guān)鍵是第二個等號的右側(cè)。因為那一部分的計算是脫離小數(shù)但卻符合小數(shù)各數(shù)位四則的部分。也就是說，講0.33..級數(shù)話，然后各級數(shù)的分?jǐn)?shù)表達(dá)做加法。換句話說，如果你承認(rèn)這種級數(shù)分?jǐn)?shù)的運(yùn)算方法是對的，這跟直接去計算無限循環(huán)小數(shù)的各數(shù)位是一致的。因為，0.33...+0.33...四則運(yùn)算的時候?qū)嶋H上是0.3+0.3+0.03+0.03+0.003+0.003+....。說白了，無論你是否能找到右位，級數(shù)計算和直接小數(shù)計算都是在這樣進(jìn)行的。唯一讓人疑惑的就是進(jìn)位，但我之前闡述過了，其實進(jìn)位并不是問題。

Pascal

zerowing 發(fā)表于 2014-6-17 00:06
P大。我感覺討論越來越有意思了。
( C+ x; t# R4 `# y8 G1。數(shù)量比較比一定需要差值，因為只要有參照物即可。但是數(shù)值比較不同 ...

8 {7 `( L) k2 _& r7 q1. 數(shù)值比較同樣不需要具體差值。
假設(shè)咱倆穿越下，來到一個古代，那時人們還沒有具體數(shù)的概念，但有多少的概念。零俠你是元帥，統(tǒng)領(lǐng)一大群兵，還有一大群馬。我是你朋友，跑過來看你，你很高興，請我喝酒。然后我問你一個問題，零帥，你到底是兵多呢，還是馬多呢？你回答不了，因為那時不會數(shù)數(shù)，但咱們還是想到了一個辦法，讓每個兵去牽一匹馬。最后有兵沒牽到馬，說明兵多；有馬沒兵牽，說明馬多；以上兩種情況都沒有，說明兵和馬一樣多。
* x  O  _" y  b0 Q6 ~0 g另外從歷史上看，多少的概念比減法概念出現(xiàn)的要早很多。所以說數(shù)值比較不需要具體差值。至于“小差距不能辨識的情況呢”，放大呀，數(shù)學(xué)最擅長這個了。
  q  j3 x+ }6 Z9 l% P& Z2.” 0.99...=0.99嗎？0.99...>0.99嗎？0.99...<0.99嗎？”
( M. L! v' v8 @& s' ?零俠后面有0.333...=0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n+0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n，同樣可以展開0.99.....啊，很容易就能證明0.99...>0.99。不存在雞蛋問題。
3. 下面3個算式只是想說明有些無限小數(shù)是可以運(yùn)算的，只要有定義。
    0.1....-0.1.....=0
    1x0.1....=0.1.....
1 b3 n3 ~$ W3 G/ ]3 j3 u    0.1.....+0=0.1.....
8 X* F2 ^& u& ]  q0 ?; X4. “我寫的那個式子，希望大俠看全。
1/3+1/3=0.333...+0.333...=0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n+0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n=0+2*3*(1/10)+...+2*3*(1/10)^n=0.6666.....=2/3”
0 R+ o& ~$ s* i. c  上面運(yùn)算的實質(zhì)是極限，并沒有定義/證明無限小數(shù)的運(yùn)算規(guī)則。
. Y, H7 M. {5 Q0 D( W5 p6 |  J9 q" J5. “其實進(jìn)位并不是問題。”因為咱們討論的1/3、1/9有點特殊，循環(huán)節(jié)只有1位。循環(huán)節(jié)不同的小數(shù)怎么加？1/3+π怎么加？

zerowing

Pascal 發(fā)表于 2014-6-17 10:09
+ v* z$ Y2 U& x6 {( F) }1. 數(shù)值比較同樣不需要具體差值。
4 Q1 `* D. Z& ^1 |假設(shè)咱倆穿越下，來到一個古代，那時人們還沒有具體數(shù)的概念，但有多少 ...

1。呵呵，你的例子很有意思。但是還是那句話，不能作為一個定理來應(yīng)用于證明。不扯那么遠(yuǎn)的例子，就說1和0.99..的差值，這么說，我們不四則，也不知道差值究竟有多少，然后我給了一個小實數(shù)，0.000....001，在1的前面有n個，或者無限個零。那么你該如何比較這個差值和這個小實數(shù)的大小呢？你可以證明，1-0.99..的有限位差值小于0.1,0.01等等，但是推倒無限位的時候，你既不能通過四則運(yùn)算得到一個實際的差值，又不能通過所謂的觀察法得到差值小于另一個差值的結(jié)論，那么你該怎么辦呢？如果我們把這個推廣到那個人和馬的例子上。比如人很多，馬也很多。前面不斷的有人在牽馬，后面還有很長的隊在等待牽馬，而檢查的人在檢查到一半的時候就已經(jīng)說不清究竟誰牽過馬，誰沒有了。那么這種情況，你還有辦法比較嗎？另外，這個例子其實是在一個參照系下進(jìn)行的。當(dāng)你換了參照系呢？比如那個著名的新龜兔賽跑的例子，烏龜和兔子兩人從一點出發(fā)自東向西跑，裁判是太陽。最后的結(jié)果就是烏龜比兔子跑得快。哈哈。這也是為什么我說這樣的所謂可比性不能作為證明的依據(jù)的原因。
2。呵呵，我希望你再看下我的話。0.99....可以通過級數(shù)展開，但是分?jǐn)?shù)展開的本身實際上等價于小數(shù)逐位展開的本身。換句或說，220就等價于200+20+0, 等價于2*100+2*10+0*1。同樣的，0.3165=0+3*（1/10）+1*(1/10)^2+6*(1/10)^3+5*(1/10)^4也等價于0+3*0.1+1*0.01+6*0.001+5*0.0001。這樣的式子恒等價，因為這是實數(shù)構(gòu)成的基本法則，即逐位安置。而逐位安置本身就是在應(yīng)用四則運(yùn)算。所以，如果說無限小數(shù)不能進(jìn)行四則運(yùn)算，那么同樣的，0.99...就不能寫成0+9*0.1+9*0.01+9*0.001....這種形勢。因為你后面的無限位數(shù)該如何相加呢？是否會有進(jìn)位呢？是否在某一位，9*（1/10）^n=0了呢？既然不能這樣寫，那么還是那個問題，你怎么比較呢？
3。這三個例子其實不是在說無限小數(shù)可以運(yùn)算，而是在說任意實數(shù)的一個通性。這個通性本身跟四則運(yùn)算沒有什么關(guān)系。
4 ?  w( e3 @3 i" }+ r4。那個式子的關(guān)鍵在于逐位安置，然后逐位相加。所以才有2*3*（1/10）的寫法。就像我前面說的，逐位安置是實數(shù)構(gòu)成的基本法則。如果你承認(rèn)這種逐位相加，那么跟你在運(yùn)算0.33...+0.33..的逐位相加有什么區(qū)別呢？只是因為一個是分?jǐn)?shù)的逐位形勢一個是小數(shù)的逐位形勢嗎？這才是這個長等式要表述的問題。跟級數(shù)也好，跟極限也好，都沒有關(guān)系。本質(zhì)是數(shù)字構(gòu)成。
5。我在更早的回復(fù)里提到過，進(jìn)位計算對于無限循環(huán)小數(shù)不是問題，對于無理數(shù)比較麻煩。而實際上，即便不使用小數(shù)形勢進(jìn)行計算，你依舊沒有辦法計算無理數(shù)。比如1/3+Pi，他究竟是多少呢？或者說他究竟等于一個什么像的無限不循環(huán)小數(shù)呢？同樣的，如果你不用1/3的小數(shù)形勢0.33...同Pi的有限小數(shù)形勢比如3.14159進(jìn)行四則運(yùn)算，你有什么辦法從1/3+Pi這個式子中得到一個數(shù)值解嗎？沒有！你不僅得不到一個無限右位的解，也得不到一個有限右位的解。不是嗎？

Pascal

" N+ I! r; s0 \) q

zerowing 發(fā)表于 2014-6-17 14:20
' e& v  g9 R* E3 T; N6 v' U1。呵呵，你的例子很有意思。但是還是那句話，不能作為一個定理來應(yīng)用于證明。不扯那么遠(yuǎn)的例子，就說1和 ...

zero大俠：

1.  故事，而且還是虛擬的故事自然不能當(dāng)定理用。可是我用的方法是可以當(dāng)定理用的。

     因為我在2個集合的元素之間建立起了一一對應(yīng)的關(guān)系。一一對應(yīng)準(zhǔn)則是康托爾集合論的基石，集合論與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的關(guān)系我   
& r2 r  `6 d" c( I8 N     就不說了。

2.  “ 0.000....001，在1的前面有n個，或者無限個零”，無限個零說法是不對的，具體見截圖--最后一位。

3.  “你可以證明，1-0.99..的有限位差值小于0.1,0.01等等，但是推倒無限位的時候，”
      為什么要推到無限位呢？我只要證明│ 1-0.9...│ <任意給定正數(shù)就行了，只要你給定了一個數(shù)，這個數(shù)就固定下來了，我肯
      定能證明│ 1-0.9...│<這個數(shù)，按照實數(shù)系的阿基米德性質(zhì)，就能得到│ 1-0.9...│=0。

4.  “你既不能通過四則運(yùn)算得到一個實際的差值，又不能通過所謂的觀察法得到差值小于另一個差值的結(jié)論，”
; b+ m% p  V: P. `9 k% g      怎么不能得到差值小于另一個差值？見截圖--實數(shù)的比較，來自張筑生的數(shù)學(xué)分析。

      由比較規(guī)則輕松可得0.9....>0.9或0.99或0.999。

5.   實際生活中，如果零俠有個幾萬兵馬，我那個方法確實很難執(zhí)行；如果零俠只有幾十兵馬，幾分鐘結(jié)果就出來了。不過從數(shù)
4 h: d0 b" H& G; I8 [& h      學(xué)上看，幾十兵馬可以用這種方法判別多少？那幾萬兵馬同樣可以用這種方法判別多少！

6.  “0.99...就不能寫成0+9*0.1+9*0.01+9*0.001....這種形式。因為你后面的無限位數(shù)該如何相加呢？”
  Y$ N  n* H& L* e; u% X      為什么要硬加呢？無窮級數(shù)和難道是一項一項加出來的？

7.  “那個式子的關(guān)鍵在于逐位安置，然后逐位相加”

      逐位安置我承認(rèn)，可為什么要逐位相加呢？理由同第6點。

8.  “如果你不用1/3的小數(shù)形勢0.33...同Pi的有限小數(shù)形勢比如3.14159進(jìn)行四則運(yùn)算，你有什么辦法從1/3+Pi這個式子中得到一個
      數(shù)值解嗎？”

     有一個很用力的近似計算工具，叫逼近。數(shù)值解，可以呀，你要精確到幾位小數(shù)？

     零俠可以回顧下人類認(rèn)識π的歷史，從周三徑一開始，雖然人們不知道π具體數(shù)值，甚至不知道π是無理數(shù)，但已經(jīng)把π控制在
     3~4了，到劉徽的割圓術(shù)，就可以把π控制在很精確的范圍了；π可以逼近，π+1/3同樣可以逼近。

6 Y. |* {, \; j: q6 b