0.999......到底應不應該等于1？

Pascal

zerowing 發表于 2014-6-13 22:47
3 j0 {5 M- ]. ]1 a& v- a6 ^- v第一個問題。0.333........這樣的無限循環小數是否等于1/3。答案是肯定的。因為首先，循環小數的定義就是 ...

: w  F+ e0 i+ ~# l/ ~" l1. 實數理論里，是沒有0.333....=1/3這個定義的，這個結論是計算/證明出來的。
' h5 T; V* j7 B  ^' k2. 無限小數是不能直接四則運算的，當然可以轉化為分數再運算，但LZ的證明過程是直接運算的。

* X. R8 ]6 N. X5 B6 V" M

zerowing

& H$ k! ]2 B5 ~

Pascal 發表于 2014-6-14 12:07
+ B- h+ T) I. F1 W! z' q9 u1. 實數理論里，是沒有0.333....=1/3這個定義的，這個結論是計算/證明出來的。
2 i. j% `  t  [2. 無限小數是不能直接四 ...

1。大俠說的這個沒有定義，俺不想過多的去爭。http://en.wikipedia.org/wiki/Repeating_decimal
  C( y& w: R  t6 P, a0 a8 e這里有維基的網址，至少從這里的說法看，0.3333...是被定義為分數1/3的小數形式的。
2。對于四則運算，無論是在證明0.999...是否等于1里，還是在無限循環小數的逆反算分數里都有直接使用。俺不敢茍同大俠的這個觀點。
# Z9 g1 t' A" m* Y; E" C+ L2 [5 W, u3。附帶一問，如果無限循環小數不能直接四則運算，那么為什么無理數可以？比如pi。

Pascal

zerowing 發表于 2014-6-14 12:51
( Q) v  p, \7 y+ f' ]1。大俠說的這個沒有定義，俺不想過多的去爭。http://en.wikipedia.org/wiki/Repeating_decimal
這里有維 ...

/ `5 n1 h7 T" f, @& \1. 好吧，咱們不爭論1/3的定義問題。
: w; l! w2 Q) t( R2 i4 t) c' p, d6 A2. 我先回答第3問吧，π的計算，比如π+π，答案就是2π，不可能把π展開來再相加。
3. 無限小數怎么和10乘，2個無限小數怎么相加，都是沒有定義過的運算。盡管有時候答案是對的，但運算是非法的。事實上，2 個無限小數要加要乘，從哪一位算起呢？進位怎么辦？都是問題。
9 f# ^3 S7 W. r/ S$ _# g: f4. 1/9+1/9=2/9，沒問題；但0.1111.....+0.1111.....=0.2222......就不行。

Pascal

截圖來自華師大張奠宙先生的《現代數學與中學數學》P109
6 M8 ?$ ?2 u* }" @+ V8 g

huhengjie

理論與實際是存在差距的來自: Android客戶端

Pascal

LZ的論證雖然有問題，但結論本身是正確的。
/ f! o2 C& G* p) }怎么證明?品豐社友前面都寫出來一些了。
& Z( S- Z5 [) _* j1 I/ ]截圖來自克萊因《高觀點下的初等數學》第一卷 P28

zerowing

Pascal 發表于 2014-6-14 18:23
. Q. m' n# ?  q, l2 N8 g- W) QLZ的論證雖然有問題，但結論本身是正確的。
% j* o& |7 \- z: S& y# a& m8 x怎么證明?品豐社友前面都寫出來一些了。
截圖來自克萊因《高觀 ...

呵呵,大俠,你不覺得你引用的這段定義和之前的張先生的講法矛盾嗎?
既然無限小數不能四則運算,那么又怎么冒出一個其差值無限小呢?如果0.1111....+0.11111....不能找到一個具體的數位進行性計算，那為什么1-0.9999....就可以呢？這豈不成了雙重標準？
同樣的，你也說了，計算Pi就是直接算pi+pi，那么，如果說無限循環小數的定義說成立，0.333.....+0.333...和1/3+1/3有什么區別呢？
" H$ `+ K7 \1 [* N- H總之，個人認為，討論一個數系，無論是原理還是論證方法，其引用最好出自一人。至少可以肯定張先生的理論同魏先生存在分歧。而魏先生的理論，其實是從另一個角度去闡述柯西序列。即，有理數x和y之間的距離定義為絕對值|x − y|，其中絕對值|z|定義為z和−z的最大值，因此總是非負的。這樣實數便被定義為關于這個距離的具有柯西序列性質的有理數序列。也就是說，每一個實數都是一個柯西收斂的數列（x0，x1，x2，…）。這是一個從自然數到有理數的映射，使得對于任何正有理數δ，總存在一個N，使得對于所有的m、n > N，都有|xm − xn| ≤ δ。（兩項之間的距離變得比任何正的有理數都要小。）
! Y9 w5 U! g; u" X! W# f3 j9 m另外，可以一提的，在數學中，如果一個定理可以被由公理證明，且這個定理存在一個由其推出的充要推論，那么這個定理和推論都可以直接應用。那么1/3=0.33....是否屬于這樣的一個判定序列內呢？如果屬于，那么四則為什么成為無意義的呢？
& {; D8 Z9 S1 d; y# J' |4 }類似的例子比如說平行線定理及其推論，如果說可以類比的話，作為公理，我們同樣認為平行線是兩條無線長度時都不會相交的直線，那么同樣的，如果一條直線上存在有限距離的兩個點，且這兩個分別在兩條平行線上，那么這條直線與平行線相交。如果存在無限距離的兩個點，那么這條直線是平行于平行線呢還是相交呢？呵呵。因為，如果你一定要強調無限小數的四則運算中因為不能找到一個確定的位數來進行計算，那么同樣的，這條具有無限距離的兩個點的直線，同樣無法找到一個確定的距離，或者說無法找到交點的確實位置，那么這種時候是平行還是相交呢？
( }* M( Q! v, U) `' g, z  b, _另外，說句個人理解，張先生的說法實際上是一種悖論。非錯非對，因為你從任何兩個相反的角度去論證都能得到一個合理的結果。所以，沒必要糾結于此。在完備數系之中，無論是四則還是定義，應用即可。

Pascal

呵呵，zero大俠，我試著解釋下。
1. 無限小數不能四則運算，不代表不能進行不等式運算。0.111......<1，數學上是承認的。同樣，魏先生算出來1-0.999...了么？沒有，但是他對差值進行了不等式運算。請再讀下魏先生的話。
" _, N: b$ ?( f2. 我在23樓有個補充說明，“”但0.1111.....+0.1111.....=0.2222......就不行“，不是說這個等式不成立，而是說這種直接加的運算不行”。
/ |" R" @$ C$ C$ Q6 ]( u4 t! r3. 0.333.....+0.333...和1/3+1/3有什么區別呢？0.333.....+0.333...在數量上等于2/3，但這種直接加的運算是非法的。結論正確不代表運算過程正確，這在數學中太常見了。
& l+ B5 c( J, s, J- f4. 我也曾經想過，既然0.333.....+0.333...在數量上等于2/3，那可不可以自己來定義下無限小數的運算規則？理論上是可以的，數學不就是如此嗎？當然，給出的定義不能與已有的公理體系相矛盾！不過我沒這個能力去定義。
: f/ q' G$ V  ~; e+ N2 n# I) }/ |5. 平行問題，我的回答是兩條線是平行的，也可以說它們相交于無窮遠。

Pascal

截圖來自加德納的《無限過程——數學的分析的背景》P74~75, P143

Pascal

剛沒粘貼上。