一款另類的橢圓規 ---- 外嚙合1:1傳動

動靜之機

這兩天比較愉快。小子連闖兩道關，考上了南外初中。
4 }# a' {/ d) t* j2 P' L1 G3千多人抽簽（絕大多數都是有備而來的主），2560人中簽，然后考試，錄取320人，男女各半。

% o2 [8 x* w6 B7 S  b/ [那天考完，出口處所有的孩子都苦著臉出來，說數學太難（出題也用英語）。
% X1 x7 K# ?0 `$ c* M" J俺家的亦是如此，說還有大概20多題沒空做（至少30分沒了，總分150分的卷子）。
" l$ q' z0 f9 ?' ]# o$ l5 q不過此次考試沒考這類轉幾圈的題目，呵呵，瞎擔心了：
$ M4 o  {* q: _1 R4 C: [% T0 }一個簡單的考題考倒一大片! ---- 續I
9 u  w' F! x' I& w" P; Jhttp://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=231503
  P! j$ b& q9 r8 K8 D
' n! @  [; ?  e) D& L一周前，俺發了這個帖子：
. W+ k+ W( D" Y2 A怎樣車橢圓
- j9 ~) U$ r/ A$ m+ `: }7 hhttp://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=329983
5 ?+ T( z1 q9 a( d: n
: ]0 Z% l# r6 `) G( ]% k里面提到的德國網站http://www.volmer---ovaldrehen.de/englisch.htm里，有這么幾個橢圓規：

- n0 K& l0 T: ^7 a! V5 I0 j# E這個就是十字滑軌式的，已經在“怎樣車橢圓”帖子里說清楚了。


2 g0 k/ e: v9 A這個顯然是利用內齒輪嚙合的機構，大小直徑比為2，這也說過了。
/ T" P) d$ G& ]4 N! x5 [  a
  U! {4 j- K% M5 O+ t* b7 y% a* b- S
對這第三個東東，俺一下子沒看明白。該網站只是說該橢圓規機構
0 F6 L: L; ?- y/ ?允許在機構旁邊作畫（切割）因此可以作很小的橢圓。
% M& t* M4 A* H5 j: Z
! [5 ^- h. [9 b1 e8 j3 x9 n圖片搜索該照片的名稱Kopp-Ellipsograph發現有這么一張圖，簡直一摸一樣：
（http://fr.wikipedia.org/wiki/Ellipsographe）
7 R# K+ B: j$ }& [2 E0 C4 j

意味著有相關文章可看，大喜，點擊過去，十幾秒后，頁面終于打開，暈倒。

有人感慨“它認識我，我不認識它”大概就這意思。

9 a3 f% S" a* @) o

不死心，重新搜關鍵詞，找到一個鏈接，對該機構有些許說明：

http://tech.groups.yahoo.com/group/liveaboardlathe/message/34
8 y* E- |; Q8 k# d; i6 r最下方提到參考書名 Mechanisms for the Generation of Plane Curves
( m8 R* p- ]. G! G6 t6 g于是搜來（估計是蘇聯圖書的英譯版）。抱歉，11M，就不上傳了。

$ |* I9 F0 R  p) @8 i3 D& [翻遍全書，發現在105，106頁，有個證明（PS拼接如下）：

0 |9 Z% ?( L! D* U. o  p" m這個證明和照片里的橢圓規不太一樣。

9 g  v; F% v/ ~# e# I好吧，為了安心，也因為今兒個高興，把照片里的機構也畫瓢地證一遍：
  K6 U5 }; s; w% i: Y; A設仿形機構放大系數為K，即DC=K*DM，兩個起點都在X軸上且都處在自身
1 r  |) ~! I! x0 }1 o圓心的右側（計算比較方便）。左側齒輪逆時針旋轉，右側順時針旋轉。
  W2 c3 m% \4 ]: v( D
1 h0 r" S1 H7 h. G( W, a
- P$ j. W) O& V對于C點X坐標，分別從r2 r3 兩條路找到關系式：
r2Cosα+k*DM*Cosβ=R+x         
r3Cosα+R+(k-1)*DM*Cosβ=x  
  Q) A6 {  Z  i* v消去Cosβ參數，得到:
* l7 P) V! R' x( P+ S(2k-1)R-x=[(k-1)r2 -kr3 ]* Cosα  ------------------- A
/ Z) F3 j. e/ o. R7 r; N, ~) K

7 Y5 C8 i# q1 l對于C點y坐標，分別從r2 r3兩條路找到關系式：
* e6 v! p+ }; j/ nr2Sinα-y =k*DM*Sinβ         
-y -r3 Sinα=(k-1)*DM*Sinβ
$ E" j& F4 y) _* B; r3 g6 G+ u消去Sinβ參數，得到:
- y=[(k-1)r2 +kr3 ]* Sinα       ------------------------ B

4 L! _( j0 k  {5 s# _" @
把A式和B式綜合起來，就是（但愿全部步驟沒錯）:
" d6 o4 Y& J3 j- H  N

" u" C5 _' n- r& L8 x2 E這顯然是個圓心分布于X軸(2k-1)R處，長半軸 (k-1)r2 + kr3 ，短半軸為 (k-1)r2 - kr3  絕對值的橢圓。

3 ?' }/ K1 V7 A, f" |+ T& tα=90度時，兩個驅動臂互為180度，畫出橢圓長半軸最低點。
+ [( c  ?& m. s; x$ B) r" W' ?
0 a0 e/ b! i  H. ^7 R若起始時，選取的某點已有初始角度，例如左側所取得點已經逆時針轉過180度，右側尚未動，則
/ X; G* V& w) |3 k意味著兩個驅動臂已經提前達180度角，那么當前畫出的點將是長半軸，而且在X軸上。也就是說，
輸出的橢圓雖然大小完全沒變，但相對于例證，已經轉過90度啦，即相位角是初始相位角差的一半。

9 X; i8 [6 ^+ a2 _# m: ]# r回頭再看看那個滿眼鳥語的維基原圖的證明，就釋然了。

7 l( a) i( e! V7 c: U1 e" D不妨拿這個仿形機構來說明：

6 I8 u: q$ t% K: M  q5 u: a

這個機構簡直天生為就是兩個復矢量的合成縮放準備的。
0 Q9 G% J% f% P( r- ^, m) Z
公式 Zm=kZb+（k-1）（-Za）意味著，若左側輸入Za，中間輸入Zb，右側輸出為Zm。
假設Za不動，放大作用使Zm為K倍的Zb，假設Zb不動，則杠桿作用使Zm為k-1倍的Za，
. L9 |( \, g: o2 W; x不過由于處于杠桿的兩側，動作相反，因此有個負號。
# N& v' r4 V/ O- T/ |6 m
+ R) u) H* {2 p# N7 B; @一般的應用都把其中一個點定死，一個點輸入另一個點輸出，例如某些古老的仿形機床。
日內瓦湖畔的瑞士軍刀小店用的軍刀刻字機，也用這種機構。老板把客人的姓名字母凹
模板（約20x30毫米，厚2毫米）在軌道上排列好，然后用仿形機構縮刻在刀柄上。
8 U9 `5 [( b' q, w& ~# T只有西文字母可選？ 嗯，下次誰有機會去的話，先帶上自己名字的中文模板哦。。。


7 `% Z- @7 L3 X0 l! e! \2 ^
: y5 @! j4 y  I6 q( g/ U! B

949457130

挺有意思！

從不孤單

挺好挺好

劍南春17385

厲害！！！
還證明。。。。佩服，真沉得下心！

low-key

真是不錯

夕陽書生

好貼，頂一個

GRL889

好強大啊

王大9997

高手啊，長見識了

shasu

平常能看到的那個 做鑰匙的機器 是仿形的吧

gctdxy

厲害長見識了