一款另類的橢圓規 ---- 外嚙合1:1傳動

動靜之機

/ Z- }  v5 e2 W  X( i% l* r2 j) y
& F) c  u! |- E這兩天比較愉快。小子連闖兩道關，考上了南外初中。
3千多人抽簽（絕大多數都是有備而來的主），2560人中簽，然后考試，錄取320人，男女各半。
6 R! ?: t  ^/ v$ U! K, P
那天考完，出口處所有的孩子都苦著臉出來，說數學太難（出題也用英語）。
( v* g4 f8 d: \- {7 t1 b俺家的亦是如此，說還有大概20多題沒空做（至少30分沒了，總分150分的卷子）。
不過此次考試沒考這類轉幾圈的題目，呵呵，瞎擔心了：
一個簡單的考題考倒一大片! ---- 續I
http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=231503
* n5 i  Y- c4 K/ V/ K  n3 g3 R/ V
4 ]9 v6 b# ^" l一周前，俺發了這個帖子：
: v# `; U3 y  b7 L4 @怎樣車橢圓
http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=329983

& J* d% e) |5 C: p里面提到的德國網站http://www.volmer---ovaldrehen.de/englisch.htm里，有這么幾個橢圓規：

5 B+ F4 ]9 ?2 K0 A: N6 B這個就是十字滑軌式的，已經在“怎樣車橢圓”帖子里說清楚了。
5 e: ^. }+ a0 a( h$ `) Y
4 j; q( E' z) e; ~
8 Z! w2 h4 K! x% f這個顯然是利用內齒輪嚙合的機構，大小直徑比為2，這也說過了。


對這第三個東東，俺一下子沒看明白。該網站只是說該橢圓規機構
允許在機構旁邊作畫（切割）因此可以作很小的橢圓。
: m" V  F. T6 r' [" @
1 f; ~! d! H' C6 B% T6 k圖片搜索該照片的名稱Kopp-Ellipsograph發現有這么一張圖，簡直一摸一樣：
（http://fr.wikipedia.org/wiki/Ellipsographe）
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意味著有相關文章可看，大喜，點擊過去，十幾秒后，頁面終于打開，暈倒。

有人感慨“它認識我，我不認識它”大概就這意思。

' w4 A3 e' ]+ P

不死心，重新搜關鍵詞，找到一個鏈接，對該機構有些許說明：

http://tech.groups.yahoo.com/group/liveaboardlathe/message/34
最下方提到參考書名 Mechanisms for the Generation of Plane Curves
7 m8 \, H1 _9 \( U/ X3 {& j! S于是搜來（估計是蘇聯圖書的英譯版）。抱歉，11M，就不上傳了。
$ u- x. h- @4 x0 [
0 R  \+ ?: Y; h) L5 q8 ~翻遍全書，發現在105，106頁，有個證明（PS拼接如下）：
- W7 U9 u7 h! J. X- O
* ^& k& A# ~- X3 z4 ?4 S這個證明和照片里的橢圓規不太一樣。

好吧，為了安心，也因為今兒個高興，把照片里的機構也畫瓢地證一遍：
設仿形機構放大系數為K，即DC=K*DM，兩個起點都在X軸上且都處在自身
% q; i" R! }# j! o* f圓心的右側（計算比較方便）。左側齒輪逆時針旋轉，右側順時針旋轉。

5 B0 A  B) Q, L1 W' K" H, q
對于C點X坐標，分別從r2 r3 兩條路找到關系式：
r2Cosα+k*DM*Cosβ=R+x         
r3Cosα+R+(k-1)*DM*Cosβ=x  
1 _: r& ~- {0 X消去Cosβ參數，得到:
3 O/ E/ @3 V, g/ i0 U0 z+ t, @(2k-1)R-x=[(k-1)r2 -kr3 ]* Cosα  ------------------- A
/ T0 f" p# h1 a

對于C點y坐標，分別從r2 r3兩條路找到關系式：
$ @& C2 x8 d8 `- ir2Sinα-y =k*DM*Sinβ         
-y -r3 Sinα=(k-1)*DM*Sinβ
消去Sinβ參數，得到:
4 F: k+ L8 E! Q, M* X- y=[(k-1)r2 +kr3 ]* Sinα       ------------------------ B
" z8 o" D3 I! G# U+ L7 p0 [# T

把A式和B式綜合起來，就是（但愿全部步驟沒錯）:


這顯然是個圓心分布于X軸(2k-1)R處，長半軸 (k-1)r2 + kr3 ，短半軸為 (k-1)r2 - kr3  絕對值的橢圓。
6 A9 _; s; `' J4 \, M, e0 s' _
α=90度時，兩個驅動臂互為180度，畫出橢圓長半軸最低點。

若起始時，選取的某點已有初始角度，例如左側所取得點已經逆時針轉過180度，右側尚未動，則
! k/ |' y+ |: _( c" N' H: u意味著兩個驅動臂已經提前達180度角，那么當前畫出的點將是長半軸，而且在X軸上。也就是說，
輸出的橢圓雖然大小完全沒變，但相對于例證，已經轉過90度啦，即相位角是初始相位角差的一半。

9 b3 i/ _5 F# B3 c. V: _回頭再看看那個滿眼鳥語的維基原圖的證明，就釋然了。
( d( v; h( D' \5 H
" K1 {; n' F. H( R( f" P不妨拿這個仿形機構來說明：


  i0 g4 }1 r, r  e5 V
) m) m1 A6 _, M/ I這個機構簡直天生為就是兩個復矢量的合成縮放準備的。

$ ~) Z. c2 H# S# Z" l  H9 @公式 Zm=kZb+（k-1）（-Za）意味著，若左側輸入Za，中間輸入Zb，右側輸出為Zm。
/ J! o$ a  L& a$ g假設Za不動，放大作用使Zm為K倍的Zb，假設Zb不動，則杠桿作用使Zm為k-1倍的Za，
不過由于處于杠桿的兩側，動作相反，因此有個負號。
" E9 `0 E5 e. ?: z- B( h
7 S' }/ U7 D: L4 `9 P0 a一般的應用都把其中一個點定死，一個點輸入另一個點輸出，例如某些古老的仿形機床。
4 Z. H% f4 _- K日內瓦湖畔的瑞士軍刀小店用的軍刀刻字機，也用這種機構。老板把客人的姓名字母凹
. h% N) t  F# Z8 f9 h. y模板（約20x30毫米，厚2毫米）在軌道上排列好，然后用仿形機構縮刻在刀柄上。
只有西文字母可選？ 嗯，下次誰有機會去的話，先帶上自己名字的中文模板哦。。。
) C! Z0 I+ ^5 c* s2 h6 E

8 H7 \( _; M/ b6 \8 ^3 X2 j& o

949457130

挺有意思！

從不孤單

挺好挺好

劍南春17385

厲害！！！
還證明。。。。佩服，真沉得下心！

low-key

真是不錯

夕陽書生

好貼，頂一個

GRL889

好強大啊

王大9997

高手啊，長見識了

shasu

平常能看到的那個 做鑰匙的機器 是仿形的吧

gctdxy

厲害長見識了
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