關(guān)于極限和連續(xù)的兩個數(shù)學(xué)問題

鬼魅道長

今天一哥們聊天時說起，很有趣，大家也來試試：
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) Y$ l0 K3 p0 l. b1 \# z/ Z; U1.青蛙跳井：
   一個青蛙在井底，想要跳出去，假設(shè)永遠(yuǎn)不會向下滑，它每次跳高的距離都是上一次的一半，而且每跳一次都要休息一秒鐘，那么青蛙能不能跳出井？
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2.阿基琉斯追不上烏龜：
  芝諾說，如果阿基琉斯落在烏龜后面，同時起動，那么會出現(xiàn)這樣的情況：假設(shè)初始時，阿基琉斯在A點，烏龜在B1點，經(jīng)過了t1的時間，阿基琉斯到達(dá)了B1，但同樣的，烏龜用t1的時間到達(dá)了B2，而當(dāng)阿基琉斯用t2的時間到達(dá)了B2時，烏龜又用t2的時間到達(dá)了B3，而阿基琉斯到達(dá)B3時，烏龜又到了B4，如此往復(fù)，那么阿基琉斯就永遠(yuǎn)追不上烏龜。
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% O$ K) W1 _* j. Y對第一個問題，所有的人都說“永遠(yuǎn)跳不出去”，而對第二個問題，則說“肯定追得上，因為事實就是這樣”。
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+ g7 V2 l, S6 z1 f. r& y于是那哥們問，為什么兩個類似的問題，答案不一樣？數(shù)學(xué)依據(jù)是什么？
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最后大家還是用數(shù)學(xué)模型把這個事了了，不過過程實在很有趣，社友們也來試試吧。

閑人一個OO

第二個問題我上馬克思時老師拿來當(dāng)例子講的，這個問題邏輯上很難搞定的

高進(jìn)

這個問題我也想過，為什么呢追不上呢？我想是由于這個時間永遠(yuǎn)不能過度到下一秒，越來越小

無能

  J( F$ \& k" o- U6 U9 G) z9 u
% l$ T/ E& E; m回復(fù) 長驅(qū)鬼魅 的帖子

第一條敝人看錯了，答案請見下面有大俠給出。
第二個問題本身就沒有描述清楚。一般來說，如果能把問題很清楚的描述出來，那么答案基本上就出來了。
我認(rèn)為，芝諾悖論是在描述上首先就把人弄糊涂了，如果換一種描述，就不會出現(xiàn)悖論，因為悖論首先就已經(jīng)確定是錯誤的了，只是因為描述上弄了手法才讓人看似正確。
: h/ ^  F$ a+ _; m沒想到兄弟有雅興鉆研微積分的基礎(chǔ)問題，佩服！
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jsj306

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1 O4 E% S& R3 I: ^第二種情況僅僅是計算上趨于無窮，實際上阿克琉斯不會按芝諾的算法來跑，一步兩步就跨出去了，芝諾的算法僅僅是對這一步兩步（或者這一步兩步所用的時間）做細(xì)分，這就涉及到距離或時間是否無限可分的問題了
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第一種情況就是按芝諾的算法來跑了，他算一步，青蛙就跳一步，按他這個算法永遠(yuǎn)算不完，那青蛙也就永遠(yuǎn)跳不出去

螺旋線

那1和0.9999999999999999999999..............是否相等呢？

無能

回復(fù) jsj306 的帖子
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( K7 i8 m/ \) w( ?這是“潛無窮”論者與“實無窮”論者的爭論。
: M9 t1 r: V& k# v3 @3 i, t! r潛無窮論者認(rèn)為，世界上沒有真正無窮的東西，所謂的無窮不過是描述一步接一步的動作，這個動作永遠(yuǎn)在進(jìn)行中，永遠(yuǎn)沒有終止。
但實無窮論者認(rèn)為，無窮是存在的，存在著“一下子就完成”的無窮，而非像前者那樣的永遠(yuǎn)無法完成。

能體現(xiàn)這兩個無窮爭論的例子是：你從點0到點1，無論如何你要經(jīng)過它們的中點，就是0.5；而你要到達(dá)0.5，也必須先到達(dá)它們的中點即0.25……如此進(jìn)行下去，由于這些中點是無窮的，所以你永遠(yuǎn)無法從0點到達(dá)1點。
實際這就是區(qū)間(0,1)的稠密性，也就是敝貼曾經(jīng)提到過的，這個區(qū)間是連續(xù)統(tǒng)的精髓。
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你永遠(yuǎn)無法從點0到達(dá)點1，是潛無窮論者的論點，但是我們明明可以一步就從0到1，所以實無窮是存在的，證畢。
集合論是承認(rèn)“實無窮”的存在的。
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- ]3 `( }3 z2 M2 Z2 f- x根據(jù)我的研究發(fā)現(xiàn)，“實無窮”的論點直接就導(dǎo)致“不可知論”。

metalstorm

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' v6 b/ n4 p# @# A' U  f5 B問題一：青蛙是跳不出井的，只能無限接近一個極限高度，這個極限高度等于第一跳的距離乘以如下等比數(shù)列的求和極限。

/ o  S' q8 d5 o% f7 r8 ^' b* h問題二：阿基琉斯只能無限接近烏龜，但永遠(yuǎn)追不上，阿基琉斯的速度一直在變慢。請教樓主這個數(shù)學(xué)模型是什么？

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無能

回復(fù) metalstorm 的帖子
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5 Y+ |% B% I; A. I第二題，我讀題發(fā)現(xiàn)龜兔是各跑各的，并且并未說明B3一定在B4后面。不知道原題是不是想說兔子每次都要跑到二者距離的中點。

無能

7 b4 O2 a0 I6 x0 M2 _回復(fù) 螺旋線 的帖子
9 B0 Z' V- i5 F- N% ]
看來以己昏昏，還是不能使人昭昭啊，哈哈哈…
只能說 1 是無窮序列 0.9' 的極限，即 n->∞ 時 lim (1-1/10^n) = 1。
' k% Y! c" C+ A; C0.9' 無限趨近于 1，但它不等于 1。
9 }9 [$ a. j& U! s8 x8 c1 h歡迎繼續(xù)提出異議。
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