關于極限和連續的兩個數學問題

鬼魅道長

今天一哥們聊天時說起，很有趣，大家也來試試：

: X* ^+ h4 |% ^8 g9 Z5 k1.青蛙跳井：
   一個青蛙在井底，想要跳出去，假設永遠不會向下滑，它每次跳高的距離都是上一次的一半，而且每跳一次都要休息一秒鐘，那么青蛙能不能跳出井？
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2.阿基琉斯追不上烏龜：
7 R* Z) ^: d  p# E: o# Y/ \  芝諾說，如果阿基琉斯落在烏龜后面，同時起動，那么會出現這樣的情況：假設初始時，阿基琉斯在A點，烏龜在B1點，經過了t1的時間，阿基琉斯到達了B1，但同樣的，烏龜用t1的時間到達了B2，而當阿基琉斯用t2的時間到達了B2時，烏龜又用t2的時間到達了B3，而阿基琉斯到達B3時，烏龜又到了B4，如此往復，那么阿基琉斯就永遠追不上烏龜。

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對第一個問題，所有的人都說“永遠跳不出去”，而對第二個問題，則說“肯定追得上，因為事實就是這樣”。

于是那哥們問，為什么兩個類似的問題，答案不一樣？數學依據是什么？
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. k, {4 z- Y  W& K2 ^最后大家還是用數學模型把這個事了了，不過過程實在很有趣，社友們也來試試吧。
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閑人一個OO

第二個問題我上馬克思時老師拿來當例子講的，這個問題邏輯上很難搞定的

高進

這個問題我也想過，為什么呢追不上呢？我想是由于這個時間永遠不能過度到下一秒，越來越小

無能

' U" u% Y9 F& Q+ ~. V$ e. i
  T" E% j( R$ H3 R+ s; R回復 長驅鬼魅 的帖子

& s+ m- E/ C3 S: Y: r( C2 |第一條敝人看錯了，答案請見下面有大俠給出。
7 M. n# r' C/ K! `5 h第二個問題本身就沒有描述清楚。一般來說，如果能把問題很清楚的描述出來，那么答案基本上就出來了。
1 d+ h" e; ~$ _& d2 C, `我認為，芝諾悖論是在描述上首先就把人弄糊涂了，如果換一種描述，就不會出現悖論，因為悖論首先就已經確定是錯誤的了，只是因為描述上弄了手法才讓人看似正確。
8 l. ?7 _8 [- W& k2 I! z沒想到兄弟有雅興鉆研微積分的基礎問題，佩服！
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jsj306

7 N4 e, B5 ]/ a. s2 Z3 T4 ~( ?; s7 v
第二種情況僅僅是計算上趨于無窮，實際上阿克琉斯不會按芝諾的算法來跑，一步兩步就跨出去了，芝諾的算法僅僅是對這一步兩步（或者這一步兩步所用的時間）做細分，這就涉及到距離或時間是否無限可分的問題了
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) B2 R6 L. C8 v$ ~1 c# ^. V第一種情況就是按芝諾的算法來跑了，他算一步，青蛙就跳一步，按他這個算法永遠算不完，那青蛙也就永遠跳不出去

螺旋線

那1和0.9999999999999999999999..............是否相等呢？
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無能

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) X. C2 }/ M( ~4 C這是“潛無窮”論者與“實無窮”論者的爭論。
. J7 n/ O) P* c/ h1 W. d' H潛無窮論者認為，世界上沒有真正無窮的東西，所謂的無窮不過是描述一步接一步的動作，這個動作永遠在進行中，永遠沒有終止。
# a$ u) I0 l; i: m" e% v% e3 G但實無窮論者認為，無窮是存在的，存在著“一下子就完成”的無窮，而非像前者那樣的永遠無法完成。
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能體現這兩個無窮爭論的例子是：你從點0到點1，無論如何你要經過它們的中點，就是0.5；而你要到達0.5，也必須先到達它們的中點即0.25……如此進行下去，由于這些中點是無窮的，所以你永遠無法從0點到達1點。
. D1 q0 t3 Z5 z+ i0 E2 _5 F, b實際這就是區間(0,1)的稠密性，也就是敝貼曾經提到過的，這個區間是連續統的精髓。
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7 W7 K/ W7 q4 H( C  l9 O你永遠無法從點0到達點1，是潛無窮論者的論點，但是我們明明可以一步就從0到1，所以實無窮是存在的，證畢。
" w+ R; n+ _& z. c: ^; L% Z! U集合論是承認“實無窮”的存在的。

& a7 I5 X4 L% Q; C) X' e4 [1 x. s根據我的研究發現，“實無窮”的論點直接就導致“不可知論”。
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metalstorm

9 W+ e" w( Z$ b" Q
問題一：青蛙是跳不出井的，只能無限接近一個極限高度，這個極限高度等于第一跳的距離乘以如下等比數列的求和極限。

& n$ ^' o! ]) a1 w問題二：阿基琉斯只能無限接近烏龜，但永遠追不上，阿基琉斯的速度一直在變慢。請教樓主這個數學模型是什么？
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無能

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7 S3 p, ]) A# [9 m8 f! w5 }" J
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第二題，我讀題發現龜兔是各跑各的，并且并未說明B3一定在B4后面。不知道原題是不是想說兔子每次都要跑到二者距離的中點。

無能

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看來以己昏昏，還是不能使人昭昭啊，哈哈哈…
只能說 1 是無窮序列 0.9' 的極限，即 n->∞ 時 lim (1-1/10^n) = 1。
0 j1 w: }: x& A6 t9 A0.9' 無限趨近于 1，但它不等于 1。
. [+ K; s  k+ [6 U7 f" M歡迎繼續提出異議。
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