一款另類的橢圓規(guī) ---- 外嚙合1:1傳動

動靜之機

/ m2 E& c8 M# D0 I- ?: D
8 g/ k7 ~2 `; J. a  ]這兩天比較愉快。小子連闖兩道關(guān)，考上了南外初中。
3千多人抽簽（絕大多數(shù)都是有備而來的主），2560人中簽，然后考試，錄取320人，男女各半。
% s% V: N3 e+ \2 k: U# Y6 q
; W+ [6 m1 u& V: H$ {" W9 t那天考完，出口處所有的孩子都苦著臉出來，說數(shù)學(xué)太難（出題也用英語）。
$ ?. {8 H( m, @1 r7 U俺家的亦是如此，說還有大概20多題沒空做（至少30分沒了，總分150分的卷子）。
- N, @) U. N2 `( Z3 n  W& s- ^不過此次考試沒考這類轉(zhuǎn)幾圈的題目，呵呵，瞎擔(dān)心了：
一個簡單的考題考倒一大片! ---- 續(xù)I
http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=231503
: e" v+ _6 E' Q$ @% a
& m$ {/ F8 y9 D, w! p' h( V3 a一周前，俺發(fā)了這個帖子：
怎樣車橢圓
9 R0 _1 J+ G. \& vhttp://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=329983

/ x% O- n5 K. d: r  g* G# z里面提到的德國網(wǎng)站http://www.volmer---ovaldrehen.de/englisch.htm里，有這么幾個橢圓規(guī)：
" w% i$ v) \5 M5 U+ g; ~; S( A
2 c( K5 D0 {4 g* S  F9 Y  A這個就是十字滑軌式的，已經(jīng)在“怎樣車橢圓”帖子里說清楚了。


這個顯然是利用內(nèi)齒輪嚙合的機構(gòu)，大小直徑比為2，這也說過了。


對這第三個東東，俺一下子沒看明白。該網(wǎng)站只是說該橢圓規(guī)機構(gòu)
允許在機構(gòu)旁邊作畫（切割）因此可以作很小的橢圓。

6 }$ k. r1 I% R% I' V圖片搜索該照片的名稱Kopp-Ellipsograph發(fā)現(xiàn)有這么一張圖，簡直一摸一樣：
（http://fr.wikipedia.org/wiki/Ellipsographe）
# v& P7 Q+ \' `4 c
( C: X; t( a8 ~9 H2 S! \+ `

意味著有相關(guān)文章可看，大喜，點擊過去，十幾秒后，頁面終于打開，暈倒。

有人感慨“它認識我，我不認識它”大概就這意思。

不死心，重新搜關(guān)鍵詞，找到一個鏈接，對該機構(gòu)有些許說明：

http://tech.groups.yahoo.com/group/liveaboardlathe/message/34
$ ~4 t  d9 x2 n1 ]4 P% I# g: `最下方提到參考書名 Mechanisms for the Generation of Plane Curves
于是搜來（估計是蘇聯(lián)圖書的英譯版）。抱歉，11M，就不上傳了。

翻遍全書，發(fā)現(xiàn)在105，106頁，有個證明（PS拼接如下）：

4 h! [3 D: J: {2 a& {' e( n這個證明和照片里的橢圓規(guī)不太一樣。

; j  u. A$ m1 ~2 U5 f好吧，為了安心，也因為今兒個高興，把照片里的機構(gòu)也畫瓢地證一遍：
設(shè)仿形機構(gòu)放大系數(shù)為K，即DC=K*DM，兩個起點都在X軸上且都處在自身
圓心的右側(cè)（計算比較方便）。左側(cè)齒輪逆時針旋轉(zhuǎn)，右側(cè)順時針旋轉(zhuǎn)。

) K7 \; ^3 p0 u" E2 U+ i; e& V
! y' d( t& i# S' S對于C點X坐標(biāo)，分別從r2 r3 兩條路找到關(guān)系式：
r2Cosα+k*DM*Cosβ=R+x         
. n0 A9 j* u5 H0 n) H  w* T. e. Or3Cosα+R+(k-1)*DM*Cosβ=x  
% H; U- K" X4 p/ P  T( A( `% _消去Cosβ參數(shù)，得到:
6 Z3 ?/ T4 A8 z4 f  D; a' S- q(2k-1)R-x=[(k-1)r2 -kr3 ]* Cosα  ------------------- A


' t! ], O  Z8 v7 J" _, J5 N對于C點y坐標(biāo)，分別從r2 r3兩條路找到關(guān)系式：
r2Sinα-y =k*DM*Sinβ         
  a& ~0 }/ z# r6 \  _! Z% x& n-y -r3 Sinα=(k-1)*DM*Sinβ
+ \$ O/ a; ?/ M9 ]消去Sinβ參數(shù)，得到:
- y=[(k-1)r2 +kr3 ]* Sinα       ------------------------ B
! Y" W$ d/ L: n
1 ?* B2 k  p: u! M( c
) `( \: r% Z( R. L" U把A式和B式綜合起來，就是（但愿全部步驟沒錯）:


% c' d! O+ n/ a- _$ {0 `/ [這顯然是個圓心分布于X軸(2k-1)R處，長半軸 (k-1)r2 + kr3 ，短半軸為 (k-1)r2 - kr3  絕對值的橢圓。

α=90度時，兩個驅(qū)動臂互為180度，畫出橢圓長半軸最低點。
0 U+ K, T! [7 c1 H: q
若起始時，選取的某點已有初始角度，例如左側(cè)所取得點已經(jīng)逆時針轉(zhuǎn)過180度，右側(cè)尚未動，則
意味著兩個驅(qū)動臂已經(jīng)提前達180度角，那么當(dāng)前畫出的點將是長半軸，而且在X軸上。也就是說，
輸出的橢圓雖然大小完全沒變，但相對于例證，已經(jīng)轉(zhuǎn)過90度啦，即相位角是初始相位角差的一半。
$ @" q) m. {: v3 z  t4 D4 N0 m: W9 ?
回頭再看看那個滿眼鳥語的維基原圖的證明，就釋然了。
- z. u3 K5 b0 i& v3 ~# J
不妨拿這個仿形機構(gòu)來說明：
; F1 c* e+ B% O( K
: L* i- x& b3 t" R  w

這個機構(gòu)簡直天生為就是兩個復(fù)矢量的合成縮放準(zhǔn)備的。

% T, t& _; D) O% r/ p( _公式 Zm=kZb+（k-1）（-Za）意味著，若左側(cè)輸入Za，中間輸入Zb，右側(cè)輸出為Zm。
假設(shè)Za不動，放大作用使Zm為K倍的Zb，假設(shè)Zb不動，則杠桿作用使Zm為k-1倍的Za，
1 [2 a* g9 ?) ?3 H5 H9 d不過由于處于杠桿的兩側(cè)，動作相反，因此有個負號。
2 r4 E' ~- b; m, b/ S  E9 d
' X' B: d& {; n+ q, D8 `* M一般的應(yīng)用都把其中一個點定死，一個點輸入另一個點輸出，例如某些古老的仿形機床。
- L6 E0 Z. f2 }  O4 n日內(nèi)瓦湖畔的瑞士軍刀小店用的軍刀刻字機，也用這種機構(gòu)。老板把客人的姓名字母凹
5 O% L& f5 S! a" w/ z模板（約20x30毫米，厚2毫米）在軌道上排列好，然后用仿形機構(gòu)縮刻在刀柄上。
  Q  }: A+ P) o5 ^只有西文字母可選？ 嗯，下次誰有機會去的話，先帶上自己名字的中文模板哦。。。
# N; {5 p' Q1 X1 _- P5 a* I

: A& ?+ G6 l8 I' d( Y; E# r
- A) d6 P: a' c4 B/ v

949457130

挺有意思！

從不孤單

挺好挺好

劍南春17385

厲害！！！
8 u& A7 g8 E, L# Y! Y還證明。。。。佩服，真沉得下心！

low-key

真是不錯

夕陽書生

好貼，頂一個
# @6 \5 N& A9 c+ u

GRL889

好強大啊

王大9997

高手啊，長見識了

shasu

平常能看到的那個 做鑰匙的機器 是仿形的吧

gctdxy

厲害長見識了
4 R$ }. e# _: U' |# u