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一款另類的橢圓規(guī) ---- 外嚙合1:1傳動

[復(fù)制鏈接]
1#
發(fā)表于 2013-7-6 13:56:53 | 只看該作者 |只看大圖 |倒序瀏覽 |閱讀模式
本帖最后由 動靜之機 于 2013-7-6 14:20 編輯
/ m2 E& c8 M# D0 I- ?: D
8 g/ k7 ~2 `; J. a  ]這兩天比較愉快。小子連闖兩道關(guān),考上了南外初中。/ t! U2 \6 i) Y' y- y" T( u2 B& w
3千多人抽簽(絕大多數(shù)都是有備而來的主),2560人中簽,然后考試,錄取320人,男女各半。
% s% V: N3 e+ \2 k: U# Y6 q
; W+ [6 m1 u& V: H$ {" W9 t那天考完,出口處所有的孩子都苦著臉出來,說數(shù)學(xué)太難(出題也用英語)。
$ ?. {8 H( m, @1 r7 U俺家的亦是如此,說還有大概20多題沒空做(至少30分沒了,總分150分的卷子)。
- N, @) U. N2 `( Z3 n  W& s- ^不過此次考試沒考這類轉(zhuǎn)幾圈的題目,呵呵,瞎擔(dān)心了:0 E  @; F4 ^' T5 y4 f* Z) i( Y2 G
一個簡單的考題考倒一大片! ---- 續(xù)I' {% D4 H6 C1 p1 J
http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=231503
: e" v+ _6 E' Q$ @% a
& m$ {/ F8 y9 D, w! p' h( V3 a一周前,俺發(fā)了這個帖子:7 ^6 _2 b. ~1 [# n; _. U0 b8 m
怎樣車橢圓
9 R0 _1 J+ G. \& vhttp://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=329983( k/ F  ~+ K5 T" M& j, e

/ x% O- n5 K. d: r  g* G# z里面提到的德國網(wǎng)站http://www.volmer---ovaldrehen.de/englisch.htm里,有這么幾個橢圓規(guī):
" w% i$ v) \5 M5 U+ g; ~; S( A
2 c( K5 D0 {4 g* S  F9 Y  A這個就是十字滑軌式的,已經(jīng)在“怎樣車橢圓”帖子里說清楚了。4 T) M2 z  v3 ]2 v& H. \
% G" w- M9 x$ u9 H- u4 ?# L' {
/ C# m( m9 a" D+ }
這個顯然是利用內(nèi)齒輪嚙合的機構(gòu),大小直徑比為2,這也說過了。1 c/ ^; h( h& s5 f$ v
, W* L) F' t5 U
! {: S2 m8 d) ]3 J" Z/ v7 [+ U+ E
對這第三個東東,俺一下子沒看明白。該網(wǎng)站只是說該橢圓規(guī)機構(gòu)6 g  |% b# f5 _. F+ f9 m- J# k- A4 t
允許在機構(gòu)旁邊作畫(切割)因此可以作很小的橢圓( i" ~' J: |/ m& _1 p

6 }$ k. r1 I% R% I' V圖片搜索該照片的名稱Kopp-Ellipsograph發(fā)現(xiàn)有這么一張圖,簡直一摸一樣:+ T3 o; i5 u2 z! t" ]5 G4 b
http://fr.wikipedia.org/wiki/Ellipsographe
# v& P7 Q+ \' `4 c
( C: X; t( a8 ~9 H2 S! \+ `
意味著有相關(guān)文章可看,大喜,點擊過去,十幾秒后,頁面終于打開,暈倒。
有人感慨“它認識我,我不認識它”大概就這意思。
& K, i! w( r$ a% c+ ^1 w
不死心,重新搜關(guān)鍵詞,找到一個鏈接,對該機構(gòu)有些許說明:
http://tech.groups.yahoo.com/group/liveaboardlathe/message/34
$ ~4 t  d9 x2 n1 ]4 P% I# g: `最下方提到參考書名 Mechanisms for the Generation of Plane Curves " i2 `1 n# A$ p0 V
于是搜來(估計是蘇聯(lián)圖書的英譯版)。抱歉,11M,就不上傳了。2 v% n, Q0 L: m7 C! b. F
, W1 w4 w1 }( @
翻遍全書,發(fā)現(xiàn)在105,106頁,有個證明(PS拼接如下):/ G( _- H( U. i6 U" ^

4 h! [3 D: J: {2 a& {' e( n這個證明和照片里的橢圓規(guī)不太一樣。& ^2 e8 v2 n: H3 C) V8 e

; j  u. A$ m1 ~2 U5 f好吧,為了安心,也因為今兒個高興,把照片里的機構(gòu)也畫瓢地證一遍:: w( F- C  c- q5 s
設(shè)仿形機構(gòu)放大系數(shù)為K,即DC=K*DM,兩個起點都在X軸上且都處在自身: Z  }( G5 E+ S, ]
圓心的右側(cè)(計算比較方便)。左側(cè)齒輪逆時針旋轉(zhuǎn),右側(cè)順時針旋轉(zhuǎn)。5 N3 d1 u, N) q) {- l7 i( o

) K7 \; ^3 p0 u" E2 U+ i; e& V
! y' d( t& i# S' S對于C點X坐標(biāo),分別從r2 r3 兩條路找到關(guān)系式:) |1 t. K( b$ v+ V0 j; A. g9 D3 W- h# ?
r2Cosα+k*DM*Cosβ=R+x         
. n0 A9 j* u5 H0 n) H  w* T. e. Or3Cosα+R+(k-1)*DM*Cosβ=x  
% H; U- K" X4 p/ P  T( A( `% _消去Cosβ參數(shù),得到:
6 Z3 ?/ T4 A8 z4 f  D; a' S- q(2k-1)R-x=[(k-1)r2 -kr3 ]* Cosα  ------------------- A ; H- q: H" y/ W/ X7 A7 f
5 W& `! [0 ]1 ?- a. N- O3 o

' t! ], O  Z8 v7 J" _, J5 N對于C點y坐標(biāo),分別從r2 r3兩條路找到關(guān)系式:4 m8 u5 t; [% y, u- D* P
r2Sinα-y =k*DM*Sinβ         
  a& ~0 }/ z# r6 \  _! Z% x& n-y -r3 Sinα=(k-1)*DM*Sinβ
+ \$ O/ a; ?/ M9 ]消去Sinβ參數(shù),得到: 7 ^6 s& q$ E. C
- y=[(k-1)r2 +kr3 ]* Sinα       ------------------------ B
! Y" W$ d/ L: n
1 ?* B2 k  p: u! M( c
) `( \: r% Z( R. L" U把A式和B式綜合起來,就是(但愿全部步驟沒錯):$ O0 q  ~: Q  q: O& W0 G
: A  A4 ]" q+ W5 H0 M5 R

% c' d! O+ n/ a- _$ {0 `/ [這顯然是個圓心分布于X軸(2k-1)R處,長半軸 (k-1)r2 + kr3 ,短半軸為 (k-1)r2 - kr3  絕對值的橢圓。1 S# x% h9 L6 C- V
7 K1 t* c; l) [
α=90度時,兩個驅(qū)動臂互為180度,畫出橢圓長半軸最低點。
0 U+ K, T! [7 c1 H: q5 _! J! R6 z: @# |0 t) K* n: [
若起始時,選取的某點已有初始角度,例如左側(cè)所取得點已經(jīng)逆時針轉(zhuǎn)過180度,右側(cè)尚未動,則3 B; d! B# q* U* R! {
意味著兩個驅(qū)動臂已經(jīng)提前達180度角,那么當(dāng)前畫出的點將是長半軸,而且在X軸上。也就是說,- }9 D. U8 ^8 s2 e2 ~4 ~% s
輸出的橢圓雖然大小完全沒變,但相對于例證,已經(jīng)轉(zhuǎn)過90度啦,即相位角是初始相位角差的一半。
$ @" q) m. {: v3 z  t4 D4 N0 m: W9 ?( D+ s  n5 q6 p5 o
回頭再看看那個滿眼鳥語的維基原圖的證明,就釋然了。
- z. u3 K5 b0 i& v3 ~# J' a% J1 x' B: f* R) d5 n
不妨拿這個仿形機構(gòu)來說明:
; F1 c* e+ B% O( K
: L* i- x& b3 t" R  w 2 C5 m7 t+ @; {. _1 b
7 t# d2 d+ G9 Z  z6 n. b8 Q! G
這個機構(gòu)簡直天生為就是兩個復(fù)矢量的合成縮放準(zhǔn)備的。5 {: @9 P. W1 S* D5 T( G( g) h% e

% T, t& _; D) O% r/ p( _公式 Zm=kZb+(k-1)(-Za)意味著,若左側(cè)輸入Za,中間輸入Zb,右側(cè)輸出為Zm。, l/ h7 o) W" m- g8 {" Q) ~8 p' l- z
假設(shè)Za不動,放大作用使Zm為K倍的Zb,假設(shè)Zb不動,則杠桿作用使Zm為k-1倍的Za,
1 [2 a* g9 ?) ?3 H5 H9 d不過由于處于杠桿的兩側(cè),動作相反,因此有個負號。
2 r4 E' ~- b; m, b/ S  E9 d
' X' B: d& {; n+ q, D8 `* M一般的應(yīng)用都把其中一個點定死,一個點輸入另一個點輸出,例如某些古老的仿形機床。
- L6 E0 Z. f2 }  O4 n日內(nèi)瓦湖畔的瑞士軍刀小店用的軍刀刻字機,也用這種機構(gòu)。老板把客人的姓名字母凹
5 O% L& f5 S! a" w/ z模板(約20x30毫米,厚2毫米)在軌道上排列好,然后用仿形機構(gòu)縮刻在刀柄上。
  Q  }: A+ P) o5 ^只有西文字母可選? 嗯,下次誰有機會去的話,先帶上自己名字的中文模板哦。。。
# N; {5 p' Q1 X1 _- P5 a* I. [5 D  j9 R. g

: A& ?+ G6 l8 I' d( Y; E# r
- A) d6 P: a' c4 B/ v
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發(fā)表于 2013-7-6 14:31:25 | 只看該作者
挺有意思!
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發(fā)表于 2013-7-6 16:02:58 | 只看該作者
挺好挺好
4#
發(fā)表于 2013-7-6 18:40:12 | 只看該作者
厲害!!!
8 u& A7 g8 E, L# Y! Y還證明。。。。佩服,真沉得下心!
5#
發(fā)表于 2013-7-7 11:09:07 | 只看該作者
真是不錯
6#
發(fā)表于 2013-7-11 20:47:50 | 只看該作者
好貼,頂一個
# @6 \5 N& A9 c+ u
7#
發(fā)表于 2013-7-12 11:06:24 | 只看該作者
好強大啊
8#
發(fā)表于 2013-7-14 13:43:29 | 只看該作者
高手啊,長見識了
9#
發(fā)表于 2013-7-14 14:29:18 | 只看該作者
平常能看到的那個 做鑰匙的機器 是仿形的吧
10#
發(fā)表于 2013-7-14 22:03:02 | 只看該作者
厲害長見識了
4 R$ }. e# _: U' |# u
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