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一款另類的橢圓規 ---- 外嚙合1:1傳動

[復制鏈接]
1#
發表于 2013-7-6 13:56:53 | 只看該作者 |只看大圖 |倒序瀏覽 |閱讀模式
本帖最后由 動靜之機 于 2013-7-6 14:20 編輯
0 \7 K0 E" L0 _2 L3 ~7 e
/ ]5 F( \/ m9 v! D, E9 G8 U+ c這兩天比較愉快。小子連闖兩道關,考上了南外初中。5 Y2 S  V" S! N8 e4 X. v
3千多人抽簽(絕大多數都是有備而來的主),2560人中簽,然后考試,錄取320人,男女各半。2 @0 ]1 ^7 ?' @! I
) F/ }. n/ G# N4 h  i( `  A$ S
那天考完,出口處所有的孩子都苦著臉出來,說數學太難(出題也用英語)。! }& `0 {1 [" X1 W4 ?
俺家的亦是如此,說還有大概20多題沒空做(至少30分沒了,總分150分的卷子)。
* X# O8 W  }. q% Z不過此次考試沒考這類轉幾圈的題目,呵呵,瞎擔心了:! C5 q& Y- B, `) W( |
一個簡單的考題考倒一大片! ---- 續I
, _8 F" x- I) A( ]1 Chttp://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=231503+ K5 z4 n" s) \

9 z6 F1 t1 d$ i+ \/ \一周前,俺發了這個帖子:
! |1 k2 U6 p4 W( j( D/ Y怎樣車橢圓! y2 `/ j* L' ?& u. {/ ]
http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=329983
  y" A5 O; O  b
! R5 J! A! H2 ^2 G7 b3 y里面提到的德國網站http://www.volmer---ovaldrehen.de/englisch.htm里,有這么幾個橢圓規:
4 w4 y4 C  Q1 n3 K9 C3 M
5 \5 A8 ^5 ^8 ~5 P9 z# _這個就是十字滑軌式的,已經在“怎樣車橢圓”帖子里說清楚了。" t0 {: r  V) X# g9 }

. m4 A1 K6 O2 R5 a  A
' a% \8 v- t4 C9 U, u% D這個顯然是利用內齒輪嚙合的機構,大小直徑比為2,這也說過了。% E+ V& Z) T! e. Q- @: Q3 A

1 T* q# k6 U' e- W
" W* W$ F) h$ ~. q5 @0 b對這第三個東東,俺一下子沒看明白。該網站只是說該橢圓規機構
8 z) p$ P6 a" I* d; _允許在機構旁邊作畫(切割)因此可以作很小的橢圓& z0 ?* U* h# X: B  _2 g

7 h  _0 g$ J! W% C9 A  \圖片搜索該照片的名稱Kopp-Ellipsograph發現有這么一張圖,簡直一摸一樣:5 I/ m" ?' z; w/ W2 ^( x
http://fr.wikipedia.org/wiki/Ellipsographe) P) E" i0 `$ r! e

: M5 ~) Q( C0 k/ a
意味著有相關文章可看,大喜,點擊過去,十幾秒后,頁面終于打開,暈倒。
有人感慨“它認識我,我不認識它”大概就這意思。
8 Q& t3 k  O6 G: s% t
不死心,重新搜關鍵詞,找到一個鏈接,對該機構有些許說明:
http://tech.groups.yahoo.com/group/liveaboardlathe/message/34
) E/ Y3 I6 E  n$ f5 H8 G& J( S最下方提到參考書名 Mechanisms for the Generation of Plane Curves
$ W3 z0 w" ^1 [" K2 K7 T
于是搜來(估計是蘇聯圖書的英譯版)。抱歉,11M,就不上傳了。
# V5 }, G. q" a3 a
- n9 _' p" f7 @. ?% ?5 X翻遍全書,發現在105,106頁,有個證明(PS拼接如下):: O, A$ l& z  q3 j* Q) f/ A

) ]$ i3 j4 F3 h' c' S$ a這個證明和照片里的橢圓規不太一樣。
6 I9 e2 R  [, G4 [
* V1 F# z& e1 e9 e3 ]3 d2 h好吧,為了安心,也因為今兒個高興,把照片里的機構也畫瓢地證一遍:4 k  I8 L4 Q3 z. L9 E: L. O
設仿形機構放大系數為K,即DC=K*DM,兩個起點都在X軸上且都處在自身# ?, ?. p% J* o# W* w  K
圓心的右側(計算比較方便)。左側齒輪逆時針旋轉,右側順時針旋轉。6 V' \0 P* [' i  v
! Y0 X  i" h2 i
' s0 q/ B' H# \7 k% B) I
對于C點X坐標,分別從r2 r3 兩條路找到關系式:
8 D0 ?+ E) X1 g0 D0 [# Qr2Cosα+k*DM*Cosβ=R+x         
+ y; X8 M9 c8 t  cr3Cosα+R+(k-1)*DM*Cosβ=x  7 X- e: x9 ^  J8 i
消去Cosβ參數,得到:% g- I! W' e& A& p
(2k-1)R-x=[(k-1)r2 -kr3 ]* Cosα  ------------------- A 9 R4 @, y% a! }, Q) d
9 r% M& R. a) t) a: A3 F

9 V  C8 {6 ?& e- D4 \1 F! i2 j6 P對于C點y坐標,分別從r2 r3兩條路找到關系式:2 p7 V/ _- z4 i( D: b7 `$ |
r2Sinα-y =k*DM*Sinβ         
* i! M6 |# X/ E' K) K-y -r3 Sinα=(k-1)*DM*Sinβ / i+ F! F9 ^! a9 V
消去Sinβ參數,得到: 5 Y* q. Q; g; q0 l+ E; P
- y=[(k-1)r2 +kr3 ]* Sinα       ------------------------ B
( ]9 V" T7 {. B2 V& O6 c# w: ^/ T( c! L+ f" G

' [( d6 d' y* @7 a8 ?7 C把A式和B式綜合起來,就是(但愿全部步驟沒錯):
; n9 g1 l) w; \2 U
3 O8 ]: X3 d% v# }* a% b; Y+ D$ p
0 U& Q7 f  E8 E' ]1 l: D這顯然是個圓心分布于X軸(2k-1)R處,長半軸 (k-1)r2 + kr3 ,短半軸為 (k-1)r2 - kr3  絕對值的橢圓。/ B. x- @! C5 P+ [% Y' x* M
- M; C2 P, L: b6 v; s
α=90度時,兩個驅動臂互為180度,畫出橢圓長半軸最低點。
  ?: Q% |  j' ~6 s) @' ~  O) {9 c1 U. z$ @
若起始時,選取的某點已有初始角度,例如左側所取得點已經逆時針轉過180度,右側尚未動,則
* x/ W+ P  J7 |& b& Y意味著兩個驅動臂已經提前達180度角,那么當前畫出的點將是長半軸,而且在X軸上。也就是說,  }: |3 N% p  G5 t- X# D! ~
輸出的橢圓雖然大小完全沒變,但相對于例證,已經轉過90度啦,即相位角是初始相位角差的一半。6 F, n3 D$ q% r$ g, ]

, b; p8 H* ~& @9 [7 c4 K1 {回頭再看看那個滿眼鳥語的維基原圖的證明,就釋然了。 / ^! N) j" @/ i4 |

  e; J/ ^( ~" F# i不妨拿這個仿形機構來說明:) Z: p' P' j" J1 w7 q( S
$ ]9 U+ v, T' |2 s! y

# S9 T, x! S% N3 Z' I. f8 l/ k; ]
1 [4 @" I" h/ T. \! C* ?' G這個機構簡直天生為就是兩個復矢量的合成縮放準備的。
% X) _9 U  u! x8 m( A( ]! O& ^8 h5 i. ^. U% {
公式 Zm=kZb+(k-1)(-Za)意味著,若左側輸入Za,中間輸入Zb,右側輸出為Zm。! `+ @; K4 w- a
假設Za不動,放大作用使Zm為K倍的Zb,假設Zb不動,則杠桿作用使Zm為k-1倍的Za,8 W) X. J. _- L# l4 C. T1 ^( R
不過由于處于杠桿的兩側,動作相反,因此有個負號。: n6 j5 a" D' O) u  I, Q! Q

- v) B, U$ V$ v* Q+ f一般的應用都把其中一個點定死,一個點輸入另一個點輸出,例如某些古老的仿形機床。6 R3 K% i7 w0 l0 Y+ o, G
日內瓦湖畔的瑞士軍刀小店用的軍刀刻字機,也用這種機構。老板把客人的姓名字母凹
( s* R* ?7 @7 P模板(約20x30毫米,厚2毫米)在軌道上排列好,然后用仿形機構縮刻在刀柄上。
7 M4 F+ P' v! U/ s7 k只有西文字母可選? 嗯,下次誰有機會去的話,先帶上自己名字的中文模板哦。。。# c3 E2 A% H& N
4 p- _* @. X3 K% \% a" P+ }

: E$ G$ @3 n: |5 S; i- O, g) u; c
5 L, i" B& Q) I- d/ a: n! I
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發表于 2013-7-6 14:31:25 | 只看該作者
挺有意思!
3#
發表于 2013-7-6 16:02:58 | 只看該作者
挺好挺好
4#
發表于 2013-7-6 18:40:12 | 只看該作者
厲害!!!2 q7 B) c5 W2 i- f8 @' ^
還證明。。。。佩服,真沉得下心!
5#
發表于 2013-7-7 11:09:07 | 只看該作者
真是不錯
6#
發表于 2013-7-11 20:47:50 | 只看該作者
好貼,頂一個
8 g5 T+ H& o% s$ ~- V$ T  i3 i9 @
7#
發表于 2013-7-12 11:06:24 | 只看該作者
好強大啊
8#
發表于 2013-7-14 13:43:29 | 只看該作者
高手啊,長見識了
9#
發表于 2013-7-14 14:29:18 | 只看該作者
平常能看到的那個 做鑰匙的機器 是仿形的吧
10#
發表于 2013-7-14 22:03:02 | 只看該作者
厲害長見識了
+ _9 \  e8 V) E7 `* M) j  Z& s( t
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