一款另類的橢圓規 ---- 外嚙合1:1傳動

動靜之機

0 \7 K0 E" L0 _2 L3 ~7 e
/ ]5 F( \/ m9 v! D, E9 G8 U+ c這兩天比較愉快。小子連闖兩道關，考上了南外初中。
3千多人抽簽（絕大多數都是有備而來的主），2560人中簽，然后考試，錄取320人，男女各半。

那天考完，出口處所有的孩子都苦著臉出來，說數學太難（出題也用英語）。
俺家的亦是如此，說還有大概20多題沒空做（至少30分沒了，總分150分的卷子）。
* X# O8 W  }. q% Z不過此次考試沒考這類轉幾圈的題目，呵呵，瞎擔心了：
一個簡單的考題考倒一大片! ---- 續I
, _8 F" x- I) A( ]1 Chttp://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=231503

9 z6 F1 t1 d$ i+ \/ \一周前，俺發了這個帖子：
! |1 k2 U6 p4 W( j( D/ Y怎樣車橢圓
http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=329983
  y" A5 O; O  b
! R5 J! A! H2 ^2 G7 b3 y里面提到的德國網站http://www.volmer---ovaldrehen.de/englisch.htm里，有這么幾個橢圓規：
4 w4 y4 C  Q1 n3 K9 C3 M
5 \5 A8 ^5 ^8 ~5 P9 z# _這個就是十字滑軌式的，已經在“怎樣車橢圓”帖子里說清楚了。

. m4 A1 K6 O2 R5 a  A
' a% \8 v- t4 C9 U, u% D這個顯然是利用內齒輪嚙合的機構，大小直徑比為2，這也說過了。

1 T* q# k6 U' e- W
" W* W$ F) h$ ~. q5 @0 b對這第三個東東，俺一下子沒看明白。該網站只是說該橢圓規機構
8 z) p$ P6 a" I* d; _允許在機構旁邊作畫（切割）因此可以作很小的橢圓。

7 h  _0 g$ J! W% C9 A  \圖片搜索該照片的名稱Kopp-Ellipsograph發現有這么一張圖，簡直一摸一樣：
（http://fr.wikipedia.org/wiki/Ellipsographe）

: M5 ~) Q( C0 k/ a

意味著有相關文章可看，大喜，點擊過去，十幾秒后，頁面終于打開，暈倒。

有人感慨“它認識我，我不認識它”大概就這意思。

不死心，重新搜關鍵詞，找到一個鏈接，對該機構有些許說明：

http://tech.groups.yahoo.com/group/liveaboardlathe/message/34
) E/ Y3 I6 E  n$ f5 H8 G& J( S最下方提到參考書名 Mechanisms for the Generation of Plane Curves
$ W3 z0 w" ^1 [" K2 K7 T于是搜來（估計是蘇聯圖書的英譯版）。抱歉，11M，就不上傳了。
# V5 }, G. q" a3 a
- n9 _' p" f7 @. ?% ?5 X翻遍全書，發現在105，106頁，有個證明（PS拼接如下）：

) ]$ i3 j4 F3 h' c' S$ a這個證明和照片里的橢圓規不太一樣。
6 I9 e2 R  [, G4 [
* V1 F# z& e1 e9 e3 ]3 d2 h好吧，為了安心，也因為今兒個高興，把照片里的機構也畫瓢地證一遍：
設仿形機構放大系數為K，即DC=K*DM，兩個起點都在X軸上且都處在自身
圓心的右側（計算比較方便）。左側齒輪逆時針旋轉，右側順時針旋轉。


對于C點X坐標，分別從r2 r3 兩條路找到關系式：
8 D0 ?+ E) X1 g0 D0 [# Qr2Cosα+k*DM*Cosβ=R+x         
+ y; X8 M9 c8 t  cr3Cosα+R+(k-1)*DM*Cosβ=x  
消去Cosβ參數，得到:
(2k-1)R-x=[(k-1)r2 -kr3 ]* Cosα  ------------------- A


9 V  C8 {6 ?& e- D4 \1 F! i2 j6 P對于C點y坐標，分別從r2 r3兩條路找到關系式：
r2Sinα-y =k*DM*Sinβ         
* i! M6 |# X/ E' K) K-y -r3 Sinα=(k-1)*DM*Sinβ
消去Sinβ參數，得到:
- y=[(k-1)r2 +kr3 ]* Sinα       ------------------------ B
( ]9 V" T7 {. B2 V& O6 c# w

' [( d6 d' y* @7 a8 ?7 C把A式和B式綜合起來，就是（但愿全部步驟沒錯）:
; n9 g1 l) w; \2 U
3 O8 ]: X3 d% v# }* a% b; Y+ D$ p
0 U& Q7 f  E8 E' ]1 l: D這顯然是個圓心分布于X軸(2k-1)R處，長半軸 (k-1)r2 + kr3 ，短半軸為 (k-1)r2 - kr3  絕對值的橢圓。

α=90度時，兩個驅動臂互為180度，畫出橢圓長半軸最低點。
  ?: Q% |  j' ~6 s) @
若起始時，選取的某點已有初始角度，例如左側所取得點已經逆時針轉過180度，右側尚未動，則
* x/ W+ P  J7 |& b& Y意味著兩個驅動臂已經提前達180度角，那么當前畫出的點將是長半軸，而且在X軸上。也就是說，
輸出的橢圓雖然大小完全沒變，但相對于例證，已經轉過90度啦，即相位角是初始相位角差的一半。

, b; p8 H* ~& @9 [7 c4 K1 {回頭再看看那個滿眼鳥語的維基原圖的證明，就釋然了。

  e; J/ ^( ~" F# i不妨拿這個仿形機構來說明：


# S9 T, x! S% N3 Z' I. f8 l/ k; ]
1 [4 @" I" h/ T. \! C* ?' G這個機構簡直天生為就是兩個復矢量的合成縮放準備的。
% X) _9 U  u! x8 m( A( ]
公式 Zm=kZb+（k-1）（-Za）意味著，若左側輸入Za，中間輸入Zb，右側輸出為Zm。
假設Za不動，放大作用使Zm為K倍的Zb，假設Zb不動，則杠桿作用使Zm為k-1倍的Za，
不過由于處于杠桿的兩側，動作相反，因此有個負號。

- v) B, U$ V$ v* Q+ f一般的應用都把其中一個點定死，一個點輸入另一個點輸出，例如某些古老的仿形機床。
日內瓦湖畔的瑞士軍刀小店用的軍刀刻字機，也用這種機構。老板把客人的姓名字母凹
( s* R* ?7 @7 P模板（約20x30毫米，厚2毫米）在軌道上排列好，然后用仿形機構縮刻在刀柄上。
7 M4 F+ P' v! U/ s7 k只有西文字母可選？ 嗯，下次誰有機會去的話，先帶上自己名字的中文模板哦。。。


: E$ G$ @3 n: |5 S; i- O, g) u; c
5 L, i" B& Q) I- d/ a: n! I

949457130

挺有意思！

從不孤單

挺好挺好

劍南春17385

厲害！！！
還證明。。。。佩服，真沉得下心！

low-key

真是不錯

夕陽書生

好貼，頂一個
8 g5 T+ H& o% s$ ~- V$ T  i3 i9 @

GRL889

好強大啊

王大9997

高手啊，長見識了

shasu

平常能看到的那個 做鑰匙的機器 是仿形的吧

gctdxy

厲害長見識了
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