解一個閥門的數(shù)學模型

明月山河

/ d5 W0 o! |) `6 T
設(shè)計一種閥門，遇到一數(shù)學模型，有點疑惑，請各位俠士支招。
, s- \) r6 E* t5 c# a+ B* d
如圖的是一個扇形區(qū)域，里面分成六個格子，也就是流體的通道；格子的面積是S1～S6；相應(yīng)的外半徑分別是r1~r6；格子的徑向壁厚為δ，兩側(cè)射線的壁厚為δ/2，（實際這是圓周分布的，取側(cè)壁的一半劃出扇形就成了這樣子）。可列出S和r的方程：

2 k) X4 P- ~. n  o2 p1 r$ n' S; \其中δ的取值范圍為0.5～2.5已知；扇形的張角α為20～50度，已知； 格子面積S1～S6是有外部參數(shù)驅(qū)動的，數(shù)值未知，但是這里把它當成已知的；r7=5～7為已知；
r1～r6是未知數(shù)，求解它們的表達式；
當然確切的解析式是很難的，這里的表達式可以是某種近似解法，例如函數(shù)逼近公式，等等；
目的有二：（1）看它們隨著Si，α，δ的變化規(guī)律；（2）同外部參數(shù)聯(lián)立求解一個更大的方程；
想用對 δ 冪級數(shù)展開的方法，但是收斂速度未知，如果每個r都展開到5次項，將要求解30個方程；這個應(yīng)用起來可能比較麻煩；
那位高手給點妙招；數(shù)值方法暫時不考慮；
9 Y2 y- p$ ~6 h  e2 u: T/ [


0 ~6 c) K( C5 `
" j) e4 X0 ?7 V' v5 {- W補充內(nèi)容 (2015-5-24 21:26):
Si中是含有外部參數(shù)驅(qū)動的函數(shù)，其中包含有r1，但是具體還沒有確定，所以要求ri關(guān)于Si的比較簡單的表達式，但是用根式表示的難以應(yīng)用，不是簡單倒推迭代就行的；

陽光小院暖茶

圖呢？

明月山河

9 z3 Z/ b8 k* L& F& ]4 q

陽光小院暖茶

看不懂，我默默閃人了

中國龍1222

真心看不懂，，走人

shouce

6個方程    解6個未知數(shù)     理論上完全可行的

shouce

可以用   解非線性方程組的Newon法

shouce

其實就是解一個  一元二次方程     我用matlab   算了下
% L/ P$ n: r2 A$ o0 ^# ^>> syms  s r6 r7 a b
- O; K6 B, q: K: ?' e1 V  C4 d6 p>> f=sym('1/2*(r6^2-r7^2)*a-(a*r6-b+r6-r7)*b-s')

2 J$ V( {7 ~8 If =

(a*(r6^2 - r7^2))/2 - s + b*(b - r6 + r7 - a*r6)
" r. S' J0 f6 d7 ]! C >> finverse(f,r6)

ans =
0 @- C* t3 A* _' F$ m- j4 V
3 A+ k# o0 u, A8 k. x, R0 y; _4 C(b + a*b + (2*a*r6 + 2*a*s + b^2 + a^2*b^2 + a^2*r7^2 - 2*a*b*r7)^(1/2))/a

>> pretty(finverse(f,r6))
3 \- K' b. |1 S& n                                 2    2  2    2   2
b + a b + sqrt(2 a r6 + 2 a s + b  + a  b  + a  r7  - 2 a b r7)
---------------------------------------------------------------
                               a

shouce

shouce 發(fā)表于 2015-5-24 21:04
其實就是解一個  一元二次方程     我用matlab   算了下
6 l8 L0 w# u9 e) ~8 M% }/ b" w>> syms  s r6 r7 a b
9 U% Y$ r' A! x" _( j* P1 }- W: i>> f=sym('1/2*(r6^2-r7^ ...

4 l6 E: X) e4 k. e" ~2 w>> syms a b c x
( |- q" l( y1 d+ m( ]( X>> f=sym('a*x^2+b*x+c')

, }. D- t, F4 h+ u0 a; Z  m) Vf =

! u2 O  Y, m8 Q8 d' g9 r5 za*x^2 + b*x + c

! [# q3 l" A/ `# @9 X* L4 K7 Y$ C>> finverse(f,x)
  }% l4 v3 Q- k/ Z+ G( i4 e
ans =

-(b + (b^2 - 4*a*c + 4*a*x)^(1/2))/(2*a)

1 L7 n$ ^( r0 E# Y% G我用matlab 推導(dǎo) 一元二次方程求根公式      
            
; N8 v1 G! V% x0 u9 |               2
% m& k5 f6 Q5 Y& B% Z( _: J* J  b + sqrt(b  - 4 a c + 4 a x)
! Y# V& `$ M8 I7 q5 g/ `- ----------------------------
8 m/ [. o4 O% i               2 a

4 w! w+ ?6 v" R/ [; w6 A  a8 t5 K
這個也含有X  估計  可以刪除
1 Z, D" B6 c0 k% P