我研究數(shù)學一點心得：一種從代數(shù)式到微分式的快速變換法

逍遙處士

我研究數(shù)學分析（微積分）以來，有那么一點心得，一直想寫出來，幫助初學者，以跨過那些難懂的書籍，以掌握微積分，以產(chǎn)生生產(chǎn)力。
7 Q2 T. S+ n5 |3 @4 J" g( W1 `
$ M: y$ t5 C) l/ b% i# ~讓我們把概念拋棄，先把玩法弄會，把玩法弄熟，最后再學習基本理論。
本方法能從代數(shù)式一步過渡到微分式，只需要簡單的替換、四則運算、省略等操作。

先從最簡單的一元一次方程式開始。
y = 2x                      （1）
我們將 y 替換成 y+dy ， 將 x 替換成 x+dx，于是上式變換成：
  g' h8 g! V. A/ E1 S; G6 [/ i* G(y+dy) = 2(x+dx)      （2）
（2）-（1）得：
dy = 2dx                  （3）
& {4 V; `! v9 {" D上面這個（3）式就是（1）式的微分式。快吧？將dx從右邊挪到左邊就變成：
dy/dx =  2 = y'           （4）
7 h) Z$ M: X$ u" z: E上面的（4）式就是（1）式的導數(shù)式，導數(shù)就是這么求來的。

" @/ M' b# q- m. R下面再來看一元二次方程：
y=x^2                      （5）
- r8 ^% A1 n: l- `2 b做替換，y→y+dy，x→x+dx，得：
(y+dy) = (x+dx)^2     
展開得：
0 W& Z' p4 c/ q( z6 B(y+dy) = x^2 + 2x*dx + dx^2  （6）
$ E" Y1 I7 ~1 ^% W- y（6）-（5）得：
" X$ O! S" J2 b2 sdy = 2x*dx + dx^2     （7）
這里介紹一個關鍵，微積分的精髓——dx屬于一階“無窮小”，而dx^2屬于二階“無窮小”，二者相加，高階者略去，所以：
8 b% d1 r9 N) wdy = 2x*dx                （8）
% M! ?4 s) G) M0 |dy/dx = 2x = y'          （9）
3 J8 g" p9 N5 u: I0 e上面的第（9）式就是（5）式的導數(shù)式。
0 O9 e$ m8 z8 s$ {! K
下面看二元一次方程：
& Z( d/ A4 g& s3 }" M  z: Fz = xy                      （10）
( V% I. i7 Y! h做替換z→z+dz，y→y+dy，x→x+dx得：
(z+dz) = (y+dy)(x+dx)（11）
: }% {8 V" x) [8 ^: H* s+ S/ k; V展開得：
9 P1 ]/ X. S( j* [. yz+dz = xy + ydx + xdy + dxdy （12）
7 J9 @0 @  w% V; @' _（12）-（10）得：
4 c9 l9 V4 l0 P/ zdz = xdy + ydx + dxdy（13）
4 O3 \( Y% M8 J; W6 o看上式，又出現(xiàn)了高階“無窮小”，可以略去，所以：
$ y* I; y# m0 M8 `7 `% wdz = xdy + ydx          （14）
; _  y% A# H" t上式即為（10）式的微分式。

最后再舉一個例子，關于流體的連續(xù)性有一個式子：
, f+ k, \2 E2 P3 |ρvA = C（常數(shù)）
6 ^. ?( |) I, c$ M: y書上說先兩邊取對數(shù)，然后再兩邊微分，得：
# p& U" w2 ?9 {. `0 Ydρ/ρ + dv/v + dA/A = 0
用我的方法，不用無中生有去微分，一樣得出這個式子，先做替換得：
; T9 F9 w+ R, q# `& b(ρ+dρ)(v+dv)(A+dA) = C
% P" y/ A* F; V+ @# A& M& Y展開得：
; L4 ^1 L! l" T( `5 }ρvA + ρvdA + vAdρ + Aρdv + ρdvdA + vdAdρ + Adρdv + dρdvdA = C
& `9 V, i0 o' ^) M* ?減去第一個式子，再略去二階及三階無窮小，得：
ρvdA + vAdρ + Aρdv = 0
' ~) k& P( s7 i% S  m兩邊同除以ρvA，就跟上面一樣了。

' M  P* ]) q8 M  P( q" q2 a2 I總結一下，第一步替換，第二步相減，第三步“略去高階無窮小”，成功！
1 g4 \5 ]/ W5 A  n+ H+ y任何方程式都可以這么干，不涉及極限和無窮等概念，輕松學會微分變換。

風隨意

初中畢業(yè)表示很難看懂~

逍遙處士

題目又被改了……聲明一下，冒號前面的字是管理員加的。
鄙人可不敢說研究數(shù)學，會讓教授們笑話的。
" }) j5 k  p, T# L( N, W6 N再次聲明，冒號前面的字是管理員加的。

水水5

最近感覺到處都要用到數(shù)學呢
% {! C7 ^3 }" l. N2 D0 [4 s2 g1 {  W往高一點研究都是要用數(shù)學的   也在看微積分 復習一下

mfka

很有意思！
1 T+ j+ D# p7 N謝謝把你研究結果與大家共享！
我提點我的看法，請不要介意！
你用的是數(shù)學研究的枚舉法，如果要普通適用就要證明的方法過程，你所謂的無窮小項不一定是真正的無窮小。

zhulongxin1986

不去教數(shù)學真是浪費啊。

逍遙處士

mfka 發(fā)表于 2013-5-22 22:59
" S- c5 ~+ z- t' D很有意思！
4 z. f4 _6 Z1 A謝謝把你研究結果與大家共享！
我提點我的看法，請不要介意！

$ C# U7 w0 M1 x2 ]/ z鄙人這是綜合了標準分析、非標準分析以及我國陰陽學說才研究出的結果。
完全符合洋人的標準，所以不存在你說的那些問題。

補充內容 (2013-5-25 22:28):
% q8 O# v1 c! t$ l這個真不是吹牛，其實我原本的想法，并不是這樣。我原本的想法寫出來，如果用陰陽學說來看，是很容易理解的，但現(xiàn)代人怎能接受？我只能寫成這樣，但這樣更難理解。但是——無論你怎么說，這種方法的結果卻是對的。

補充內容 (2013-5-25 22:30):
我們不妨想一想，這種簡單直接的方法，無論在什么情況下，它的結果都是對的，但它的解釋學起來卻無比艱難——大家想一想，問題出在哪里？就是出在對這種方法的解釋上面！

補充內容 (2013-5-25 22:33):
所以不管什么無窮小、極限、趨近于0等等等等，這些概念都不過是為了說服我們自己而已。如果有一種方法，能讓我們很容易就相信這種做法的正確性，那么，這種學問學起來是不是就會容易很多？
' {3 [! b9 ^1 X, V0 T4 k5 S* I
補充內容 (2013-5-25 22:34):
3 x) ^% b" P0 U7 {所以不管什么無窮小、極限、趨近于0等等等等，這些概念都不過是為了說服我們自己而已。如果有一種方法，能讓我們很容易就相信這種做法的正確性，那么，這種學問學起來是不是就會容易很多？

請叫我小凱

滿新穎的

大本Ben

嘻嘻。以后遇到這些就簡單多了。

wwfs

這其實就是導數(shù)公式的推導過程，用極限的方法，數(shù)學分析教材至少我學的版本就是這么處理的，這么看來不清楚極限的可以用樓主的方法，知道的可能就覺得在繞圈子了，小小評論樓主莫在意啊