啊。。。這個都成月經(jīng)問題了，各個論壇上都會吵一遍/幾遍。。我也吵過幾次，淡定了一些，既然壇子里的兄弟們感興趣我也就說說我的看法。
* F1 N" _1 G; V) X有人說這個題是能看出人學沒學過高數(shù)的分水嶺，其實不然。這其實只關(guān)于對于極限思想的理解而已。。
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其實0.999...999是嚴格=1的。8 [/ u ~# D% L( U( P3 Q
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一個簡單的證明：+ P P0 p2 L) h, b
4 [' X- C9 J/ o6 u0 B& i( I9 Y$ K【定理】在任意兩個不同的有理數(shù)之間必定存在著無窮多個有理數(shù)。
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4 M, X( a$ ?" X. N& ]! J1 h1 w% i先證定理：a和b兩有理數(shù)，如果a!=b,那么一定存在n個c,c=m*(b-a)/n+a, m定義域（0，n)
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顯而易見吧？意思就是它們之間的小區(qū)間可以無限再分，從而構(gòu)成無窮多新的有理數(shù)。9 ]! z E& ~! h) N2 B. d
% P* N; u, G1 V7 Q回到題目：0.999...999和1是不是不同？
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1 C3 P! q( w# Z* F5 l反證法，假設(shè)不同： 那么一定存在a,使a=（1+0.999...999）/2 B$ T0 T0 ]. e( p6 a
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這個數(shù)是什么呢？那一定是有一個小數(shù)，比0.999...999擁有更多的9. 那是不是表示，這個新的數(shù)就應(yīng)該是你之前的那個數(shù)？
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' j, U. |4 l+ l& ^+ g所以說明了什么？要么存在一個新數(shù)取代了原來的數(shù)，要么兩數(shù)相等。如果新數(shù)取代了原來的數(shù)，證明你的9還不夠多。 c. M: u9 f6 k
5 y5 e) A6 n. m* F1 B所以，0.999...999和1只能相等，證畢5 v8 {- ?& ^3 g# y/ ?9 d
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& w+ U( @9 J8 t* q8 B更簡單的證明方式也有, 壇子里不少大俠也說過了：5 |6 e/ y% \: O2 g( J7 |
1/3=0.33..33， 這個居然還有人質(zhì)疑？小數(shù)（或者說根本不存在小數(shù)）和分數(shù)是一一對應(yīng)的，或者說根本就是相等的，這個也不需要質(zhì)疑的好吧？后面就不證了，有想杠一下的再說。" s' I+ h) z. s9 H) G) R
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再細說一下第三種。) ]4 \5 G K' Y
0.999...999*10=9.999...999! S) T! q# b% E6 ?) _( C' ~+ r4 G& g
這個式子成不成立？顯然成立。但是是不是有一種右邊小數(shù)點少一個9的感覺？為什么？
" ?% v, Y& c, h; @7 u1 a2 |# @伽利略悖論有一句話：正偶數(shù)和自然數(shù)一樣多。' o% ]+ C, _$ a" ~ C2 t" f
解讀過來，在無窮的層面上，每一個自然數(shù)都和他的2倍一一對應(yīng)，有n個自然數(shù)，就有n個正偶數(shù)。
0 R8 N9 F! h! {# ?$ u, \" o（多提一句：上例可以一一對應(yīng)，但涉及無理數(shù)和實數(shù)則不行，實數(shù)對于有理數(shù)屬于高階包含，不存在映射關(guān)系了）0 D9 I9 p- d" d& l/ P: @/ Q9 w8 e+ ^
同理，每一個左邊的9，都與右邊的等位的9(其實是前一個)一一對應(yīng)，相當于編程里的n=n+1,沒問題吧？) R& g# G4 l5 l' k4 W1 l" j
因為是循環(huán)小數(shù)，數(shù)位后是n位，在無限的概念下，n和n+1沒有區(qū)別。這一點可能不太好理解，但如果你理解了上面的伽利略悖論，就很好懂了。
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另外說什么無限小數(shù)不能計算的，純屬扯淡。無限小數(shù)是位數(shù)不限，不是大小不限。再無限的小數(shù)，他的值也是有限的，不能混淆他和無窮大之間的區(qū)別。- J$ t; K8 E4 A9 Q( q
) O. V2 B" ~/ a; t( @: _- e% U) a# \大家都是工程師，感覺理解能力和接受能力應(yīng)該高于各門戶網(wǎng)站的網(wǎng)友群體吧。有問題或者不同意見，歡迎交流。
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樓主: 冷水黃金
發(fā)表于 2021-5-20 16:38:35
這個厲害的
