已知面角，如何求歐拉角，機器人坐標變換怎么求？

水水5

DaedraMech 發表于 2025-7-28 14:23
一般對算法這邊來說最直接的就是拿到變換矩陣了，不知道為什么還要舍近求遠獲得歐拉角，不過樓主需要的話 ...

# `) r, T( M) m2 s0 I感謝層主，膜拜

) k' _; P; g) m+ _我一定把它付諸實踐
  J7 S; l9 q- @. Q0 |' [
我又搜索了一些其他的方法，再次請樓主給于指導。一些方法貼入后面的回復。
; k+ q9 ?( p  J5 h3 t

水水5

) z% ?, _+ }- |5 s" o; _! |# h
# p3 [6 }* U4 o, q1 I方法一 本文轉載自簡書，作者是梁間。表示感謝
7 t* Q: H* n) V, m數學模型已知兩個坐標系在各方向上尺度縮放比例一致，兩個坐標系的轉換關系可以用7個參數來表示，3個旋轉參數，3個平移參數，1個比例參數。已知三點在A、B兩個坐標系中的坐標，那么這7個參數可以唯一確定。
+ h" W: T7 {$ r; P8 z0 l坐標轉換的數學模型為：

其中，λ是比例參數，R是旋轉矩陣，Δ是平移向量，A、B分別是兩個坐標系中的坐標。
" }0 p( R8 N1 Z9 o比例參數λ最容易計算
7 b- C( B# C! u7 }# w9 Q7 y7 A
9 M. X, j/ P' i# d- i1 |' R其中 為兩點在A坐標系中的距離。
! b5 L" D) z5 y2 z2 r% {旋轉矩陣R是一個3x3的正交矩陣，有3個自由度。可利用反對稱矩陣S來構造旋轉矩陣R：
: i2 R2 T7 v# E, w1 V: ^
( B1 f8 c! k: _# Y, X, K. n  V那么
* a1 R' u; ]# H& q
( T  u. o8 G8 S4 n其中I是單位矩陣，這里R只有a、b、c三個變量，解出a、b、c即可確定旋轉矩陣R。
把兩點帶入(1)式并相減消去ΔX、ΔY、ΔZ
# g6 L$ Y3 p6 x( h
這里為點在A坐標系X軸向坐標值，為已知量。我們簡化一下寫法設定：

這樣(3)式可寫為

把(2)式帶入(4)

帶入S
: Q( a  F& ]+ b7 k
展開
2 W, ?: E3 g' f1 Y0 \" C5 m" D
  |4 z) r, d* h# w整理可得
2 ]& i; ^+ n6 Y7 X) k9 W; D8 i
; G# `) M/ L" s(5)式只有兩個獨立方程，解不出a、b、c三個未知量。帶入點得到和(5)式類似的方程組，兩個方程組聯立，取3個獨立方程


. W: s% a, E! }5 j* u可結出

. z2 P6 h- d: l8 q3 T; |把a、b、c帶入(2)式可到旋轉矩陣R，把任意一點坐標帶入(1)式可得Δ。


8 x7 `9 Y3 L3 ^' ~5 {/ x
' l+ R( ^( {6 }/ w( f/ \2 m作者：梁間
, ^1 J( n4 r  I鏈接：https://www.jianshu.com/p/58cf5655f9a9
8 d+ k; V+ e0 J+ k來源：簡書
著作權歸作者所有。商業轉載請聯系作者獲得授權，非商業轉載請注明出處。
' J0 x* {9 c3 C

水水5

方法二，這里提到了SVD算法

通過實際的坐標點例子，來直觀解釋通過SVD求對應的坐標系關系。

已知四個點在坐標系A中的坐標為：

（0， 0， 0）; （1，0，0）; （1，1，0）; （0，1，0）

可得矩陣A為

! G3 w2 w, ?- e) n4 K- H
矩陣A

這四個點在坐標系B中的坐標為：

（2，2， 2）; （3，2，2）; （3，3，2）; （2，3，2）

可得矩陣B為

5 J; t1 k  }, U; G0 A. y# M% |7 A
9 E, a5 e; G* E$ i4 K矩陣B步驟一：求兩個數據集的質心

根據上述公式，可得質心為

步驟二：將兩個數據集的質心移動至同一個點，即只存在于一個旋轉的轉換關系。

對應坐標系中的點同時減去質心，計算后的矩陣A和B分別為

4 l1 S* ^% ?. b0 Q8 K. D% ?& c
計算后的矩陣A

& o& B/ r# Z$ b/ d, x! f, V計算后的矩陣B

備注：此處的矩陣A和矩陣B一樣，因為舉得例子較為特殊，只存在平移關系。計算過程通用。

步驟三：通過SVD算法計算旋轉和平移關系。

定義一個3X3的矩陣，將矩陣A的每一行數據與矩陣B進行點乘，會產生四組3X3的矩陣，將這四組數據求和，得到最終的3X3的矩陣，就是我們需要用SVD算法來進行奇異值分解的矩陣H。

上述公式中，顏色相同的框內數據進行點乘，構成3X3的矩陣a1,a2,a3,a4。

矩陣H = a1 + a2 + a3 + a4。計算結果如下

通過SVD算法分解該矩陣，這里直接通過MATLAB接口調用，具體原理在前面的章節中已描述。

步驟四：計算旋轉和平移關系

根據上述求出的u1和v1，可求得旋轉矩陣R為將該旋轉矩陣轉為歐拉角則Rx = 0, Ry = 0, Rz = 0。

根據公式

得平移矩陣為

總結：如果在實際項目中，需要獲取多臺設備間的關系，如機器人相對于產品間的關系，或者機床相對于產品的關系，則該方法較為實用。注意：在實際的選擇參考點時，不要在一條線上選點。如上述選的四個點，要求不能共線。要不然會減少有效數據。

DaedraMech

! b8 b! s/ O  Y) G$ @- x0 s1 a
& \/ D2 f, I( T3 T8 e沒想到水水大俠對此問題如此孜孜以求，鉆研精神和信息獲取能力令小弟佩服，我比較功利，方法能解決問題就行。
3 ^6 s' x0 h3 V0 k  T8 K" K
8 U$ \  Y  \" w# g3 f/ ]我把之前回復中的齊次變換矩陣改一下符號，樓主可以對比下和文章中的表達方式是不是一回事：
2 z4 v3 J. h6 u1 M9 K2 W+ _

平移、旋轉、縮放這類坐標變換我們統稱為線性變換。平移和縮放非常簡單，沒什么好說的，重點就是如何求得旋轉矩陣R，上述兩種方法就是通過純代數的方法求解R。
( @4 h- D" U- Z  U9 ^  }" u你用什么方法和選擇的工具有關，上述兩種方法多用在圖像處理和機器學習中，算法工程師手里的工具是集成編程環境，是代碼，采用代數方法自然是比較直接的。但要知道矩陣可是聯系代數和幾何的橋梁啊，而我們則掌握了強大的幾何工具SW，利用【旋轉矩陣可以表示坐標系】這一幾何意義我們可以直接得到R，完全不需要上面繁瑣的運算。

水水5

DaedraMech 發表于 2025-7-29 20:37
沒想到水水大俠對此問題如此孜孜以求，鉆研精神和信息獲取能力令小弟佩服，我比較功利，方法能解決問題就行 ...

$ V# Q5 |3 ^& _4 A) r4 N: {0 N感謝大俠的持續教誨。大俠如果有，從變換矩陣導出歐拉角，的計算公式，恭請再給明示下。
& L( J7 q+ {! p' p' \' ~4 c
: c. [: x4 V+ Q  x3 }經過又一個周末的摸索和學習，我已經學到了旋轉矩陣的測量方法，并且通過計算一個點的坐標在兩個坐標系中的坐標值進行了驗證。

4 M/ w8 u/ j- o這是第一步，下一步是求歐拉角。

我最終的目的是：
$ V+ {9 [0 n( k. d3 d4 e, ~  ~“在機器人示教工具坐標系的時候，不需要再繁瑣的用6點法搞一個小時示教，而是我作為機械工程師，可以直接從三維中計算出，通過計算，直接可以提供XYZABC的數值”
" T; _" [3 J$ K4 r
# A1 Q. J% e* r4 _2 V但是這里面有個難題，我不知道機器人工具坐標系參數他是采用的哪種形式的歐拉角
下圖是我的作業

DaedraMech

歐拉角其實也不難求出，就是麻煩點。

% F: N# @7 z4 b0 t- U/ ]' r假設你手上的示教器里面歐拉角就是按照常規的Roll-Pitch-Yaw順序（ZYX順序）定義的，那我們不妨把單獨繞Z、Y、X軸的旋轉矩陣從左到右依次乘起來，看看最終的旋轉矩陣里各個元素的表達式都是啥。

2 w9 |7 I+ G. z" h3 e! C從上面的結果可以看出，通過對矩陣中特定元素之間的運算，我們是能夠分離出繞特定坐標軸的轉角的，即：

如果不知道示教器中歐拉角是如何定義的（并且上述順序錯誤的話），就需要再交換單軸旋轉矩陣的乘法順序，獲得新的表達式再次實驗。（也可以直接在示教器上輸入角度看機械臂到底先繞哪個軸旋轉）
& u. D  S3 r9 P4 J: F
另外可以想象到，空間中一定存在某個軸，能夠讓坐標系一步到位，直接一次旋轉到最終位置，而這就要用到四元數。所以如果示教器還支持四元數輸入的話，也可以將旋轉矩陣轉化為四元數：
) s* U; s. F7 n3 O! y
四元數中xyz表示了轉軸的方向，w表示了繞這個軸的轉角，其值為轉角的半角余弦值。
+ M: Z& [" X) Q( a, W
' C( `2 r7 G, h" g' b& \: J2 J' ?% u

水水5

DaedraMech 發表于 2025-8-6 20:03
; @: ~5 R/ F$ S$ F歐拉角其實也不難求出，就是麻煩點。
2 A) m  W& Y, _4 X, t
: u/ I7 Z' c/ X6 q- R1 w假設你手上的示教器里面歐拉角就是按照常規的Roll-Pitch-Yaw順序（ZY ...

4 i* i0 p0 t: W& p* t感謝大俠的熱情回復。匯報下進展：

1 b7 x% I5 Z* a1 Q# L  h4 Z$ ?首先證明了旋轉矩陣是對的，第一步已經完成，
第二步，我找了那些計算歐拉角和四元數的公式，公式應該是沒錯的。雖然歐拉角的解不唯一，但是四元數是唯一解。經過比對，還是和示教器中的數值有一定的差距。

經過分析，機械安裝有一定的誤差，手爪又這么長。所以至少證明了理論計算是正確的。但是實際應用，還是要修正。免不了還是要示教一下。
: i& e& d0 _$ l! [7 j+ w第三步，通過咨詢得到 歐拉角的旋轉方式。還未進一步計算，等下次有機會了再實驗。
& d8 s2 V: ]/ }5 N- S' D
' y. F9 E8 l, D這是FANUC對坐標系歐拉角的描述，市面上絕大多數機器人，都是遵循固定坐標系XYZ這樣的一個旋轉順序。
6 l* x+ b, a/ g. W' Z
上士聞道，勤而行之；中士聞道；若存若亡；下士聞道，大笑之。不笑不足以為道。
7 M9 S8 y7 D  j1 i& d感謝各位的技術支持，感謝論壇。
. R) o4 }. N3 k2 Y' F3 j2 h

水水5

DaedraMech 發表于 2025-8-6 20:03
歐拉角其實也不難求出，就是麻煩點。
5 j6 p2 `) `5 R- s4 j
假設你手上的示教器里面歐拉角就是按照常規的Roll-Pitch-Yaw順序（ZY ...

大俠有沒有 mathcad 教程 源文件？

您給出的公式的求解，還是有點一知半解。數學沒學好，尷尬

ckc521

歐拉角旋轉很簡單的,不管是什么順規的旋轉,都可以用基本旋轉矩陣推導出來,但是歐拉角的萬向鎖問題很煩人,雖然有算法可以解決.

qqqabcw

提供一種思路：在一個統一的坐標系下，執行器、工件目標平面都提取一個平面法向向量，把他們弄成平行的（調整機器人的角度），最后就是平移。不難就是有點燒腦