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發(fā)表于 2008-3-27 14:46:10
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將物體劃分成有限個(gè)單元，這些單元之間通過有限個(gè)節(jié)點(diǎn)相互連接，單元看作是不可變形的剛體，單元之間的力通過節(jié)點(diǎn)傳遞，然后利用能量原理建立各單元矩陣；在輸入材料特性、載荷和約束等邊界條件后，利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行物體變形、應(yīng)力和溫度場等力學(xué)特性的計(jì)算，最后對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析，顯示變形后物體的形狀及應(yīng)力分布圖。
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( i8 Z& I D4 X* L0 V! C 有限元分析（FEA，F(xiàn)inite Element Analysis）的基本概念是用較簡單的問題代替復(fù)雜問題后再求解。它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成，對每一單元假定一個(gè)合適的(較簡單的）近似解，然后推導(dǎo)求解這個(gè)域總的滿足條件(如結(jié)構(gòu)的平衡條件），從而得到問題的解。這個(gè)解不是準(zhǔn)確解，而是近似解，因?yàn)閷?shí)際問題被較簡單的問題所代替。由于大多數(shù)實(shí)際問題難以得到準(zhǔn)確解，而有限元不僅計(jì)算精度高，而且能適應(yīng)各種復(fù)雜形狀，因而成為行之有效的工程分析手段。
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有限元是那些集合在一起能夠表示實(shí)際連續(xù)域的離散單元。有限元的概念早在幾個(gè)世紀(jì)前就已產(chǎn)生并得到了應(yīng)用，例如用多邊形（有限個(gè)直線單元）逼近圓來求得圓的周長，但作為一種方法而被提出，則是最近的事。有限元法最初被稱為矩陣近似方法，應(yīng)用于航空器的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度計(jì)算，并由于其方便性、實(shí)用性和有效性而引起從事力學(xué)研究的科學(xué)家的濃厚興趣。經(jīng)過短短數(shù)十年的努力，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展和普及，有限元方法迅速從結(jié)構(gòu)工程強(qiáng)度分析計(jì)算擴(kuò)展到幾乎所有的科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，成為一種豐富多彩、應(yīng)用廣泛并且實(shí)用高效的數(shù)值分析方法。1 J$ R: u+ F L1 K& O9 k
+ N* p' z0 R0 g8 P! b 有限元方法與其他求解邊值問題近似方法的根本區(qū)別在于它的近似性僅限于相對小的子域中。20世紀(jì)60年代初首次提出結(jié)構(gòu)力學(xué)計(jì)算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地將其描繪為：“有限元法=Rayleigh Ritz法＋分片函數(shù)”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一種局部化情況。不同于求解（往往是困難的）滿足整個(gè)定義域邊界條件的允許函數(shù)的Rayleigh Ritz法，有限元法將函數(shù)定義在簡單幾何形狀（如二維問題中的三角形或任意四邊形）的單元域上（分片函數(shù)），且不考慮整個(gè)定義域的復(fù)雜邊界條件，這是有限元法優(yōu)于其他近似方法的原因之一。
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- C0 A6 ^! |& j& m) Q9 x0 V3 L 對于不同物理性質(zhì)和數(shù)學(xué)模型的問題，有限元求解法的基本步驟是相同的，只是具體公式推導(dǎo)和運(yùn)算求解不同。有限元求解問題的基本步驟通常為：5 C6 R# I1 A: e
; X$ F+ ?" m8 x% V 第一步：問題及求解域定義：根據(jù)實(shí)際問題近似確定求解域的物理性質(zhì)和幾何區(qū)域。4 q0 d+ C7 |! y% H& j% J i
4 P* B5 x3 Q2 |, j. K 第二步：求解域離散化：將求解域近似為具有不同有限大小和形狀且彼此相連的有限個(gè)單元組成的離散域，習(xí)慣上稱為有限元網(wǎng)絡(luò)劃分。顯然單元越小（網(wǎng)絡(luò)越細(xì)）則離散域的近似程度越好，計(jì)算結(jié)果也越精確，但計(jì)算量及誤差都將增大，因此求解域的離散化是有限元法的核心技術(shù)之一。
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5 d0 p( J/ z* ^8 p. B: D! ^2 H 第三步：確定狀態(tài)變量及控制方法：一個(gè)具體的物理問題通常可以用一組包含問題狀態(tài)變量邊界條件的微分方程式表示，為適合有限元求解，通常將微分方程化為等價(jià)的泛函形式。
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$ }( ]! A+ d# c* u1 z 第四步：單元推導(dǎo)：對單元構(gòu)造一個(gè)適合的近似解，即推導(dǎo)有限單元的列式，其中包括選擇合理的單元坐標(biāo)系，建立單元試函數(shù)，以某種方法給出單元各狀態(tài)變量的離散關(guān)系，從而形成單元矩陣（結(jié)構(gòu)力學(xué)中稱剛度陣或柔度陣）。
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為保證問題求解的收斂性，單元推導(dǎo)有許多原則要遵循。 對工程應(yīng)用而言，重要的是應(yīng)注意每一種單元的解題性能與約束。例如，單元形狀應(yīng)以規(guī)則為好，畸形時(shí)不僅精度低，而且有缺秩的危險(xiǎn)，將導(dǎo)致無法求解。
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& ]- ~2 R. J( b8 _/ s 第五步：總裝求解：將單元總裝形成離散域的總矩陣方程（聯(lián)合方程組），反映對近似求解域的離散域的要求，即單元函數(shù)的連續(xù)性要滿足一定的連續(xù)條件。總裝是在相鄰單元結(jié)點(diǎn)進(jìn)行，狀態(tài)變量及其導(dǎo)數(shù)（可能的話）連續(xù)性建立在結(jié)點(diǎn)處。
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$ U" A- C/ y: h' T$ C* m 第六步：聯(lián)立方程組求解和結(jié)果解釋：有限元法最終導(dǎo)致聯(lián)立方程組。聯(lián)立方程組的求解可用直接法、選代法和隨機(jī)法。求解結(jié)果是單元結(jié)點(diǎn)處狀態(tài)變量的近似值。對于計(jì)算結(jié)果的質(zhì)量，將通過與設(shè)計(jì)準(zhǔn)則提供的允許值比較來評價(jià)并確定是否需要重復(fù)計(jì)算。
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0 H y1 J9 `: I( y) f6 R 簡言之，有限元分析可分成三個(gè)階段，前處理、處理和后處理。前處理是建立有限元模型，完成單元網(wǎng)格劃分；后處理則是采集處理分析結(jié)果，使用戶能簡便提取信息，了解計(jì)算結(jié)果。+ o8 C% N7 }# O" ~7 Q/ M$ A
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% H" u6 w! z1 d! x2 a, C有限元分析法的一般步驟 t6 [3 h' ~( q- J! { p4 Q: ^- h
0 \3 S( Y" ?9 B4 Q% B' K) `, b 有限元分析法（FEA）近年來已應(yīng)用得非常廣泛，現(xiàn)已成為年創(chuàng)收達(dá)數(shù)十億美元的相關(guān)產(chǎn)業(yè)的基礎(chǔ)。即使是很復(fù)雜的應(yīng)力問題的數(shù)值解，現(xiàn)在用有限元分析的常規(guī)方法就能得到。此方法是如此的重要，以至于即便像這些只對材料力學(xué)作入門性論述的模塊，也應(yīng)該略述其主要特點(diǎn)。
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不管有限元法是如何的卓有成效，當(dāng)你應(yīng)用此法及類似的方法時(shí)，計(jì)算機(jī)解的缺點(diǎn)必須牢記在心頭：這些解不一定能揭示諸如材料性能、幾何特征等重要的變量是如何影響應(yīng)力的。一旦輸入數(shù)據(jù)有誤，結(jié)果就會大相徑庭，而分析者卻難以覺察。所以理論建模最重要的作用可能是使設(shè)計(jì)者的直覺變得敏銳。有限元程序的用戶應(yīng)該為此目標(biāo)部署設(shè)計(jì)策略，以盡可能多的封閉解和實(shí)驗(yàn)分析作為計(jì)算機(jī)仿真的補(bǔ)充。/ q+ ^$ {: M O2 P; e2 O
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與現(xiàn)代微機(jī)上許多字處理和電子制表軟件包相比，有限元的程序不那么復(fù)雜。然而，這些程序的復(fù)雜程度依然使大部分用戶無法有效地編寫自己所需的程序。可以買到一些預(yù)先編好的商用程序1，其價(jià)格范圍寬，從微機(jī)到超級計(jì)算機(jī)都可兼容。但有特定需求的用戶也不必對程序的開發(fā)望而生畏，你會發(fā)現(xiàn)，從諸如齊凱維奇（Zienkiewicz2）等的教材中提供的程序資源可作為有用的起點(diǎn)。大部分有限元軟件是用Fortran語言編寫的，但諸如felt等某些更新的程序用的是C語言或其它更時(shí)新的程序語言。9 n0 F4 E( M9 w: t. N
; }& x4 j1 f- ]0 R4 w1 a- o" g. m' i 在實(shí)踐中，有限元分析法通常由三個(gè)主要步驟組成：
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. a; h; x% {/ W$ d( K2 G& p 1、預(yù)處理：用戶需建立物體待分析部分的模型，在此模型中，該部分的幾何形狀被分割成若干個(gè)離散的子區(qū)域——或稱為“單元”。各單元在一些稱為“結(jié)點(diǎn)”的離散點(diǎn)上相互連接。這些結(jié)點(diǎn)中有的有固定的位移，而其余的有給定的載荷。準(zhǔn)備這樣的模型可能極其耗費(fèi)時(shí)間，所以商用程序之間的相互競爭就在于：如何用最友好的圖形化界面的“預(yù)處理模塊”，來幫助用戶完成這項(xiàng)繁瑣乏味的工作。有些預(yù)處理模塊作為計(jì)算機(jī)化的畫圖和設(shè)計(jì)過程的組成部分，可在先前存在的CAD文件中覆蓋網(wǎng)格，因而可以方便地完成有限元分析。
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- \( W/ }( J8 T: y5 \; N6 ?3 e" ? H 2、分析：把預(yù)處理模塊準(zhǔn)備好的數(shù)據(jù)輸入到有限元程序中，從而構(gòu)成并求解用線性或非線性代數(shù)方程表示的系統(tǒng) : j$ T2 |, c5 g' K2 m# m
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式中，u 和 f 分別為各結(jié)點(diǎn)的位移和作用的外力。矩陣 K 的形式取決于求解問題的類型，本模塊將概述桁架與線彈性體應(yīng)力分析的方法。商用程序可能帶有非常大的單元庫，不同類型的單元適用于范圍廣泛的各類問題。有限元法的主要優(yōu)點(diǎn)之一就是：許多不同類型的問題都可用相同的程序來處理，區(qū)別僅在于從單元庫中指定適合于不同問題的單元類型。% ^3 O7 s; ?/ N% D P5 h0 B1 ^
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3、后處理：在有限元分析的早期，用戶需仔細(xì)地研讀程序運(yùn)算后產(chǎn)生的大量數(shù)字，即列出的模型內(nèi)各離散位置處的位移和應(yīng)力。這種方法容易漏掉重要的趨向與熱點(diǎn)，而最新的程序則利用圖形顯示來幫助用戶直接觀察運(yùn)算結(jié)果。典型的后處理模塊能顯示遍布于模型上的彩色等應(yīng)力線圖，以表示不同的應(yīng)力水平，顯示的整個(gè)應(yīng)力場的圖像類似于光彈性法或云紋法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。 |
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