彈性力學(xué)中的一個問題

不懂的太多xx

這兩天重溫彈性力學(xué)，又把之前沒解決的問題給想起來了，連著三四天自己沒法給出解釋，陷進(jìn)黑洞自己出不來了，睡覺都不香了，現(xiàn)在求大俠抽醒。
極坐標(biāo)下的應(yīng)變問題，
圖中的這個環(huán)向的應(yīng)變，大俠們肯定都知道。現(xiàn)在就是前面"v/r”這部分應(yīng)變問題。照本宣科，照書的方式理解沒有問題。
* G: {, z% H; q* T: n4 X# V% f但就我自己想，想出問題來了。位移函數(shù)v是r和θ的函數(shù)，a點的環(huán)向位移v（a）=v(r,θ)，d點的環(huán)向位移v（d）=v（r，θ+dθ），dv按第二個圖。

這建立在位移函數(shù)的r和θ的兩個變量是沒有變形前的坐標(biāo)，在沒有變形前a的坐標(biāo)就是(r,θ)，d點的坐標(biāo)就是（r，θ+dθ），兩點的變化只有dθ的變化。
2 H- J) G/ S  M/ H
' k1 `" v) e; \難道是我認(rèn)識出錯誤了，位移函數(shù)是變形后的坐標(biāo)？既如此，dv應(yīng)該是第三個圖。
: {7 o/ S. s: z' G- s% h2 i7 u+ E
也是沒有v/r項。

照書中理解，這個環(huán)向位移是坐標(biāo)點v(r,θ)和v（r+u，θ+dθ）倆點引起的弧長差，這兩個坐標(biāo)一個是變形前的圓盤a的坐標(biāo)，一個是變形后的圓盤d點的坐標(biāo)。
$ b: I' I# f5 {
- y0 a- G2 r0 N矛盾點是，單從函數(shù)v(r,θ)上說，無論r和θ表示的是變形前圓盤定的坐標(biāo)，還是變形后圓盤定的坐標(biāo)，dv都沒有v/r，除非一個是變形后的坐標(biāo)一個是變形前的坐標(biāo)。求大俠把我從牛角尖里拉出來。
- L8 ]+ K7 `4 z/ F, ]3 c1 a- N, S% Z

補充內(nèi)容 (2016-5-24 09:00):
發(fā)帖，錯把u/r打成v/r。

補充內(nèi)容 (2016-5-27 12:31):
* Z8 }+ a6 v2 W0 ^8 ?糾結(jié)已經(jīng)解決

云制造

照書中理解，這個環(huán)向位移是坐標(biāo)點v(r,θ)和v（r+u，θ+dθ）倆點引起的弧長差，這兩個坐標(biāo)一個是變形前的圓盤a的坐標(biāo)，一個是變形后的圓盤d點的坐標(biāo)。

; l- W/ U3 i) x6 E你這個就理解錯誤了，沒弄懂書中意思。環(huán)向位移是v(r,θ)和v(r,θ＋dθ)兩點變形后的弧長差。
, w3 n0 \8 Z% D* M, }
位移函數(shù)是變形后的坐標(biāo)？這個你也理解錯了，位移函數(shù)描述的是變形的大小，跟變形后的坐標(biāo)沒有關(guān)系，要有關(guān)系也是一個點變形后的坐標(biāo)是原始坐標(biāo)加上位移函數(shù)的值

云制造

兩點的長度變化是dv，原始長度是rdθ，所以只有環(huán)向位移引起的應(yīng)變?yōu)閐v/rdθ，不知道樓主糾結(jié)的v/r，在哪里出現(xiàn)？

云制造

如果是圖上的v/r，這只是表示一個點的切向角度變化。跟切向應(yīng)變不是一回事。因為rdθ=v

云制造

v/r只是表示每一個點的角度位移，就是說，每個點移動了多少度。v=2πr，說明一個點旋轉(zhuǎn)了一周，樓主說過的 v/r”這部分應(yīng)變問題，理解就錯了，這不是應(yīng)變。跟徑向應(yīng)變一樣，要求的是兩點變形前后的長度差，而不是一個點的位移，如果兩個點同時位移為du，應(yīng)變就是0。不要將位移和應(yīng)變混為一談。比如剛體位移，就沒有應(yīng)變。

云制造

云制造 發(fā)表于 2016-5-24 08:46
如果是圖上的v/r，這只是表示一個點的切向角度變化。跟切向應(yīng)變不是一回事。因為rdθ=v

: p7 j( s' Y! y2 Ju/r不是很好理解嗎，只有徑向位移u，則兩點都沿著原來不變的角度移動u，則r就變成了r+u，這個時候，兩點之間的弧長，不就是（r+u）dθ，而原來兩點之間的弧長是rdθ，所以應(yīng)變是兩者之間的差值再除以rdθ，就是u/r
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云制造

樓主要用物理場景來理解，有物理場景，能更好的理解數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程。這個極坐標(biāo)應(yīng)變應(yīng)該是很好理解的。你說的u/r。就想象是一個固定頂角（dθ）的三角形，而三角形的底邊在向外移動的過程（就是u增大），是不是底邊會不斷拉長，應(yīng)變不斷增大

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底邊不斷拉長，應(yīng)變不斷增大。就是切向應(yīng)變不斷增大。三角形的底邊長就是切向的長

不懂的太多xx

云制造 發(fā)表于 2016-5-24 09:03
u/r不是很好理解嗎，只有徑向位移u，則兩點都沿著原來不變的角度移動u，則r就變成了r+u，這個時候，兩點 ...

我知道按書理解可以理解，帖子中我也說明了，書中的理解方式清楚。
咱們換一個方式，環(huán)向位移V是關(guān)于r和θ的函數(shù)，r和θ是原始坐標(biāo)（沒有加載荷的時候）。經(jīng)過平衡條件、邊界條件、相容條件，我們可以把應(yīng)力函數(shù)和位移函數(shù)都推導(dǎo)出來，關(guān)于r和θ的函數(shù)（注意，r和θ是原始坐標(biāo)）。
假設(shè)環(huán)向位移函數(shù)V=v（r，θ），分別帶入d點和a點的坐標(biāo)，那么d點處的環(huán)向位移Vd=v（r，θ+dθ），a點處的環(huán)向位移Va=v（r，θ）。那么弧長ad的增長量δ=Vd-Va=v（r，θ+dθ）-v（r，θ），應(yīng)變ε=δ/rdθ
δ=Vd-Va=v（r，θ+dθ）-v（r，θ）=（v對θ的偏導(dǎo)數(shù)）*dθ（帖子中打不出來偏導(dǎo)數(shù)符號，我就暫時用Χ表示該偏導(dǎo)數(shù)）=Χdθ
* a" r2 w: H% ]- R那么總應(yīng)變ε=Χ/r，其中并不包括u/r。
這是建立在r和θ原始坐標(biāo)，假設(shè)位移函數(shù)V情況下，從偏導(dǎo)數(shù)定義推出來的。
. t6 o& F; n6 y$ j因此，這個時候我就假設(shè)的把V看成是r和θ變形后的函數(shù)，這樣推出來也不對。（帖子中的第二步）
若想包括u/r這一項，單獨的從環(huán)向位移函數(shù)V的偏導(dǎo)數(shù)中我找不出來，我就試一下全微分，因此有了是v(r,θ)和v（r+u，θ+dθ）兩點的弧長差的想法，但是這個一個是變形前的坐標(biāo)參照，一個是變形后的，肯定不對。這就是我現(xiàn)在的矛盾點，腦子繞在這里出不來了。
7 L4 Q, b/ t. g6 i  z) z/ W不知道大俠看懂我的矛盾點了沒？
: y  R) _& l' O& x# r3 |! K$ a

不懂的太多xx

云制造 發(fā)表于 2016-5-24 09:03
u/r不是很好理解嗎，只有徑向位移u，則兩點都沿著原來不變的角度移動u，則r就變成了r+u，這個時候，兩點 ...

再補充一下，我們知道一個函數(shù)V=v（r，θ），這個函數(shù)表示的是位移，現(xiàn)在求a點（r，θ）和d點（r，θ+dθ）兩點的位移，怎么求？帶進(jìn)去，分別是v（r，θ）和v（r，θ+dθ）
那這兩點的函數(shù)之差（位移之差）怎么求？v（r，θ+dθ）-v（r，θ）=Χdθ。。。。。Χ表示v對θ的偏導(dǎo)數(shù)
) }3 f9 G; s' f9 k6 d5 n) w  |這個位移之差是什么？變形量δ。
應(yīng)變ε=δ/rdθ=Χ/r。不包含u/r項。

這是在已知函數(shù)V的情況下

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