求問一道數學題

陽光小院暖茶

有個題目，想請教：
確定所有三元正整數組（a,b,c）,使得ab-c,     bc-a,     ca-b中的每個數都是2的方冪。（2的方冪是指形如2^n的整數，其中n是一個非負整數。）
不知道有沒有人能做出來

陽光小院暖茶

我已經知道了幾組：2,2,2
2,2,3
3,5,7
2,6,11
但這個題目說是“所有的”，所以搞不出來

crazypeanut

這是2015年國際數學奧林匹克競賽試題的第二題

crazypeanut

2 U6 [7 C7 F) s' Y3 ?3 p( }' H
# ~! j( p% ?/ E6 W' s我沒有能力解答此問題，但是，我對自己的搜索能力有足夠自信，解答是這樣的

% e+ W; p7 O" H7 G9 m% }" [答案是只有唯一解，2，2，2
- K% _) v% Q3 J3 T7 @: o6 N: b1 {
. i3 `2 B* }# e) L

水水5

首先推測abc都是2的正整數次方~
! ]" N. }/ K/ ?' M6 a假設abc對2的冪分別為ABC
則，ab-c=2^(A+B)-2^C=2^C*(2^(A+B-C)-1)
要使結果為2的正整數次冪，則A+B-C只能等于1
, [8 ?+ z, e+ |) m同理，B+C-A=1;A+C-B=1
+ u2 M" \( C/ _/ S  [那……
我解不下去了。

蕭mj

不會解

陽光小院暖茶

crazypeanut 發表于 2015-8-18 16:12
我沒有能力解答此問題，但是，我對自己的搜索能力有足夠自信，解答是這樣的

+ V! [5 [, f' v) g; T7 W+ B答案是只有唯一解，2，2，2
...

大俠，他只是推斷出a,b,c都不小于2吧。因為如果其中一個是1的話，假設a為1, 那ab-c和ca-b就是一對相反數了，不可能同時為2的方冪。
* T  @- V% F% M0 H, o& G你驗證一下我給出的三元數組，看看是否符合條件

, o0 h) X0 C" W  {

crazypeanut

陽光小院暖茶 發表于 2015-8-18 16:23
大俠，他只是推斷出a,b,c都不小于2吧。因為如果其中一個是1的話，假設a為1, 那ab-c和ca-b就是一對相反數了 ...

( ~# z, G) G" Q* T仔細看了下，如果不允許出現2的0次冪，那，2，2，2是唯一解；

所以，如果允許出現2的0次冪，那么我們可以增加一個約束條件，ab-c=1，這樣難度就降低了

yue7261598

數學玩 死人

crazypeanut

看這個吧
3 k& v8 A8 h* |; X
" K" G! E  u  T( ?8 |我確實解不出，這種有關整除以及正整數的題，我都是軟肋
! f5 @) g( @; s! A
* T$ |0 @# c9 \1 X4 i# _3 ?* ?
1 u% _0 u4 C( B$ T' O9 k9 ^
2 i  |0 J) C$ l% V+ p
% ]6 t5 o7 o6 J$ X  ]$ _6 h$ K