求問一道數(shù)學(xué)題

陽光小院暖茶

有個題目，想請教：
確定所有三元正整數(shù)組（a,b,c）,使得ab-c,     bc-a,     ca-b中的每個數(shù)都是2的方冪。（2的方冪是指形如2^n的整數(shù)，其中n是一個非負(fù)整數(shù)。）
不知道有沒有人能做出來

陽光小院暖茶

我已經(jīng)知道了幾組：2,2,2
* o- t' x' o- x4 Z# Q2,2,3
$ q! h5 s: w7 ~7 ?4 w3,5,7
2 r! u6 y, X# v; |2,6,11
但這個題目說是“所有的”，所以搞不出來

crazypeanut

這是2015年國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題的第二題

crazypeanut

. Y: p) ?# \* P8 Q: @  k2 K- b$ w
6 ~' i5 A: U0 P4 A) K: {我沒有能力解答此問題，但是，我對自己的搜索能力有足夠自信，解答是這樣的

. p& h  c8 Z+ ~0 J( W答案是只有唯一解，2，2，2
+ P, C$ k4 i( ]
+ I! \3 c# Q; C$ o

水水5

首先推測abc都是2的正整數(shù)次方~
假設(shè)abc對2的冪分別為ABC
則，ab-c=2^(A+B)-2^C=2^C*(2^(A+B-C)-1)
要使結(jié)果為2的正整數(shù)次冪，則A+B-C只能等于1
同理，B+C-A=1;A+C-B=1
那……
2 R; Q9 T0 E1 i我解不下去了。

蕭mj

不會解

陽光小院暖茶

crazypeanut 發(fā)表于 2015-8-18 16:12
: t6 {- O) k) p- \, v9 k3 `我沒有能力解答此問題，但是，我對自己的搜索能力有足夠自信，解答是這樣的

5 b' s+ W- \7 ~) Y' x& ?答案是只有唯一解，2，2，2
! u; \2 X3 m1 O) }1 q ...

大俠，他只是推斷出a,b,c都不小于2吧。因?yàn)槿绻渲幸粋€是1的話，假設(shè)a為1, 那ab-c和ca-b就是一對相反數(shù)了，不可能同時為2的方冪。
你驗(yàn)證一下我給出的三元數(shù)組，看看是否符合條件
9 E! a4 x. t2 x- e1 D2 ~
. V4 r" |% g. ]1 w' c: \. O: H

crazypeanut

陽光小院暖茶 發(fā)表于 2015-8-18 16:23
" t' w7 o4 D0 a! K( f0 V" Q4 n0 I大俠，他只是推斷出a,b,c都不小于2吧。因?yàn)槿绻渲幸粋€是1的話，假設(shè)a為1, 那ab-c和ca-b就是一對相反數(shù)了 ...

仔細(xì)看了下，如果不允許出現(xiàn)2的0次冪，那，2，2，2是唯一解；

所以，如果允許出現(xiàn)2的0次冪，那么我們可以增加一個約束條件，ab-c=1，這樣難度就降低了

yue7261598

數(shù)學(xué)玩 死人

crazypeanut

看這個吧
* K4 `) A( T# }( S$ |
我確實(shí)解不出，這種有關(guān)整除以及正整數(shù)的題，我都是軟肋

% ^- U2 x9 v0 A0 D% @
- w* S+ \7 t6 F  `. y

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