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在傳統邏輯中，公理是沒有經過證明，但被當作不證自明的一個命題。因此，其真實性被視為是理所當然的，且被當做演繹及推論其他（理論相關）事實的起點。當不斷要求證明時，因果關系畢竟不能無限地追溯，而需停止于無需證明的公理。通常公理都很簡單，且符合直覺，如“a+b=b+a”。
- `- o+ M3 x# F, ?& O/ A1 P不同的系統，會預計不同的公理。例如非歐幾何的公理，和歐氏幾何的公理就有一點不同。比如說我們看歐式幾何。在幾個簡單的公理假設下，我們可以得到一系列的結論，很多是深刻的，甚至是反直覺的。在建立這個模型之后，一個重要的問題就是我們需要幾個公理來建立這個模型。比如歐式幾何的每個公設是可以由其他公理得出的一個定理/結論？還是必須也是一個公理？4 e1 y2 x3 e3 _, i$ Z [
比如歐式幾何里“過給定直線外一點，有且僅有一條直線與之平行”在很長時間內是不清楚它的位置的，后來發現對于歐式幾何，你可以認為是這個體系的“公理”，只有認定它，才有后來的美妙結論。+ u9 u' b8 P5 ~3 z% e
沒有它呢？那時你就進入了另一個模型，你會得到其他的美妙結論：）- q& P1 d8 a/ W1 r' ~
所以，在不同的公理假設下，我們得到了不同的數學體系，以此為基礎，我們就可以得到對現實和對數學本身的各種模型。這種公理化的一個好處是，當你覺得現在的數學模型并不適合現實，或者并不滿足理論發展需要時，有可能只是你假設了太多的公理前提，換一套公理，換一套前提，你就能得到很不一樣的數學體系，原本的困難可能就很容易解決了。' E5 S+ O: ~0 f2 N% |
不證自明性是公理的特點，這也是為什么數學家質疑歐幾里得的第五公設——平行公理的原因，平行公理看起來并不象其他幾條公理一樣明白了當（比如第一條公設：任意兩個點可以通過一條直線連接），而非歐幾何的建立，也正說明了第五公設的不必要性。# w% o ^7 s1 \
從一方面說，公理也可以看作是對于一些一般經驗的總結，這些總結是無可爭議的正確的，還用第一公設說，“任意兩個點可以通過一條直線連接”不管這直線如何定義，總之兩點之間可以連出一條線（天知道在哪一維空間里就是一條直線叻？），這既符合直覺，也是簡單明確的事實。; f+ m# x4 x$ M( a4 ^# a
從數學邏輯的角度，要證明一個定理就要證明導出這個定理的定理，進而要證明導出導出這個定理的定理的定理.......這樣一直往回走，我們需要證明一個定理串，如果這個過程無限回溯顯然是不可接受的，必須要有一些“東西”作為這個定理串的源頭，回溯的過程終止與這個源頭，這個源頭我們就說它是“公理”，當然如果這個源頭與某條已知公理違背，則這一串就都是假命題了。
9 ?4 y1 p# ~; q( h) w5 a. ]$ D扯遠了，回到公理上來，形式主義數學家如希爾伯特，就通過建立形式化公理體系，把數學帶到了一個更加嚴密的世界中來了。每一套公理體系中的公理，必須互相獨立，且相容，否則就有矛盾了。所以一個公理背后是一套公理體系，這樣就構成了一套數學的基礎。" S+ ?1 Y' N+ u1 J
數學的圖景也沒有那么統一的，一套非偶的公理體系，就一個非偶幾何空間（當然希爾伯特老先生的幾何公理體系吧幾何學統一了.....可不可以不要這么強大嘛~~）；一個連續統假設，分出兩個數學的世界，* @) j" h1 h! L4 a; Y
總之公理，公理體系，就是數學的的底樁。
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/ p+ F6 W. f3 a4 m/ o! G" Q2 ^4 Z點評：$ r- v% S w; i6 `2 V( R% K
那問題就來了，三角形的內角和為什么是180度4 i& [1 ]# L% A1 r2 b+ {
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發表于 2014-10-16 11:19:52
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