|
|
在傳統(tǒng)邏輯中，公理是沒有經(jīng)過證明，但被當作不證自明的一個命題。因此，其真實性被視為是理所當然的，且被當做演繹及推論其他（理論相關）事實的起點。當不斷要求證明時，因果關系畢竟不能無限地追溯，而需停止于無需證明的公理。通常公理都很簡單，且符合直覺，如“a+b=b+a”。+ \* c; W2 O% K- p9 _/ j
不同的系統(tǒng)，會預計不同的公理。例如非歐幾何的公理，和歐氏幾何的公理就有一點不同。比如說我們看歐式幾何。在幾個簡單的公理假設下，我們可以得到一系列的結(jié)論，很多是深刻的，甚至是反直覺的。在建立這個模型之后，一個重要的問題就是我們需要幾個公理來建立這個模型。比如歐式幾何的每個公設是可以由其他公理得出的一個定理/結(jié)論？還是必須也是一個公理？& x, ?3 Y" q3 k$ T
比如歐式幾何里“過給定直線外一點，有且僅有一條直線與之平行”在很長時間內(nèi)是不清楚它的位置的，后來發(fā)現(xiàn)對于歐式幾何，你可以認為是這個體系的“公理”，只有認定它，才有后來的美妙結(jié)論。
) V3 {3 X2 \4 O1 z' \7 ]沒有它呢？那時你就進入了另一個模型，你會得到其他的美妙結(jié)論：）& G" |9 s) V" U. t l
所以，在不同的公理假設下，我們得到了不同的數(shù)學體系，以此為基礎，我們就可以得到對現(xiàn)實和對數(shù)學本身的各種模型。這種公理化的一個好處是，當你覺得現(xiàn)在的數(shù)學模型并不適合現(xiàn)實，或者并不滿足理論發(fā)展需要時，有可能只是你假設了太多的公理前提，換一套公理，換一套前提，你就能得到很不一樣的數(shù)學體系，原本的困難可能就很容易解決了。
5 C" c: F s; q不證自明性是公理的特點，這也是為什么數(shù)學家質(zhì)疑歐幾里得的第五公設——平行公理的原因，平行公理看起來并不象其他幾條公理一樣明白了當（比如第一條公設：任意兩個點可以通過一條直線連接），而非歐幾何的建立，也正說明了第五公設的不必要性。
0 z& k, B: u4 C) K* k從一方面說，公理也可以看作是對于一些一般經(jīng)驗的總結(jié)，這些總結(jié)是無可爭議的正確的，還用第一公設說，“任意兩個點可以通過一條直線連接”不管這直線如何定義，總之兩點之間可以連出一條線（天知道在哪一維空間里就是一條直線叻？），這既符合直覺，也是簡單明確的事實。
, O, F* U7 \4 \4 X8 G' F- i從數(shù)學邏輯的角度，要證明一個定理就要證明導出這個定理的定理，進而要證明導出導出這個定理的定理的定理.......這樣一直往回走，我們需要證明一個定理串，如果這個過程無限回溯顯然是不可接受的，必須要有一些“東西”作為這個定理串的源頭，回溯的過程終止與這個源頭，這個源頭我們就說它是“公理”，當然如果這個源頭與某條已知公理違背，則這一串就都是假命題了。) U4 o8 u1 v; J) c5 l4 S- K
扯遠了，回到公理上來，形式主義數(shù)學家如希爾伯特，就通過建立形式化公理體系，把數(shù)學帶到了一個更加嚴密的世界中來了。每一套公理體系中的公理，必須互相獨立，且相容，否則就有矛盾了。所以一個公理背后是一套公理體系，這樣就構(gòu)成了一套數(shù)學的基礎。7 l# Q" ~% P2 L9 l8 u# ~* i- _
數(shù)學的圖景也沒有那么統(tǒng)一的，一套非偶的公理體系，就一個非偶幾何空間（當然希爾伯特老先生的幾何公理體系吧幾何學統(tǒng)一了.....可不可以不要這么強大嘛~~）；一個連續(xù)統(tǒng)假設，分出兩個數(shù)學的世界，3 E! X9 l) {8 G( U- M
總之公理，公理體系，就是數(shù)學的的底樁。
( d; N4 F4 ]2 o2 R5 @0 D0 V! [% s, o- m, G7 d9 w: B) t! ?: B
點評： S7 o6 O; j) w- H4 A
那問題就來了，三角形的內(nèi)角和為什么是180度2 R$ x [- b- ]6 O! S+ x
; X, F) v- q! ]; a |
|
發(fā)表于 2014-10-16 11:19:52
QQ好友和群
QQ空間
