本帖最后由 zerowing 于 2013-4-29 06:17 編輯 % @ A4 a1 Q x" p3 O
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這是我許諾過的最后一個題目。許諾的原因來自那個大秤秤象。7 _' Z" ?$ `' m1 D+ _, s
好了,我們不討論這個象應該怎么秤,這里根據杠桿原理討論“國粹”——桿秤。
; Y, S) B3 N( Z# z! R3 m生活中,我們經常遇見市場上小販賣菜,“你看,2斤6兩,還高高地呢!”。為什么“高高的”代表買家占了便宜呢? 我將通過這個帖子讓你真正認識我們的“國粹”。
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首先,簡單說下杠桿原理。如圖。8 A# t. {( w3 D7 C* G2 i6 c+ v
( V) ~0 e! ~! H+ v
杠桿原理的實質是,支撐點力平衡+支撐點力矩平衡。(注意,這里說的是一種質點分析法,理想狀態。)為什么要強調力矩平衡?原因就是,在驗證杠桿原理時候,支撐力是一個我們無法確認的未知數(當然,你可以說我把質點掛在彈簧秤上),因此為了確定另一個未知數,力矩平衡是唯一的解題思路。
, R2 O- N+ J8 T, |那么,按照杠桿理論,只要力矩平衡了,那么在適當范圍呢,無論桿偏轉多少,原理上不都應該平衡,即兩側力不變嗎(右圖)?呵呵,對于理想杠桿是這樣,但是,必須要說,應用了杠桿原理的中國桿秤,其實際問題遠沒這么簡單。
, {( b8 r* U: E& }6 g6 l$ ]' s2 ^
8 r0 \- y% x8 \4 a我們來說正題,桿秤。
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分析桿秤問題,這里我將分兩個部分來討論。
( C o8 Y# |, n9 I3 P* R- k8 e1。不考慮“秤桿”本身的重力問題。只分析最簡單的兩個力。(被秤物體重力G1,秤砣重力G2)請看分析圖。
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/ }, \3 l) R% G& A 由分析圖我們可以得到下面的結論:M左=G1*l1……(1); M右=G2*l2……(2); M左=M右 …… (3)
$ ~! h; ?7 V( ~ 推論:G1*l1=G2*l2……(4); ' e* W: N' N* s8 S; u
但是我們需要注意一點,這是在水平情況下的結果。如果是不水平呢?如下圖。4 W) l9 Z& ~7 W
: Z( K9 o/ H7 i, O; o分析圖我們可以得到下面的結論:M左=G1*(l1-l1')*cos(a)……(5); M右=G2*l2"*cos(a)……(6); : k8 d) m! w8 D' y6 U! \; m! T% F
M左=M右 ……(3)
$ K9 k7 G) g2 w$ v1 g0 w$ E6 s5 N3 h 推論: G1=G2*l2"/(l1-l1')……(7); 5 U3 e( Y2 E4 L" T1 E2 z% u3 p
聯立4,8得:l2"=l2*(l1-l1')/l1 ; 即: l2"<l2
. @4 }7 @6 g6 u w' @ 也就是說,這種情況下,我們實際讀出的數值小于被秤物體重量。: m( @; f6 L5 V& ~0 M
如果換一種情況呢?秤砣位置低呢?請大家自己推理。但是我這里把結果說出來:我們實際讀出的數值大于被秤物體重量。
2 N- {: {& M5 D/ y* H' u! g* c% [3 ~2 h6 y
2。考慮“秤桿”本身重力問題。(新增秤桿重力G4)9 S- E% V2 e. ~
同樣,按照之前的方法分析。
. u6 y0 @& C( }* F水平態:
$ A$ e% _- f& S7 G ^$ ^& b, C# m/ r( J0 {: d5 _$ D
M左=G1*l1+G3*l3……(8); M右=G2*l2+G4*l4……(9); M左=M右 …… (3) $ `2 j! v+ _& S" N! w, j3 K: H' `
推論:G1*l1=G2*l2+G4*l4……(10); * Y; d* s2 H; ]5 r/ K) S
因此有:(G1*l1-G4*l4)/G2=l2……(4.5)
0 p8 I8 b2 a% O9 ^6 B8 V+ x4 n2 f% x; t
對于非水平態:5 |$ X' b/ M" W2 ?
9 n) |( k$ I, p8 ]6 C2 `
M左=G1*(l1-l1')*cos(a)……(12); $ E0 r1 E+ q$ A& d
M右=G2*l2"*cos(a)+G4*(l4+l4')*cos(a)……(13); M左=M右 …… (3) . k! X+ Q& S7 b* k
聯立(4)(12)(13)(3)得: l2"=(G1*l1-G4*l4)/G2-(G1*l1'+G4*l4')/G2
7 U' h/ M" O7 E% x8 m/ }* j% d+ ~; M 結合4.5得:l2"=l2-(G1*l1'+G4*l4')/G28 K* S. k& P, `; E# z0 r
即: l2"<<l2…… (14) 也就是說,這種情況下,我們實際讀出的數值遠小于被秤物體重量。而且,桿自身重量越大,這個誤差就越大;桿越粗,這個誤差也越大!
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以上,希望大家喜歡。) Z! F/ @* n8 R" D. V% F
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PS。發現里面有些過程的設定可能不大合理,做了優化,但不影響結果。 |