機(jī)器人避障問題

三川

圖1是一個(gè)800×800的平面場(chǎng)景圖，在原點(diǎn)O(0, 0)點(diǎn)處有一個(gè)機(jī)器人，它只能在該平面場(chǎng)景范圍內(nèi)活動(dòng)。圖中有12個(gè)不同形狀的區(qū)域是機(jī)器人不能與之發(fā)生碰撞的障礙物，障礙物的數(shù)學(xué)描述如下表：

編號(hào)	障礙物名稱	左下頂點(diǎn)坐標(biāo)	其它特性描述
1	正方形	(300, 400)	邊長(zhǎng)200
2	圓形		圓心坐標(biāo)(550, 450)，半徑70
3	平行四邊形	(360, 240)	底邊長(zhǎng)140，左上頂點(diǎn)坐標(biāo)(400, 330)
4	三角形	(280, 100)	上頂點(diǎn)坐標(biāo)(345, 210)，右下頂點(diǎn)坐標(biāo)(410, 100)
5	正方形	(80, 60)	邊長(zhǎng)150
6	三角形	(60, 300)	上頂點(diǎn)坐標(biāo)(150, 435)，右下頂點(diǎn)坐標(biāo)(235, 300)
7	長(zhǎng)方形	(0, 470)	長(zhǎng)220，寬60
8	平行四邊形	(150, 600)	底邊長(zhǎng)90，左上頂點(diǎn)坐標(biāo)(180, 680)
9	長(zhǎng)方形	(370, 680)	長(zhǎng)60，寬120
10	正方形	(540, 600)	邊長(zhǎng)130
11	正方形	(640, 520)	邊長(zhǎng)80
12	長(zhǎng)方形	(500, 140)	長(zhǎng)300，寬60

在圖1的平面場(chǎng)景中，障礙物外指定一點(diǎn)為機(jī)器人要到達(dá)的目標(biāo)點(diǎn)（要求目標(biāo)點(diǎn)與障礙物的距離至少超過10個(gè)單位）。規(guī)定機(jī)器人的行走路徑由直線段和圓弧組成，其中圓弧是機(jī)器人轉(zhuǎn)彎路徑。機(jī)器人不能折線轉(zhuǎn)彎，轉(zhuǎn)彎路徑由與直線路徑相切的一段圓弧組成，也可以由兩個(gè)或多個(gè)相切的圓弧路徑組成，但每個(gè)圓弧的半徑最小為10個(gè)單位。為了不與障礙物發(fā)生碰撞，同時(shí)要求機(jī)器人行走線路與障礙物間的最近距離為10個(gè)單位，否則將發(fā)生碰撞，若碰撞發(fā)生，則機(jī)器人無法完成行走。

機(jī)器人直線行走的最大速度為 個(gè)單位/秒。機(jī)器人轉(zhuǎn)彎時(shí)，最大轉(zhuǎn)彎速度為 ，其中 是轉(zhuǎn)彎半徑。如果超過該速度，機(jī)器人將發(fā)生側(cè)

翻，無法完成行走。

請(qǐng)建立機(jī)器人從區(qū)域中一點(diǎn)到達(dá)另一點(diǎn)的避障最短路徑和最短時(shí)間路徑的數(shù)學(xué)模型。對(duì)場(chǎng)景圖中4個(gè)點(diǎn)O(0, 0)，A(300, 300)，B(100, 700)，C(700, 640)，具體計(jì)算：

(1) 機(jī)器人從O(0, 0)出發(fā)，O→A、O→B、O→C和O→A→B→C→O的最短路徑。

(2) 機(jī)器人從O (0, 0)出發(fā)，到達(dá)A的最短時(shí)間路徑。

注：要給出路徑中每段直線段或圓弧的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)、圓弧的圓心坐標(biāo)以及機(jī)器人行走的總距離和總時(shí)間。

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