機器人避障問題

三川

圖1是一個800×800的平面場景圖，在原點O(0, 0)點處有一個機器人，它只能在該平面場景范圍內(nèi)活動。圖中有12個不同形狀的區(qū)域是機器人不能與之發(fā)生碰撞的障礙物，障礙物的數(shù)學(xué)描述如下表：

編號	障礙物名稱	左下頂點坐標	其它特性描述
1	正方形	(300, 400)	邊長200
2	圓形		圓心坐標(550, 450)，半徑70
3	平行四邊形	(360, 240)	底邊長140，左上頂點坐標(400, 330)
4	三角形	(280, 100)	上頂點坐標(345, 210)，右下頂點坐標(410, 100)
5	正方形	(80, 60)	邊長150
6	三角形	(60, 300)	上頂點坐標(150, 435)，右下頂點坐標(235, 300)
7	長方形	(0, 470)	長220，寬60
8	平行四邊形	(150, 600)	底邊長90，左上頂點坐標(180, 680)
9	長方形	(370, 680)	長60，寬120
10	正方形	(540, 600)	邊長130
11	正方形	(640, 520)	邊長80
12	長方形	(500, 140)	長300，寬60

在圖1的平面場景中，障礙物外指定一點為機器人要到達的目標點（要求目標點與障礙物的距離至少超過10個單位）。規(guī)定機器人的行走路徑由直線段和圓弧組成，其中圓弧是機器人轉(zhuǎn)彎路徑。機器人不能折線轉(zhuǎn)彎，轉(zhuǎn)彎路徑由與直線路徑相切的一段圓弧組成，也可以由兩個或多個相切的圓弧路徑組成，但每個圓弧的半徑最小為10個單位。為了不與障礙物發(fā)生碰撞，同時要求機器人行走線路與障礙物間的最近距離為10個單位，否則將發(fā)生碰撞，若碰撞發(fā)生，則機器人無法完成行走。

機器人直線行走的最大速度為 個單位/秒。機器人轉(zhuǎn)彎時，最大轉(zhuǎn)彎速度為 ，其中 是轉(zhuǎn)彎半徑。如果超過該速度，機器人將發(fā)生側(cè)

翻，無法完成行走。

請建立機器人從區(qū)域中一點到達另一點的避障最短路徑和最短時間路徑的數(shù)學(xué)模型。對場景圖中4個點O(0, 0)，A(300, 300)，B(100, 700)，C(700, 640)，具體計算：

(1) 機器人從O(0, 0)出發(fā)，O→A、O→B、O→C和O→A→B→C→O的最短路徑。

(2) 機器人從O (0, 0)出發(fā)，到達A的最短時間路徑。

注：要給出路徑中每段直線段或圓弧的起點和終點坐標、圓弧的圓心坐標以及機器人行走的總距離和總時間。

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