2 e+ }2 P! m. \凸面和均質是GOMBOC (字母O上面有來年各個小點哦)的主要特性。8 s! V0 i8 C ^1 u' a* H* ^! ^
不倒翁是非均質物體擁有GOMBOC一樣行為的簡單例子。
* t- u; T( Z0 N& a同樣，因為凹面體不能通過表面圓周滾動，也很容易創造出GOMBOC均質凹面體
4 a$ {, D4 g* U- G) q. @8 U
8 c W. D4 `2 y' l* l4 F![]()
4 N: o% v' l3 n6 B凹面GOMBOC 平面圖.
" j1 a& Q9 ]2 a+ D8 `) Z' ^. [: r- i O" J
只擁有唯一一個穩定平衡點的形狀稱作單靜態體，同時擁有另外一個非穩定平衡點的稱為單一單靜態體。) E9 _9 S$ p. e" a- v7 M
GOMBOC是第一個凸面均質單一單靜態體。
4 F/ R4 k* f% w3 F/ C7 S. P
/ U- p8 n# ?, ~4 Z
; Q: i4 t Z N' Q; B平面GOMBOC& k( a9 t2 m7 w/ J
2 |6 P! E8 L9 L6 B3 n, } X9 q
由于物體重心(G)作用，平面凸形在極坐標系中規定為函數R(a)。 ! y- ]! w( @3 q& `
0 V; F" S" W j2 m0 T在水平面上，所有物體都朝著重心降低的方向滾動。 R隨著地面降低而變小。
- ?# t0 U: r3 h" C
- B* I7 X1 i+ t* m, N當dR/da = 0時出現平衡點。R (d2R/da2 > 0)為最小值時，是穩定平衡點，當R（(d2R/da2 < 0)為最大值時，是非穩定平衡點。R最小值后出現轉而最大值，反之亦然。因此，出現穩定平衡點和非穩定平衡點次數相當。另外，下面原理也可以被證明： $ J7 U( r+ ]8 N( H F
1 q' _1 g1 e$ c; C N2 L
2 z8 z* r. O2 t& t原理 1:
! p4 r* R% h" q所有平面凸均質體至少有2個穩定和2個非穩定平衡點。
. x$ v0 \3 d; X' w( j" I6 h
9 p5 n( z9 A$ `( v+ G% u' K如果物體只有一個平衡點，相應函數R(a)圖就只能有一個最大值和最小值。 ! i' f1 S2 B' _% c+ A @7 z
用直線 R = R0 將物體分成兩部分，函數 R > R0 和 R < R0 具有相等（(長度 p)水平投影。
- G) m% K- Y- A$ [ X" ~5 |* v& G: G9 }( J, h/ G
相當于穿過重心G的直線相應把物體切割成薄(R < R0)和厚 (R > R0)兩部分，; L, i; v+ K0 O' n1 f
支撐面沿著直線。
5 g ]; P7 A5 @4 b但是達到平衡的條件是G點不在直線上，應該在厚點的這半部分，這與之前所述G點在直線上相矛盾，由此得出原理1正確。
! [8 ~" N9 l: ?) F, H' ?4 w% o9 j, k+ t1 @. T& c% S: S* M
" `# D! d6 k# E
2 |1 s% j. Y- H7 P; U5 Z1 {編號為 R(a)的函數圖（右）以及相對應的物體（左） * B- { v9 X: k
正如我們所證明的，不存在平面的GOMBOC型物體。這個令人驚訝的簡單事實是典型數學原理的物理模擬：
6 V3 z, T# V! l- X: F四頂點定理:: 一條簡單封閉曲線曲率至少有四個局部極值
- I+ c1 k4 M+ q1 i+ ^+ g% h8 B9 O& q5 D! M
) {( L- M7 ]% `* @8 i' e) ], q) ?
有關四頂點定理有眾多的概括和相關幾何定理，有時這些統稱為四頂點定理。
y, C- Z2 y. B* W如果不存在三維GOMBOC，這個事實將成為四頂點定理家族中的又一新成員。
5 F ?; d& p/ r9 {3 `# {
% Q2 q2 ]+ N( g7 i, z b- d有關GOMBOC的基本概念
1 M" S& _! ^: a* k; i" _( a1 k3 v0 n. `
1 _4 V* b# U6 t
$ e# a- W; y0 p p; D0 l% J類似于平面物體，三維體可以定義為重心作用下球坐標系中的函數R(j,q)9 t2 R( Z3 X g3 U7 F1 S/ ^
R. a8 v* X! F$ }3 H4 c
. |* L2 N* x! }* f( y f/ ^
4 x' L9 }! f4 X- p! o0 P三維體在球面坐標系中的定義( S% R0 i# Q- u+ R$ K& G0 I7 P2 Q9 I
`- P- ~: p( v: z8 ? ) T+ F: |" N: j5 Q% K
區域最小值和最大值R對應穩定平衡點和非穩定平衡點，物體在R的鞍部還有另外一個平衡點。; X; ^" V( p& p+ r" L! ]
根據龐加萊-霍普夫（Poincaré-Hopf）理論，球體內所有同型物體，在這三種情況下，平衡值（由s, u, t,分別代表）都滿足s + u - t = 2。定理1的三種假定情況： % T5 r }( P# J, j3 p7 x6 k
4 W% B" Z& C5 b, c3 ]* D$ S( ^' U) X l- f# s& q
D9 u$ _, i; {: J- G8 L+ A" e8 b
- a) s > 1,
- b) u > 1,
- c) s + u> 2,! P. i6 i: a% o+ A" f9 }! @
3 V# T8 w, W. b( ]* X1 H/ w
a) 和 b)很容易被駁倒7 Z1 w9 b. e4 G
s = t = 1, u = 2時，s > 1為否， 6 j7 i7 w) j' I
w6 C% }$ g" s; O
$ T/ V7 h7 [0 r6 U0 J
3 a8 d( s, k! O3 \6 D- V- g ` b
9 l7 R" Y7 l( k, S5 G: z8 o# j
i > 1 時 u = t = 1, s = 2. ?0 {' V7 G- }/ ^; s; M' \; H7 k8 o5 w
5 c3 k8 p( @5 ?- D$ v0 ?3 R$ ^! U+ ?3 q- L% q7 z
2 j: V1 j0 {' J) f7 K6 V( o7 N+ X
9 V2 p3 n2 i: r1 i
$ `" I' j5 ^! w- i8 z$ f- U第三種情況可能性存在于Gömböc本身：是否存在三維凸面均質s = u =1（t=0）的物體？0 }# W! w- [ q; @8 b' o
我們可以進一步延伸平面理論來證明這種物體存在的不可能性。
( I: Y9 D7 a- ~! y& y1 G假設存在這種形狀物體，對應函數R(j,q)就只能有一個最小值和一個最大值。
. [+ A0 c3 U- ~3 C$ k% q平面物體用R = R0分割成薄厚相同尺寸的兩部分（以重心點G作為分割，兩部分的空間角度相同）。7 c x9 r! h( p5 B9 k
如果切割的線條是平面曲線（如：圓），則得出類似二維體的矛盾。
# \$ F& T, e# F0 q" a如果是空間曲線，則是類似網球的曲線。
; A2 Q5 e) Q( b" j3 ^ g6 m0 b物體分割成上下厚薄兩部分，無法證明G點一定在上半部分。
" R" P) V' P+ D5 |+ w- k% z由此得出平面理論并不適用于三維體。
) l% Z# y. F6 l8 y9 g
& k- a* o# {' H, Q0 g7 B, c2 `9 M
, E2 E$ R8 a/ B5 N4 d' U4 Z8 f2 \+ V
4 U8 b, @+ c" G5 l分割單一單靜態體厚（黃色）薄（綠色）兩部分的直線是有可能，但并不一定在一個平面上。
( l7 }; K. {- H0 M
Y5 ]% k" T( U/ H+ G. S; ~論證的失敗為GOMBOC的空間形狀提供了新的想法。
$ n; Y: F( ?& |4 C' d& h運用雙參數閉合公式，可以分析出適當參數值得出s = u = 1物體。
' b% M4 A; L& q9 d受凸面體限制，構造出的物體近似于球體。
) Z/ O+ M7 m% O構造出的形狀可以從理論推斷出存在GOMBOC可能性，但是否具有單一單靜態體（從視覺上可以明顯看出）特性仍然是個疑問。; M+ K5 f; L6 w6 v( d
& L; P g" a5 O! R5 d
* W O! u/ D2 w. g: n
5 c) x, _+ E( L' b+ |
+ N2 A: f: j- w- Y
& [3 w; q, ?! Q: f9 Q5 H$ l1 F應用于論證的雙參數物體圖形
1 `/ p0 Z0 q4 W) _5 [/ z& R1 P
2 i0 a) @- v4 h1 {5 Y“真正的"GOMBOC# X! Q! {; \$ c, T: j" t, V+ W
6 J* L2 y/ V e3 I6 a" w" t通過理論論證為什么不能找到一個具有特殊形狀的物體？# r% s# b P* Q
是因為論證公式不好還是因為失敗背后隱藏著更深層的原因？
g4 W& |9 |" R; A8 q0 |8 V) yGOMBOC具有類似球體的形狀，但在羅得島上2000多個卵石中也沒能找到這種形狀，這種形狀如果離球體“很遠"就不可能是s = i = 1。盡管尋找這種物體很困難，但是通過另一種途徑卻可以構造出GOMBOC的形狀。以下的圖示是基于網球的理念。它表面由簡單圖形組成（圓柱，橢圓形，錐形）和平面。顯而易見，這種形狀屬于凸面體。通過數值積分算出其重心應稍低于原先的位置，通過這些事實，我們可以簡單判斷出這個形狀屬于單一單靜態體。當然，無數的形狀都可以有這些特性，而以下圖形只是其中的一種。構造出來的GOMBOC樣品略有不同：它由很多圖塊組成，這使得穩定平衡特性更健全，滾動物體的力學表現更加直觀。
1 r" C/ |/ N/ N3 s3 M& d! X9 N3 ]' q$ x# K
8 y ?1 _1 E9 j' H
( W2 H. |1 H1 v- H
簡單的圖塊拼接到一起構成GOMBOC
4 O2 Q0 ~& U0 n
5 t/ E4 |3 a& b" s& ~" U3 c B) S7 z- z
2 @4 s- J2 n/ J
* E/ A2 d6 \: K- b5 x% f" d$ l; F6 d$ b. e, E
在R=穩定的情況下，GOMBOC的輪廓線能明顯具有網球形狀 # y0 o& R5 V2 M' b& C
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發表于 2010-11-15 08:49:53
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