只有一個穩定平衡點的均質物體

動靜之機

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數學背景 5 B3 Z  o( s0 W3 Z , @0 n( O: U' A+ B

" I7 `" c) Z" x( S7 ]4 t凸面和均質是GOMBOC (字母O上面有來年各個小點哦)的主要特性。 3 m' H. b/ g) z, E" E  ]不倒翁是非均質物體擁有GOMBOC一樣行為的簡單例子。 - k* S9 Z. B; i1 X" \4 k6 ?) U同樣，因為凹面體不能通過表面圓周滾動，也很容易創造出GOMBOC均質凹面體 / w, v8 N% X9 r4 K" S8 B ! a, r- `2 _* }( a1 A: Y 凹面GOMBOC平面圖. 只擁有唯一一個穩定平衡點的形狀稱作單靜態體，同時擁有另外一個非穩定平衡點的稱為單一單靜態體。 / P5 U0 M3 H! f4 O' HGOMBOC是第一個凸面均質單一單靜態體。 8 O( M6 }+ x6 q& p * |( n/ {7 i6 ^1 u # G: c% R. t& b& D0 n, i平面GOMBOC 6 [  e2 f3 h6 T% D' i/ j1 p& z' ~ , q0 k- }' v; {! U1 q' O( Z- a9 x由于物體重心(G)作用，平面凸形在極坐標系中規定為函數R(a)。 / A8 t# _& z& r6 M  m  ^ 在水平面上，所有物體都朝著重心降低的方向滾動。 R隨著地面降低而變小。 當dR/da = 0時出現平衡點。R (d2R/da2 > 0)為最小值時，是穩定平衡點，當R（(d2R/da2 < 0)為最大值時，是非穩定平衡點。R最小值后出現轉而最大值，反之亦然。因此，出現穩定平衡點和非穩定平衡點次數相當。另外，下面原理也可以被證明： $ _/ M, @  Y, w7 E+ z - {+ Q# ?8 E0 U: h$ Q原理 1: 所有平面凸均質體至少有2個穩定和2個非穩定平衡點。 - Z7 m+ A. S5 r3 }8 a如果物體只有一個平衡點，相應函數R(a)圖就只能有一個最大值和最小值。 & E3 q1 m1 A  o- [9 @. c4 m2 W# D用直線 R = R0 將物體分成兩部分，函數 R > R0 和 R < R0 具有相等（(長度 p)水平投影。 相當于穿過重心G的直線相應把物體切割成薄(R < R0)和厚 (R > R0)兩部分， 0 d2 ^: m* b$ _: f, V. E$ n* c8 N$ K支撐面沿著直線。 但是達到平衡的條件是G點不在直線上，應該在厚點的這半部分，這與之前所述G點在直線上相矛盾，由此得出原理1正確。   ' H2 P1 y) Y7 Z, n; ^6 X $ J4 D4 S5 v" V6 [ 8 `3 {. N3 `3 _9 f" _ 編號為 R(a)的函數圖（右）以及相對應的物體（左） ( E, d" i$ {; u7 x 正如我們所證明的，不存在平面的GOMBOC型物體。這個令人驚訝的簡單事實是典型數學原理的物理模擬： $ N% [, b& e6 C# y四頂點定理:: 一條簡單封閉曲線曲率至少有四個局部極值 4 V2 e4 F- R- W* e' `4 O7 s ! {7 u9 [$ f* ~/ T0 K5 O) E5 g 0 ?' K" e7 t+ O有關四頂點定理有眾多的概括和相關幾何定理，有時這些統稱為四頂點定理。 如果不存在三維GOMBOC，這個事實將成為四頂點定理家族中的又一新成員。 : P+ {. i# O+ A( [有關GOMBOC的基本概念 5 H, I' H+ B, D& ^0 I 4 q2 N6 \0 q: j7 @" f5 y 9 b( P2 {$ j9 [8 t9 j 2 k' t5 [& e( h4 \7 c1 w/ y8 L% k類似于平面物體，三維體可以定義為重心作用下球坐標系中的函數R(j,q) 三維體在球面坐標系中的定義 7 o: p1 P+ z" N  q; F: R 區域最小值和最大值R對應穩定平衡點和非穩定平衡點，物體在R的鞍部還有另外一個平衡點。 根據龐加萊-霍普夫（Poincaré-Hopf）理論，球體內所有同型物體，在這三種情況下，平衡值（由s, u, t,分別代表）都滿足s + u - t = 2。定理1的三種假定情況： ! p3 {* p. |7 O& Z- r + d! L9 c* g+ z/ b2 s) T! ^ a) s > 1, b) u > 1, c) s + u> 2, 7 ~* v/ U' p& W( w' B 1 c+ `/ ]+ I5 q4 W# X( ha) 和 b)很容易被駁倒 s = t = 1, u = 2時，s > 1為否， 4 g1 ]. |. Q- R7 d) D6 `7 J 3 Y4 t) L$ E: @) y7 c+ k9 R7 ` $ V7 E: H5 L- _ i > 1 時  u = t = 1, s = 2 / u7 m" `, D# p# X3 K : J( R, \6 M1 [+ u. N4 g- b3 u 2 x# |# t: ^0 J" i: ^2 n - Y8 I. R/ a: O4 \9 N% @ & ]2 p- l/ Z- P( [# o2 i$ j第三種情況可能性存在于G&ouml;mb&ouml;c本身：是否存在三維凸面均質s = u =1（t=0）的物體？ 我們可以進一步延伸平面理論來證明這種物體存在的不可能性。 9 D* t9 _: I0 ^$ b2 Y1 M假設存在這種形狀物體，對應函數R(j,q)就只能有一個最小值和一個最大值。 3 V) L, n4 g5 v平面物體用R = R0分割成薄厚相同尺寸的兩部分（以重心點G作為分割，兩部分的空間角度相同）。 如果切割的線條是平面曲線（如：圓），則得出類似二維體的矛盾。 0 j% m7 s6 C0 J: C+ o  @如果是空間曲線，則是類似網球的曲線。 物體分割成上下厚薄兩部分，無法證明G點一定在上半部分。 ) S7 X4 e" l9 K" c  L2 n8 M9 s由此得出平面理論并不適用于三維體。 4 g  x' y3 I% F! O& P 分割單一單靜態體厚（黃色）薄（綠色）兩部分的直線是有可能，但并不一定在一個平面上。 ; k9 e$ }$ |. i論證的失敗為GOMBOC的空間形狀提供了新的想法。 9 I& Q% g4 S8 y運用雙參數閉合公式，可以分析出適當參數值得出s = u = 1物體。 受凸面體限制，構造出的物體近似于球體。 . O+ d* F8 |$ E" V6 N構造出的形狀可以從理論推斷出存在GOMBOC可能性，但是否具有單一單靜態體（從視覺上可以明顯看出）特性仍然是個疑問。 ( }  E/ [9 k# x- u2 E8 | 9 s. U# S& O5 Y! l6 ? 2 S  k; A3 p; j% j0 P, |8 G : u6 p1 A# I8 U9 G / N6 I3 H  B: x# `應用于論證的雙參數物體圖形 7 B# N9 x$ N& O* G “真正的"GOMBOC 1 V! Y4 X( \+ {" f' t% S/ R通過理論論證為什么不能找到一個具有特殊形狀的物體？ : ^4 o4 a$ S- T( L" a是因為論證公式不好還是因為失敗背后隱藏著更深層的原因？ $ u# ]' a' n+ }; {$ HGOMBOC具有類似球體的形狀，但在羅得島上2000多個卵石中也沒能找到這種形狀，這種形狀如果離球體“很遠"就不可能是s = i = 1。盡管尋找這種物體很困難，但是通過另一種途徑卻可以構造出GOMBOC的形狀。以下的圖示是基于網球的理念。它表面由簡單圖形組成（圓柱，橢圓形，錐形）和平面。顯而易見，這種形狀屬于凸面體。通過數值積分算出其重心應稍低于原先的位置，通過這些事實，我們可以簡單判斷出這個形狀屬于單一單靜態體。當然，無數的形狀都可以有這些特性，而以下圖形只是其中的一種。構造出來的GOMBOC樣品略有不同：它由很多圖塊組成，這使得穩定平衡特性更健全，滾動物體的力學表現更加直觀。 & p1 L# v  \4 R2 w) P6 E' p! |$ \, @/ n 5 S2 D# s: ?& X8 E$ P - Y+ ~$ I6 C( E% M( l7 W簡單的圖塊拼接到一起構成GOMBOC $ A" r: d: ?! d, m& P6 l6 k) x- n 在R=穩定的情況下，GOMBOC的輪廓線能明顯具有網球形狀

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huangzyu2301

看不明白
               

bluesky-lee

厲害，要計算好，加工的很精確，有創意

WANG888

太厲害了，精確度這么高，是用硬質合金刀片做的吧