請教一四點支撐平臺各支點承重量計算的問題

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如下面的俯視圖，

- ~3 Z# H  H- O0 f% _平臺為一剛性水平臺，由彈性支撐件P1,P2,P3,P4支撐。工作臺重心為圖中W點。總質(zhì)量為W.
幾何尺寸如圖中所示.
請問怎樣計算各個支撐件P1,P2,P3,P4的受力大小？

" V1 O% Y3 `4 o/ Q4 I6 y/ M) O

李贛

1、受力
2、力矩
5 ]" G& X& P# [, \0 X9 T1 K! C6 q平衡

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1、受力
2、力矩
平衡
8 {. K$ E# V0 f) V0 [5 Zlit_hiker 發(fā)表于 2009-9-28 15:51

5 [- ?# @7 F! m* t% b) O不知道怎么建立力矩平衡方程，能詳細講下么？
' V1 R# X) s7 O9 p$ [9 `- m謝謝

小白菜

可以先把同一側(cè)的兩點當成一點，算出來后再把合成一點的兩點的力再算一次，高中的同向平行力。

李贛

把旋轉(zhuǎn)軸設定在兩個支點上，這兩點的力的力臂為零。

草原蒙狼

樓主需要補補課  上述用平面匯交力系可解  授人與魚不如授人與漁
: q5 x5 z6 R8 U# t$ g
請看下面  力學教材

2.1 平面匯交力系

平面匯交力系的工程實例：
  g' v: \6 J# ?- n+ R: e6 V1 }$ X  a


8 C9 O& K& {' E3 M/ K+ V2.1.1 力的分解
  b2 K0 H4 F4 K. k9 T
! |  f8 g6 N% B0 B! J) M按照平行四邊形法則，兩個共作用點的力，可以合成為一個合力，解是唯一的；
4 O, n0 G! H  s" [" L  e6 |0 B! H
! D5 }: z7 D8 O; N) H0 @5 @: Q但反過來，要將一個已知力分解為兩個力，如無足夠的條件限制，其解將是不定的。

( E3 q2 s8 M9 v4 N2 n, u) b2.1.2 力在坐標軸上的投影




- ?6 o, Q$ }" a  d  i, E+ G8 H9 e7 y注意:力的投影是代數(shù)量，它的正負規(guī)定如下：如由a到b的趨向與x軸（或y軸）的正向一致時，則力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取負值。

0 }4 k3 y$ t0 P; W0 _3 w* e

- O6 `( a6 S9 t7 \2.1.3合力投影定理
) Z/ x: Y  k# V

" P+ F) P9 E! O& a



0 S( l8 f9 l( v- ?5 A; p1 J. b4 Q


8 H" c8 q) |- b合力投影定理——合力在某一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。

7 l* \9 h5 D, m- e5 `* ~1 u5 U2 p) q2.1.4 平面匯交力系的平衡條件

平面匯交力系可以合成為一個合力，即平面匯交力系可用其合力來代替。顯然，如果合力等于零，則物體在平面匯交力系的作用下處于平衡狀態(tài)。平面匯交力系平衡的必要和充分條件是該力系的合力F等于零。即
% U  ^) n7 C& Y, C/ k" u* a" i4 K
) N. \- }1 M) V, w7 a% Q+ b* Z% Y
/ @7 n3 l% j2 ^
) T6 U" c! V; }$ |& J+ H* `即
3 `& M+ u! g& }9 k0 p8 g  m
) ]) _& x1 z- i


力系中所有各力在兩個坐標軸中每一軸上投影的代數(shù)和都等于零。這是兩個獨立的方程，可以求解兩個未知量。

例2-1 如圖所示為一吊環(huán)受到三條鋼絲繩的拉力作用。已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，與水平成30度角；F3=3000N，鉛直向下，試求合力大小。（僅是求合力大小）
9 f' ?( e! W1 t
$ G' u( i, Y8 O4 y
3 j" x( c* H% l" G6 \
例2-2 圖示為一簡易起重機裝置，重量G=2kN的重物吊在鋼絲繩的一端，鋼絲繩的另一端跨過定滑輪A，繞在絞車D的鼓輪上，定滑輪用直桿AB和AC支承，定滑輪半徑較小，大小可忽略不計，定滑輪、直桿以及鋼絲繩的重量不計，各處接觸都為光滑。試求當重物被勻速提升時，桿AB、AC所受的力。


! n9 D" f# R3 P: l
2 D; }/ X6 q: t8 d# B! D, o解 因為桿AB、AC都與滑輪接觸，所以桿AB、AC上所受的力就可以通過其對滑輪的受力分析求出。因此，取滑輪為研究對象，作出它的受力圖并以其中心為原點建立直角坐標系。由平面匯交力系平衡條件列平衡方程有
& y, G  B; r+ F8 d' d

/ V' d3 A+ A- y( o0 {, B9 J( G
2 ~% M6 ]# B# o- {解靜力學平衡問題的一般方法和步驟：

% @% n3 h0 X- z1 ]1.選擇研究對象 所選研究對象應與已知力（或已求出的力）、未知力有直接關系，這樣才能應用平衡條件由已知條件求未知力；
$ \/ m, r& Q7 }0 @5 G
% b. b% ~& G% |0 S2.畫受力圖 根據(jù)研究對象所受外部載荷、約束及其性質(zhì)，對研究對象進行受力分析并得出它的受力圖。

3.建立坐標系，根據(jù)平衡條件列平衡方程 在建立坐標系時，最好有一軸與一個未知力垂直。
# g& _# Z9 B) Y% U" x5 d  }
" L, y' b4 l! D  F4 H在根據(jù)平衡條件列平衡方程時，要注意各力投影的正負號。如果計算結(jié)果中出現(xiàn)負號時，說明原假設方向與實際受力方向相反。

2.2 力矩與平面力偶系

2.2.1 力對點之矩?(簡稱為力矩)

1.力對點之矩的概念

; d1 D" Y& ~: _& r% |1 P為了描述力對剛體運動的轉(zhuǎn)動效應，引入力對點之矩的概念。
' P7 O9 O4 e8 J0 y+ j: w! l, _1 u
# \$ j: D& t0 `
6 ?& j) F8 N& c: K  V# ~3 a' ^
- H4 g$ p9 _  O0 @2 m( f力對點之矩用Mo（F）來表示，即 Mo(F) = ± Fd

7 H/ h* o) G$ @; D, ^& y& O一般地，設平面上作用一力F，在平面內(nèi)任取一點O——矩心，O點到力作用線的垂直距離d稱為力臂。



Mo( F ) = ± 2△OAB

1 W- V, P' `  T' K力對點之矩是一代數(shù)量，式中的正負號用來表明力矩的轉(zhuǎn)動方向。
% G7 O4 f: V7 x8 U4 Z8 X) o+ T; j: p
矩心不同，力矩不同。

+ p6 B* D# b7 i" U' k規(guī)定：力使物體繞矩心作逆時針方向轉(zhuǎn)動時，力矩取正號；反之，取負號。
" _+ p0 k2 @) c7 @% l1 ]
3 s% X. T' B  x8 L4 Y: x7 k力矩的單位是Nmm。
( S9 m: z% Z0 X6 [
6 l# F% y$ }5 w: P3 \& Y5 z由力矩的定義可知：
& \- y# o1 E+ S% u) ?
（1）若將力F沿其作用線移動，則因為力的大小、方向和力臂都沒有改變，所以不會改變該力對某一矩心的力矩。
- @+ ]9 y; s7 e. m) ~3 k9 Q) Q( Q
（2）若F=0，則Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F(xiàn)≠0，則d=0，即力F通過O點。

力矩等于零的條件是：力等于零或力的作用線通過矩心。
, D  l8 `. F! b* }" q, p4 t
8 E: b. I" A& d9 e7 w- m/ d2.合力矩定理

6 `- M1 [! E3 N. w9 Y) T' j# m! G設在物體上A點作用有平面匯交力系F1、F2、---Fn，該力的合力F可由匯交力系的合成求得。
1 n- B: |4 k" K5 J
  o& X' W- |$ r0 v# E1 m9 p
9 V; d: q5 ~5 X7 g
! o+ I# |0 U" b7 f  H計算力系中各力對平面內(nèi)任一點O的矩，令OA=l，則
! q; {/ ?0 ]; l/ n
$ m, ~3 h2 T4 R3 \% P8 A' CMo(F1)=-F1d1=-F1lsina1=F1yl

  \6 Z1 c/ I. Z4 k/ ?Mo(F2)=F2yl
' _6 n4 l" m3 Z' u0 U8 i1 L
3 p9 W6 }4 L4 n( W5 {Mo(Fn)=Fnyl

( z: n# k' J/ f9 L由上圖可以看出，合力F對O點的矩為
4 h6 p& t+ q8 R: \" |# i
Mo(F)=Fd=Flsina=Fyl
6 ^) x7 \( A4 p# }
據(jù)合力投影定理，有

Fy=F1y+F2y+---+Fny
8 U2 L( B* p9 m* V1 g! `
Fyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl
8 x; S. n: ?9 q3 t
即

Mo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)



合力矩定理：平面匯交力系的合力對平面內(nèi)任意一點之矩，等于其所有分力對同一點的力矩的代數(shù)和。

3.力對點之矩的求法(力矩的求法)
3 X  z# M# n0 c3 n5 z& I
（1）用力矩的定義式，即用力和力臂的乘積求力矩。
0 t# j3 C* @0 o/ i
注意：力臂d是矩心到力作用線的距離，即力臂必須垂直于力的作用線。?

5 }/ o8 i4 G! U6 X. a3 J（2）運用合力矩定理求力矩。力分解

例2-3 如圖所示，構(gòu)件OBC的O端為鉸鏈支座約束，力F作用于C點，其方向角為 α ，又知OB= l ，BC= h ，求力F對O點的力矩。
, T, z- q6 d  C( c3 P+ V/ \
1 q+ I/ J6 y. c' R

& i* C! E2 H; g* `解 （1）利用力矩的定義進行求解



! h1 E, u7 _% p0 L- E  C如圖，過點O作出力F作用線的垂線，與其交于a點,則力臂d即為線段oa 。再過B點作力作用線的平行線，與力臂的延長線交于b點，則有


( G! ~( z+ e) R  \
2 g% s3 w( [' W) ]$ g（2）利用合力矩定理求解

( X% H8 m7 Q. @" e6 h4 x3 s將力F分解成一對正交的分力



力F的力矩就是這兩個分力對點O的力矩的代數(shù)。即

Mo(F)=Mo(Fcx)+Mo(Fcy)=Fhcosa-Flsina=-F(lsina-hcosa)
" ?' w9 X$ S$ c( q) a' U
0 z7 l( {6 t, L2 `$ i# X7 |2.2.2力偶及其性質(zhì)
2 B7 s2 S) n6 _1 Q1 R
( P3 Z0 s3 j- A1 n1 Y+ Y1.力偶的定義
+ O2 ]) t7 y/ r9 {/ H5 B5 K
在工程實踐中常見物體受兩個大小相等、方向相反、作用線相互平行的力的作用，使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動。例如，用手擰水龍頭、轉(zhuǎn)動方向盤等。
8 v/ w; K0 F, ~* Z


力偶——大小相等、方向相反、作用線相互平行的兩力，如圖中的力F與F'構(gòu)成一力偶。記作(F，F(xiàn)')

1 H1 X9 h  v- o力偶作用面——兩個力所在的平面
2 o  X1 x# [' `- V% M
力偶臂——兩個力作用線之間的垂直距離d

力偶的轉(zhuǎn)向——力偶使物體轉(zhuǎn)動的方向
1 |7 @/ ^/ `+ v) Z2 f5 S
力偶只能使物體轉(zhuǎn)動或改變轉(zhuǎn)動狀態(tài)。怎樣度量？

力使物體轉(zhuǎn)動的效應，用力對點的矩度量。

設物體上作用一力偶臂為d的力偶(F，F(xiàn)')，該力偶對任一點O的矩為


+ G! W* g% ]2 d; V( F6 L
! Y( N3 R3 r- U% SMo(F)+Mo(F')=F(x+d)-F'x=Fd

: `( G( ~9 r( |8 R9 X由于點O是任意選取的，故力偶對作用面內(nèi)任一點的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘積（與矩心位置無關）
8 ?9 R9 J' y* m; M
力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘積，記作M(F,F')或M
9 K# i) z1 Q2 a8 z9 S' r: y# a
M(F,F')=±Fd 規(guī)定：力偶逆時針轉(zhuǎn)向時，力偶矩為正，反之為負。
  \$ f9 O6 J1 d/ O! b0 x& ]
- I0 M: t( d* @& m6 x力偶矩的單位是Nmm。 力偶同力矩一樣，是一代數(shù)量。
. e: L- y% o( E4 K( w! I$ S
7 b, `) [; ^" oMo(F) = ± Fd
  d& m* c- V5 g) V5 Z1 C2 N
2 g! d% d3 }/ d6 e8 _0 m! [+ u力偶的三要素——大小、轉(zhuǎn)向和作用平面

* n3 h2 Y7 W  m6 W2.力偶的性質(zhì)

（1）力偶無合力。

力偶不能用一個力來等效，也不能用一個力來平衡。

6 Q) @- Y% _, S6 t. f! \可以將力和力偶看成組成力系的兩個基本物理量。
7 N* ^1 ?5 i, o2 h) X1 s' _- x
（2）力偶對其作用平面內(nèi)任一點的力矩，恒等于其力偶矩。

（3）力偶的等效性力偶的等效性——作用在同一平面的兩個力偶，若它們的力偶矩大小相等、轉(zhuǎn)向相同，則這兩個力偶是等效的。

+ }/ R# C. Z1 A0 u" C力偶的等效條件：
9 D+ [* F' T# A5 F8 q$ {8 h
" V2 |1 E7 s7 F% _3 R! F$ p4 o  N: o6 s7 r1）力偶可以在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)而不改變它對物體的作用。即力偶對物體的作用與它在作用面內(nèi)的位置無關。

8 H) F  q. t5 K+ K2 [+ `5 B  D2）只要保持力偶矩不變，可以同時改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，而不會改變力偶對物體的作用。

% W: G; @4 y5 i" F' R# J7 r  i2.2.3平面力偶系的合成與平衡

2 |3 B. ]) p" i, \9 B/ I平面力偶系——作用在剛體上同一平面內(nèi)的多個力偶。
: P* e! P3 z7 f
, ~: e* _% B  V1.平面力偶系的合成
; d3 s5 f; p1 ~* v+ ?2 ?% }. Y
例 兩個力偶的合成
) L& U5 {8 g5 Z* ~

M=M1+M2+---+Mn

7 @( y; u/ i6 k2 V7 v
————力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和

# c- K' u$ ]! U0 G* ^. j+ q2.平面力偶系的平衡
+ d2 g0 ]$ y& r$ O- ?* S2 R" M4 p
; P$ ]# X6 N, `2 M" U: [* y' x) O平面力偶系合成的結(jié)果為一個合力偶，因而要使力偶系平衡，就必須使合力偶矩等于零，
$ O! l8 I# t" h, n" G! V% k
* P5 I* M2 n" u例2-4 梁AB 受一主動力偶作用，其力偶矩M=100Nm ，梁長l=5m ，梁的自重不計，求兩支座的約束反力。

( @: s: F% l. N
& U! R- R6 G8 J$ \7 P, n; i
解 （1）以梁為研究對象，進行受力分析并畫出受力圖

FA必須與FB大小相等、方向相反、作用線平行。
* l, @8 u" i$ [3 L
0 ~% C8 s% y4 l# N* N" T（2）列平衡方程
0 w2 \2 A( A( ^1 g( I/ a
   
- E* w& C8 U! V; I' `" h" G
2.3 平面一般力系

平面一般力系——作用在物體上的各力作用線都在同一平面內(nèi)，既不相交于一點又不完全平行。



上圖起重機橫梁AB受平面一般力系的作用
1 W5 u8 c" d' v' {0 ~; p4 B
2.3.1平面一般力系的簡化

1.力的平移定理力的可傳性——作用于剛體上的力可沿其作用線在剛體內(nèi)移動，而不改變其對剛體的作用效應。

問題：如果將力平移到剛體內(nèi)另一位置？
0 t" x/ U3 {( P- `# t( {5 w% g, s+ C
將作用在剛體上A點的力F平移動到剛體內(nèi)任意一點O，
8 @; p  F& Q" j6 g4 ^7 v& I7 l6 y8 \


附加力偶，其力偶矩為

M(F,F'')=±Fd=Mo(F)
+ C7 K" C1 d3 m7 o$ i( F* ?) E
上式表示，附加力偶矩等于原力F對平移點的力矩。

于是，在作用于剛體上平移點的力F′和附加力偶M的共同作用下，其作用效應就與力F作用在A點時等效。

2 y$ c) Q8 A, L/ ~1 g; Z力的平移定理——作用于剛體上的力，可平移到剛體上的任意一點，但必須附加一力偶，其附加力偶矩等于原力對平移點的力矩。
" j& S0 S: N4 P4 ]# B7 W
根據(jù)力的平移定理，可以將力分解為一個力和一個力偶；也可以將一個力和一個力偶合成為一個力。


% N, R) Q7 E6 F2 X! q2.平面一般力系向平面內(nèi)任意一點的簡化
( @1 b" P+ N. B( m5 r8 b5 j% Y" v
! i/ P6 p0 p' I
9 A8 V6 P0 r4 ^" x

α——主矢與x軸的夾角

8 ^* u" H, B4 Y" G% yMo——平面一般力系的主矩
3 Y6 z2 C- N6 `+ ?
3 ~6 o: N* S7 }* H/ x主矩=各附加力偶矩的代數(shù)和。
# T# |: c* x3 [8 N
（由于每一個附加力偶矩等于原力對平移點的力矩，所以主矩等于各分力對簡化中心的力矩的代數(shù)和，作用在力系所在的平面上。）

Mo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)

  M$ V0 R' `  V. Z! W+ e平面一般力系向平面內(nèi)一點簡化，得到一個主矢 F'R 和一個主矩 Mo，

    主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再開方，作用在簡化中心上。其大小和方向與簡化中心的選擇無關。

- s4 b( |7 g7 V% `8 k7 D# J    主矩等于原力系各分力對簡化中心力矩的代數(shù)和，其值一般與簡化中心的選擇有關。

3. 簡化結(jié)果分析

    平面一般力系向平面內(nèi)任一點簡化，得到一個主矢 F' R 和一個主矩 M o ，但這不是力系簡化的最終結(jié)果，如果進一步分析簡化結(jié)果，則有下列情況：

F'R =0, M o ≠0

6 Q3 S- E0 J! zF'R≠0, M o =0

F'R ≠0, M o ≠0
# |! Y. p5 m8 S9 w
' M! \6 A5 x4 MF'R=0, M o =0(力系平衡)

/ c# q+ j" x8 Y$ z2.3.2 平面一般力系的平衡

1.平面一般力系的平衡條件

平面一般力系平衡的必要與充分條件為：
  t0 ]! ?9 I) n$ i& H
9 c! @& I$ r3 p. Y$ b' v' }0 E

  
9 k6 Y. g4 n3 V) ^5 b7 I* m8 I$ ?
2.平面平行力系的平衡條件
8 H; V+ C6 e7 k' g9 g1 Y
4 v" |/ s/ m: s平面平行力系的平衡方程為
, P9 U: |3 O. Y0 K% p! T* i
1 X; Q0 t3 e7 i, }. Y4 l* i& V
, |1 y6 L  a- Y6 W0 Y% f6 l. |
平面平行力系只有兩個獨立的平衡方程，因此只能求出兩個未知量。

$ J: i! A: z0 |1 ~; E& a, i5 a例2-6 塔式起重機的結(jié)構(gòu)簡圖如圖所示。設機架重力 G =500kN ，重心在C點，與右軌相距 a =1.5 m 。最大起吊重量 P =250kN ，與右軌 B 最遠距離 l =10 m 。平衡物重力為 G 1 ，與左軌 A 相距 x =6 m ，二軌相距 b =3 m 。試求起重機在滿載與空載時都不至翻倒的平衡重物 G 1 的范圍。


, \5 S  p. N' t" m, e7 B5 H' v
2 x+ U) N3 i' a( l* D  X解：取起重機為研究對象。

$ K0 a8 F. ~2 ^6 |# U! v5 L是一平面平行力系

3.物體系統(tǒng)的平衡條件

/ v/ K( q; f& O6 f物系——由多個構(gòu)件通過一定的約束組成的系統(tǒng)。
6 D1 o. |9 h! B) Q
0 |8 ~: B$ ^: R7 w+ l2 ~    若整個物系處于平衡時，那么組成這一物系的所有構(gòu)件也處于平衡。因此在求解有關物系的平衡問題時，既可以以整個系統(tǒng)為研究對象，也可以取單個構(gòu)件為研究對象。對于每一種選取的研究對象，一般情況下都可以列出三個獨立的平衡方程。3n

" U9 |- n5 W& ~" t( |物系外力——系統(tǒng)外部物體對系統(tǒng)的作用力
% Z1 J  i# J/ m1 k  K1 ?0 Q
! j! P7 U" E- {1 n% x物系內(nèi)力——系統(tǒng)內(nèi)部各構(gòu)件之間的相互作用力
4 a$ r+ t" R4 A1 M" a/ w6 g% ]
物系的外力和內(nèi)力只是一個相對的概念，它們之間沒有嚴格的區(qū)別。當研究整個系統(tǒng)平衡時，由于其內(nèi)力總是成對出現(xiàn)、相互抵消，因此可以不予考慮。當研究系統(tǒng)中某一構(gòu)件或部分構(gòu)件的平衡問題時，系統(tǒng)內(nèi)其它構(gòu)件對它們的作用力就又成為這一研究對象的外力，必須予以考慮。

草原蒙狼

上面沒有高級回復，所以不顯示圖形，請管理員刪除。看下面

2.1 平面匯交力系

平面匯交力系的工程實例：

2.1.1 力的分解
按照平行四邊形法則，兩個共作用點的力，可以合成為一個合力，解是唯一的；
但反過來，要將一個已知力分解為兩個力，如無足夠的條件限制，其解將是不定的。
8 U3 q8 h" h3 L" d2.1.2 力在坐標軸上的投影

, K$ }' O) Z: w8 Z' L注意:力的投影是代數(shù)量，它的正負規(guī)定如下：如由a到b的趨向與x軸（或y軸）的正向一致時，則力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取負值。

" U8 \( C/ F2 N  `2.1.3合力投影定理

N7 r6 c8 C1 f3 \5 u

& |( Q; o, L' R9 n5 L合力投影定理——合力在某一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。
2.1.4 平面匯交力系的平衡條件
平面匯交力系可以合成為一個合力，即平面匯交力系可用其合力來代替。顯然，如果合力等于零，則物體在平面匯交力系的作用下處于平衡狀態(tài)。平面匯交力系平衡的必要和充分條件是該力系的合力F等于零。即
, _" s0 t1 ?7 j' K# p" s8 u

即

2 _1 G3 q7 L% A- O) s" T, J1 @力系中所有各力在兩個坐標軸中每一軸上投影的代數(shù)和都等于零。這是兩個獨立的方程，可以求解兩個未知量。
例2-1 如圖所示為一吊環(huán)受到三條鋼絲繩的拉力作用。已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，與水平成30度角；F3=3000N，鉛直向下，試求合力大小。（僅是求合力大小）

9 z) f# C1 d# y9 j2 @/ [例2-2 圖示為一簡易起重機裝置，重量G=2kN的重物吊在鋼絲繩的一端，鋼絲繩的另一端跨過定滑輪A，繞在絞車D的鼓輪上，定滑輪用直桿AB和AC支承，定滑輪半徑較小，大小可忽略不計，定滑輪、直桿以及鋼絲繩的重量不計，各處接觸都為光滑。試求當重物被勻速提升時，桿AB、AC所受的力。

2 N" E+ U' z7 L) e解 因為桿AB、AC都與滑輪接觸，所以桿AB、AC上所受的力就可以通過其對滑輪的受力分析求出。因此，取滑輪為研究對象，作出它的受力圖并以其中心為原點建立直角坐標系。由平面匯交力系平衡條件列平衡方程有

5 f  M  y* G* d4 i; Y6 x解靜力學平衡問題的一般方法和步驟：
1.選擇研究對象 所選研究對象應與已知力（或已求出的力）、未知力有直接關系，這樣才能應用平衡條件由已知條件求未知力；
, R: ~- A' u$ s& Q3 n5 b7 a3 x2.畫受力圖 根據(jù)研究對象所受外部載荷、約束及其性質(zhì)，對研究對象進行受力分析并得出它的受力圖。
# E9 }+ M# ^+ S! ~1 I. E/ ?3.建立坐標系，根據(jù)平衡條件列平衡方程 在建立坐標系時，最好有一軸與一個未知力垂直。
5 V0 k& x# y1 Q; s6 t- r' C在根據(jù)平衡條件列平衡方程時，要注意各力投影的正負號。如果計算結(jié)果中出現(xiàn)負號時，說明原假設方向與實際受力方向相反。

2.2 力矩與平面力偶系

2.2.1 力對點之矩?(簡稱為力矩)

1.力對點之矩的概念

為了描述力對剛體運動的轉(zhuǎn)動效應，引入力對點之矩的概念。

力對點之矩用Mo（F）來表示，即 Mo(F) = ± Fd
" ~. p+ b# n1 U2 K' t: ^  @! v+ w一般地，設平面上作用一力F，在平面內(nèi)任取一點O——矩心，O點到力作用線的垂直距離d稱為力臂。

# T4 O! G/ J( \5 V2 f0 U9 QMo( F ) = ± 2△OAB
: c; {9 Z6 f5 a. K/ ?! c: |力對點之矩是一代數(shù)量，式中的正負號用來表明力矩的轉(zhuǎn)動方向。
矩心不同，力矩不同。
規(guī)定：力使物體繞矩心作逆時針方向轉(zhuǎn)動時，力矩取正號；反之，取負號。
力矩的單位是Nmm。
, M" u. z- x; H+ `, D由力矩的定義可知：
（1）若將力F沿其作用線移動，則因為力的大小、方向和力臂都沒有改變，所以不會改變該力對某一矩心的力矩。
" U5 L/ Y4 p$ |) G9 U0 V（2）若F=0，則Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F(xiàn)≠0，則d=0，即力F通過O點。
- o, u4 j5 q" E2 P& l6 L力矩等于零的條件是：力等于零或力的作用線通過矩心。
2.合力矩定理
  K$ ^/ a3 a$ D: P設在物體上A點作用有平面匯交力系F1、F2、---Fn，該力的合力F可由匯交力系的合成求得。

+ h- m; O$ k3 W% |0 j計算力系中各力對平面內(nèi)任一點O的矩，令OA=l，則
! [2 i% `: V0 j$ G) M; NMo(F1)=-F1d1=-F1lsina1=F1yl
- u' {* l4 V5 U3 R5 p# V- _Mo(F2)=F2yl
& c, U, s- S) G! [, n7 SMo(Fn)=Fnyl
由上圖可以看出，合力F對O點的矩為
Mo(F)=Fd=Flsina=Fyl
. E8 O; S- a: @! I4 Q據(jù)合力投影定理，有
7 g: Y1 M9 L3 V5 JFy=F1y+F2y+---+Fny
5 T% r# p! z5 @7 u, h/ jFyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl
即
Mo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)

合力矩定理：平面匯交力系的合力對平面內(nèi)任意一點之矩，等于其所有分力對同一點的力矩的代數(shù)和。
( ~, G6 l5 K9 u$ {3.力對點之矩的求法(力矩的求法)
9 M" }# H5 U# R$ G% `（1）用力矩的定義式，即用力和力臂的乘積求力矩。
( x, r& }  D$ H+ w8 @/ r) i注意：力臂d是矩心到力作用線的距離，即力臂必須垂直于力的作用線。?
（2）運用合力矩定理求力矩。力分解
例2-3 如圖所示，構(gòu)件OBC的O端為鉸鏈支座約束，力F作用于C點，其方向角為 α ，又知OB= l ，BC= h ，求力F對O點的力矩。

解 （1）利用力矩的定義進行求解

如圖，過點O作出力F作用線的垂線，與其交于a點,則力臂d即為線段oa 。再過B點作力作用線的平行線，與力臂的延長線交于b點，則有

（2）利用合力矩定理求解
+ _5 i4 |! [  R6 A8 B4 E  C將力F分解成一對正交的分力

力F的力矩就是這兩個分力對點O的力矩的代數(shù)。即
& W: Q0 V4 [: t; \. |# xMo(F)=Mo(Fcx)+Mo(Fcy)=Fhcosa-Flsina=-F(lsina-hcosa)
2.2.2力偶及其性質(zhì)
1.力偶的定義
在工程實踐中常見物體受兩個大小相等、方向相反、作用線相互平行的力的作用，使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動。例如，用手擰水龍頭、轉(zhuǎn)動方向盤等。

3 B" j5 R* x7 `3 |' Z力偶——大小相等、方向相反、作用線相互平行的兩力，如圖中的力F與F'構(gòu)成一力偶。記作(F，F')
力偶作用面——兩個力所在的平面
( `5 c8 N9 n7 Q; _& Z9 |( q力偶臂——兩個力作用線之間的垂直距離d
: u% X& ~9 r& p  Z  ~力偶的轉(zhuǎn)向——力偶使物體轉(zhuǎn)動的方向
力偶只能使物體轉(zhuǎn)動或改變轉(zhuǎn)動狀態(tài)。怎樣度量？
6 Y3 m6 `5 i4 Y  v: F' Q! P力使物體轉(zhuǎn)動的效應，用力對點的矩度量。
設物體上作用一力偶臂為d的力偶(F，F(xiàn)')，該力偶對任一點O的矩為

Mo(F)+Mo(F')=F(x+d)-F'x=Fd
( L7 W; Q& B' o/ ?, d- q由于點O是任意選取的，故力偶對作用面內(nèi)任一點的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘積（與矩心位置無關）
力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘積，記作M(F,F')或M
3 e4 C3 d- P' Z7 U2 E5 Q$ J" MM(F,F')=±Fd 規(guī)定：力偶逆時針轉(zhuǎn)向時，力偶矩為正，反之為負。
力偶矩的單位是Nmm。 力偶同力矩一樣，是一代數(shù)量。
4 n# y5 @8 n: z" i- rMo(F) = ± Fd
& z+ P% |! r4 {6 Y' [; l力偶的三要素——大小、轉(zhuǎn)向和作用平面
  @. g( ]+ x. s: Z8 \/ m7 g# y2.力偶的性質(zhì)
（1）力偶無合力。
. t$ F3 M: B/ m# n. \1 V力偶不能用一個力來等效，也不能用一個力來平衡。
可以將力和力偶看成組成力系的兩個基本物理量。
（2）力偶對其作用平面內(nèi)任一點的力矩，恒等于其力偶矩。
: B* ^* @2 z+ W9 G9 H2 r$ ^（3）力偶的等效性力偶的等效性——作用在同一平面的兩個力偶，若它們的力偶矩大小相等、轉(zhuǎn)向相同，則這兩個力偶是等效的。
( P4 g; {3 |# B5 C0 Z) G力偶的等效條件：
1）力偶可以在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)而不改變它對物體的作用。即力偶對物體的作用與它在作用面內(nèi)的位置無關。
6 L' j4 t5 d& b% B8 z! l2）只要保持力偶矩不變，可以同時改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，而不會改變力偶對物體的作用。
+ Y& A) ?# e, ~' O, H' R, ?2.2.3平面力偶系的合成與平衡
平面力偶系——作用在剛體上同一平面內(nèi)的多個力偶。
6 Q& T; [6 Z/ d9 w" h4 ]1 E& V1.平面力偶系的合成
! N3 V% V, m9 P* x5 K* f% y6 l9 _例 兩個力偶的合成
' L+ [& E# w4 @# z

M=M1+M2+---+Mn . c) J+ j6 J1 ^9 p( F2 p. ~

9 {, a; e5 `: S$ j6 V————力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和

草原蒙狼

2.平面力偶系的平衡
* [$ Y: ~1 T9 }  A( V平面力偶系合成的結(jié)果為一個合力偶，因而要使力偶系平衡，就必須使合力偶矩等于零，
% R6 l" S8 y; G" d( ]- m例2-4 梁AB 受一主動力偶作用，其力偶矩M=100Nm ，梁長l=5m ，梁的自重不計，求兩支座的約束反力。

解 （1）以梁為研究對象，進行受力分析并畫出受力圖
2 ?' [3 d, W& E$ e0 a  PFA必須與FB大小相等、方向相反、作用線平行。
0 r- G# \0 M/ o2 A4 i/ {（2）列平衡方程
/ T; i# b9 @0 m

2.3 平面一般力系

平面一般力系——作用在物體上的各力作用線都在同一平面內(nèi)，既不相交于一點又不完全平行。

! {& h: n! L) r9 y4 N  E- R- P& `, y上圖起重機橫梁AB受平面一般力系的作用
& a% A+ d6 ^: ?) H! b2.3.1平面一般力系的簡化
1.力的平移定理力的可傳性——作用于剛體上的力可沿其作用線在剛體內(nèi)移動，而不改變其對剛體的作用效應。
問題：如果將力平移到剛體內(nèi)另一位置？
' |# o7 o9 Q* e2 [7 w; B9 U- ~將作用在剛體上A點的力F平移動到剛體內(nèi)任意一點O，

# i4 @  b( ^6 g8 F, `- J: {; N2 |附加力偶，其力偶矩為
& C; h" g# K/ U, C+ ]; I4 HM(F,F'')=±Fd=Mo(F)
上式表示，附加力偶矩等于原力F對平移點的力矩。
于是，在作用于剛體上平移點的力F′和附加力偶M的共同作用下，其作用效應就與力F作用在A點時等效。
力的平移定理——作用于剛體上的力，可平移到剛體上的任意一點，但必須附加一力偶，其附加力偶矩等于原力對平移點的力矩。
根據(jù)力的平移定理，可以將力分解為一個力和一個力偶；也可以將一個力和一個力偶合成為一個力。
+ n* g7 p' l2 Q2 K) G& y9 U/ b
& z8 @5 U' }3 ~6 P$ u/ k2.平面一般力系向平面內(nèi)任意一點的簡化

α——主矢與x軸的夾角
Mo——平面一般力系的主矩
3 ]7 W# D3 S- I) `# Z' I- E7 ?2 d- K主矩=各附加力偶矩的代數(shù)和。
# f0 Q- S: c) p  \4 T/ m" W（由于每一個附加力偶矩等于原力對平移點的力矩，所以主矩等于各分力對簡化中心的力矩的代數(shù)和，作用在力系所在的平面上。）
Mo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
; y7 o, N% r/ ]9 j- _平面一般力系向平面內(nèi)一點簡化，得到一個主矢 F'R 和一個主矩 Mo，

    主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再開方，作用在簡化中心上。其大小和方向與簡化中心的選擇無關。

    主矩等于原力系各分力對簡化中心力矩的代數(shù)和，其值一般與簡化中心的選擇有關。

3. 簡化結(jié)果分析

    平面一般力系向平面內(nèi)任一點簡化，得到一個主矢 F' R 和一個主矩 M o ，但這不是力系簡化的最終結(jié)果，如果進一步分析簡化結(jié)果，則有下列情況：

F'R =0, M o ≠0

F'R≠0, M o =0

F'R ≠0, M o ≠0

F'R=0, M o =0(力系平衡)

2.3.2 平面一般力系的平衡

1.平面一般力系的平衡條件

平面一般力系平衡的必要與充分條件為：

9 s- U1 s* ^5 z1 I8 e6 R& d: F
2.平面平行力系的平衡條件
  i" \2 S& Q4 _: p7 L  m& e平面平行力系的平衡方程為

平面平行力系只有兩個獨立的平衡方程，因此只能求出兩個未知量。

例2-6 塔式起重機的結(jié)構(gòu)簡圖如圖所示。設機架重力 G =500kN ，重心在C點，與右軌相距 a =1.5 m 。最大起吊重量 P =250kN ，與右軌 B 最遠距離 l =10 m 。平衡物重力為 G 1 ，與左軌 A 相距 x =6 m ，二軌相距 b =3 m 。試求起重機在滿載與空載時都不至翻倒的平衡重物 G 1 的范圍。

解：取起重機為研究對象。
! e4 ?, L; M: @是一平面平行力系

3.物體系統(tǒng)的平衡條件

物系——由多個構(gòu)件通過一定的約束組成的系統(tǒng)。

    若整個物系處于平衡時，那么組成這一物系的所有構(gòu)件也處于平衡。因此在求解有關物系的平衡問題時，既可以以整個系統(tǒng)為研究對象，也可以取單個構(gòu)件為研究對象。對于每一種選取的研究對象，一般情況下都可以列出三個獨立的平衡方程。3n

物系外力——系統(tǒng)外部物體對系統(tǒng)的作用力

物系內(nèi)力——系統(tǒng)內(nèi)部各構(gòu)件之間的相互作用力

物系的外力和內(nèi)力只是一個相對的概念，它們之間沒有嚴格的區(qū)別。當研究整個系統(tǒng)平衡時，由于其內(nèi)力總是成對出現(xiàn)、相互抵消，因此可以不予考慮。當研究系統(tǒng)中某一構(gòu)件或部分構(gòu)件的平衡問題時，系統(tǒng)內(nèi)其它構(gòu)件對它們的作用力就又成為這一研究對象的外力，必須予以考慮。

無能

依圖為空間平行力系，其平衡條件是：
9 _0 n) c# }3 M5 PP1+P2+P3+P4=W
WB=(P2+P4)A
9 G& C. P' _) kWD=(P1+P2)C
3個平衡方程，4個未知量，此為一次靜不定結(jié)構(gòu)，必須得知各個桿件的E，補個變形協(xié)調(diào)方程，方可求解。
3 U; e7 S9 \; U; D) j$ ~對鋼而言，因為其彈模E高達200Gpa，在靜不定的情況下，某一構(gòu)件長或短若干微米，受力情況就面目全非（比如Φ50X4長100的鋼管，其彈變10微米，外力變動就達1噸多，不可謂不大）。所以此題若將支撐改為3個，即變身為靜定結(jié)構(gòu)，求解就易如反掌了。

w9049237

8# 草原蒙狼
! h5 O; Z. Q3 o; M  ?: q0 h* P% N佩服.......無言!!