計算繩子的長度，大家來做題目吧^^

fmdd

大家來做題目吧^^
; V, ~7 A* J' K% z# P
( |/ ^. s' s* Z# ?5 P% U2 ^9 a假設一顆鐵球，拴了一根繩子。

該鐵球位于地球赤道上方，繩子垂直于地面向下，鐵球相對于地面保持靜止。

該鐵球相當于衛星，有點類似于地面上的一個棒棒糖。
4 o: X+ Q3 R2 ?
假設繩子密度是均勻的，而且足夠結實不會被拉斷，請問繩子需要有多長？
9 Z# w  {0 m8 A' t) W3 M& n  F) I
: \' ]) _: V3 W  D; R各物理量可以百度，比如重力加速度g、萬有引力常數G、可以百度得到。
4 f6 D! V: k+ q4 X# z! R& R. z% l
4 e5 Z% `- {- T2 _6 c- d計算過程中的未知量，比如鐵球重量等等可以進行假設。

2 S9 Q. O2 a+ Y( M補充一個圖：

, H; r4 H0 V, `. W. O5 O

, B' I0 F8 s" M& x8 w  N. C謝謝"探索號QM"的答題，他的計算模型中，是假設繩子對鐵球無任何影響。
' }( H* X4 j3 ?0 l) _
現在增加點難度，需要考慮繩子的影響。

由于有繩子的拖累，鐵球需要有更大的離心力，才能帶著繩子相對于地面保持靜止。
. Y* U1 L3 Q* N* v# @
不計空氣阻力的影響，也不計繩子和鐵球之間的萬有引力。

- P7 k( r" I$ F# d0 G給定一些可能會用到的參數(只是可能)
  Y/ g9 p0 a/ U2 O5 `: k鐵球質量：1kg
繩子直徑：10mm
# m& b* k2 j0 |) V, C( c4 x繩子線密度：0.1kg/m
繩子的剛度：無窮大

luyupei

逍遙處士 發表于 2013-9-22 19:07
4 L% R5 w9 z. p/ v請樓主批評。

5 B- b: `* N6 P+ H0 [弱弱問一下，大俠用的什么工具做的文檔？圖形是用的什么工具？

M大虎

無地自容

逍遙處士

fmdd 發表于 2013-9-23 00:06
多謝逍遙兄和前面參與計算討論的探索號QM，辛苦大家了！

+ k; C1 e; ~, W  a* X/ t我的計算如下：

地球同步衛星的軌道高度為 35786 km，這個高度是鐵球受到的離心力和地球對它的萬有引力的平衡點。
若繩子長度為 144400 km，且尾端接近地面，那么鐵球高度將遠遠高于同步軌道高度，如果其旋轉速度跟地球同步的話，其受到的離心力將遠遠大于萬有引力，這時如果沒有繩子牽拉，它將向太空飛去。
* z$ s9 B5 b. L& e/ ?' l所以我覺得在繩子的末端還要計入鐵球對它的拉力，對鐵球也要計算繩子對它的拉力，這樣才能兩相平衡。
6 ?, q4 ^- w' o5 V% _# I
寫完上段，又琢磨了一會兒，覺得有點兒意思。鐵球質量才1kg，而繩子長度數萬公里，怪不得樓主直接將鐵球給忽略了。。。

$ m: T3 b0 }: E8 C) [1 \
1 C) K$ v4 S  V/ U4 S5 s4 s
所得結果跟樓主差不多。但這些大數計算，差一個數，就差好幾萬公里……

supperslz

理論源于實踐！

fmdd

逍遙處士 發表于 2013-9-22 22:05
如圖，當繩子長度為 1000m 時，若想鐵球-繩子處于平衡，則鐵球到地心的理論距離在 42160360.0m 與 421603 ...

; L2 Q3 o+ Y9 ?, S! c7 S多謝逍遙兄和前面參與計算討論的探索號QM，辛苦大家了！

8 E  K! f, ~* Z% O3 c我的計算如下：

% C* ?# m5 s+ i  F- e7 p
: |3 @9 H6 i6 M+ Q% W7 B/ T2 d5 _$ J  X
+ ~) F" I% `$ v. y8 c
! j- A( ]6 B" o7 C2 Q

逍遙處士

$ u) x$ [7 D! N( W3 q

fmdd 發表于 2013-9-22 20:53
7 q6 s) P. l6 D/ {. z6 ~$ ^' R謝謝逍遙兄的解答！

函數圖象中沒能看出縱橫坐標所表示的含義，也沒能看出圖形交點的坐標值

) ?, V3 k0 W0 z0 s2 ^$ J5 p如圖，當繩子長度為 1000m 時，若想鐵球-繩子處于平衡，則鐵球到地心的理論距離在 42160360.0m 與 42160360.1m 之間。


% A8 K) }- x, U9 o
" T! n3 o5 @, n! ]. _) |' Q& Y當繩子長度為 10000m時，鐵球距離地心的理論值在 42164860.2m 與 42164860.3m 之間。



不知與fmdd兄的計算結果是否符合。

逍遙處士

fmdd 發表于 2013-9-22 20:50
謝謝“探索號QM”的解答！

0 v5 m! N6 E. K4 ^) x由于繩子和地球之間的萬有引力與距離的平方成反比，計算其萬有引力的時候， ...

沒錯。
1 E6 y1 M* d3 `/ O) i
當L2遠遠大于b時，可視為limb=0，將b=0代入最后一式，可得find(L)→L2。也就是說，當兩個質量體相隔距離非常遠時，遠大于物體本身的尺度時，質量體可近似視為質點。

2 N# p$ K+ z- V: ]7 @8 O所以當繩子-鐵球系統到地心的距離遠大于其本身尺度時，用前面朋友的簡化質心的方法，也是可行的，結果也應該是相當精確的。

fmdd

逍遙處士 發表于 2013-9-22 19:07
3 d3 H" W6 X) t$ L5 a請樓主批評。

謝謝逍遙兄的解答！
8 k. j7 H/ {+ l. l" q/ ~8 Q
( k* ~9 y0 [6 ^4 R- U函數圖象中沒能看出縱橫坐標所表示的含義，也沒能看出圖形交點的坐標值
+ r. T) b: t# |4 H1 j, F; y7 I

fmdd

探索號QM 發表于 2013-9-22 10:21
繩子與球的共同質心離地心和赤道表面的距離已經可以確定，不必重復，并利用其數值建立以下質心平衡方程： ...

謝謝“探索號QM”的解答！
( {3 G4 B, ~: U& N
由于繩子和地球之間的萬有引力與距離的平方成反比，計算其萬有引力的時候，不能用質點法("形心")來等效，質心法過于理想化，精確點的解法是沿著繩子長度方向積分來計算總萬有引力，兩種計算方法差異比較大。

) Z5 w6 @7 [2 c  `$ P9 U0 o2 \再次感謝！
5 S6 o6 S  }' ^/ A/ ?
# a8 b4 a) U. F- Q( S9 s8 p6 {$ B' T

哎瘋

探索號QM 發表于 2013-9-22 05:38
+ G( n) d6 P1 {8 G) j% U( \如果只考慮地球自轉，那等式建立的概念是重力加速度等于離心加速度。
, j' d, q. R! \9 ?G*M*r^-2=r*ω^2
4 N6 v% Y, e8 G7 j) y7 k  y& p其中:

2 l% H1 M* U0 g, D; N4 f' T- B只要繩子的長度和衛星的高度一樣不就行了，也許要考慮空氣的摩擦，但是如果繩子夠細的話，也可以不用考慮，還是考慮會不會被其他的星球絆倒吧，綜上所述，別用繩子了！
0 q9 h4 i1 Z9 k0 f+ J% }