圓形的特性推論可以幫你解決系列問題。

zerowing

呵呵，最近說到了基礎。也有人發了一個簡單的題。于是有了這個念頭。其實，有些基礎的東西可以一方治百病，只是看你能不能想起來用了。

原帖地址：http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=124540&extra=page%3D1

這類題其實都可以用一個推論來解決。原自圓形的特征。

圓，當一個圓沿某一平面做純滾動時，其圓心走過的距離恒等于其自身轉過的弧長。

證明：如圖

假定一個圓轉動一個足夠小的角a，那么其滾過的痕跡為一線段（因為足夠?。?。

則有：弧AB長等于線段AB長。 根據幾何關系，OA垂直于線段AB，OB垂直于線段AB，OA=OB，于是有OO線段長=AB線段長。
7 B. d9 V( |( Q. A$ C& |& P4 _- o

因此得到推論結果：圓，當一個圓沿某一平面做純滾動時，其圓心走過的距離恒等于其自身轉過的弧長。

而這一結果會使得上面提到的一系列題目得到最簡單的解決辦法。因為你可以不用去管它什么形狀，你所需要的只是計算出圓心走過的距離。然后根據這一推論得出結果。
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實例1：http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=124540&extra=page%3D1

       解答：

                                                                                       （別管里面的標注）
　　　圓心走過的距離為：（中心圓半徑+小圓半徑）*2*pi=m*（Z1+Z2)*pi  ——（1）
           則小圓圍繞中心圓轉一圈走過的弧長為： m*(Z1+Z2)*pi
           則小圓轉過的圈數為： n=m*(Z1+Z2)*pi/( m*Z2*pi)=(Z1+Z2)/Z2
           帶入數據得到： n=3
: \7 e3 s* j- N' q1 u

實例2：

        

           這樣一個圖形中，小圓轉過的圈數。
1 h! D1 C, g1 L; R5 ?1 s           同樣。按上面的步驟：圓心走過的距離：6*b
3 ^+ S* |: g8 n8 d' A1 i           小圓對應的弧長：6*b
           轉過的圈數：6*b/(a*pi)
, A6 {/ j) F# B% o9 J0 v" M; k           b怎么得到。有c有a，不要告訴我你算不出b來。哈哈。相似三角形啊。

同理，你可以很方便的計算出例如像實例2種圓在外面滾的結果。還有很多結構復雜，不好判斷的圖形。
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請注意：齒輪轉動的本質是分度圓的純滾動。因此這個方法對于所有行星輪問題同樣有效。

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說這么多，希望對大家有所啟發。

cosxuan

  y9 G7 S$ M9 D" q. J我感覺你一直沒有理解我表達的問題，或許是我的表達有問題，這些咱都不去討論了，也不討論數學問題，只看圖。
9 J9 p% |4 M9 ^& v! I& @首先初始時刻如下左邊圖所示，經一段時間，小圓繞大圓公轉了θ角，小圓自轉了α角，如下右圖（就像你說的，θ不等于α，一開始是我疏忽了，我在此澄清，θ不等于α，自轉角不等于公轉角），這沒有問題吧？
那么小圓的自轉弧長就是DB段，圓心走過的弧長是O1O2段，按你的意思就是DB段等于O1O2段，自轉的弧長等于圓心走過的路徑對吧？
* A& U3 i5 ^$ [# _# e3 `因為小圓在大圓上做的是純滾動，所以弧AB=弧DB，這有沒有問題？如果有請你證明出這兩段弧長不等。如果沒有問題，
5 ?  h4 F1 C/ F* F那么弧AB=弧DB，又弧O1O2=弧DB，所以弧O1O2=弧AB，但是很明顯弧O1O2不等于弧AB，所以在例一這種情況下，自轉弧長并不等于圓心走過的路徑。
6 F% p8 v$ S* c* J% \這樣推理有沒有問題？如果你有問題可以指出來哪錯了，并給出證明。

: b  e' u! J' F# _

cosxuan

* y, j: B" {/ Z+ `  d( V2 U
' b" O% ~( u  ^' z6 n8 S. s  Y圓公轉一角度時，小圓滾過的距離是不是AB段？小圓圓心移動的距離是不是CD段？AB=CD?別抓著所謂的定理不放，那都是有條件作為前提的，

圓，當一個圓沿某一平面做純滾動時，其圓心走過的距離恒等于其自身轉過的弧長。

你自己也寫了，是沿某一平面，何為平面？小圓是沿平面滾動的嗎？你自己都紅色的標出這句話了，我估計你現在還沒搞清楚平面跟面的定義吧！定理本生沒錯，錯的是你用錯地方了，忽略了使用條件。

jy297917

謝謝，受教了。

cosxuan

例一證明有問題，給出以下證明：

   首先按照樓主的結論圓，當一個圓沿某一平面做純滾動時，其圓心走過的距離恒等于其自身轉過的弧長。

那么，da=db?，F反證，小圓轉過一個非常小的角度dθ（弧度制），那么r1(小圓圓心繞大圓圓心公轉半徑)×dθ=da, r2（小圓跟大圓的接觸點與大圓圓心的距離）×dθ=db，，假設da=db正確，所以r1×dθ=r2×dθ，得出r1=r2，但是r1=r2+r（小圓半徑），故假設不正確。

) p) T7 E7 _+ c, X2 s  O: r6 X

幸會幸會

大俠高見啊，佩服

bigprawn

如果理解了理論力學中瞬心的概念，這個問題就好理解了

降臺詩春

往往越是簡單的方法越能發人深省，受教了樓主

夕陽書生

受教了樓主

上海工作＿2012

正解

咪嗪

樓主，這個原理是不是在擺線針減速機內常用。。。