一款另類的橢圓規 ---- 外嚙合1:1傳動

動靜之機

9 l6 @+ _5 @/ x4 M8 ~這兩天比較愉快。小子連闖兩道關，考上了南外初中。
3千多人抽簽（絕大多數都是有備而來的主），2560人中簽，然后考試，錄取320人，男女各半。
% W' {  E! B) d
那天考完，出口處所有的孩子都苦著臉出來，說數學太難（出題也用英語）。
2 y" \' k$ W3 v. S( q* D俺家的亦是如此，說還有大概20多題沒空做（至少30分沒了，總分150分的卷子）。
不過此次考試沒考這類轉幾圈的題目，呵呵，瞎擔心了：
+ r8 [; Y  }5 c0 ]( P一個簡單的考題考倒一大片! ---- 續I
' f/ j( G% z( G# nhttp://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=231503

一周前，俺發了這個帖子：
: \2 F  D8 o' W: G% T; g; j4 G怎樣車橢圓
http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=329983
% f  }8 e3 S0 N/ v
4 M9 E% ?, C( L& x里面提到的德國網站http://www.volmer---ovaldrehen.de/englisch.htm里，有這么幾個橢圓規：
! ^" M3 P5 u6 A9 @5 _( C
3 Y( B) I. o& f' U$ u  M這個就是十字滑軌式的，已經在“怎樣車橢圓”帖子里說清楚了。
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& s4 c4 Z- `' i' b* B: g8 j這個顯然是利用內齒輪嚙合的機構，大小直徑比為2，這也說過了。

) O/ l- j- v: m. C* |; O; \
9 {& l' G* k$ P, x對這第三個東東，俺一下子沒看明白。該網站只是說該橢圓規機構
允許在機構旁邊作畫（切割）因此可以作很小的橢圓。
" e! A$ G4 _& w2 u4 l, z
圖片搜索該照片的名稱Kopp-Ellipsograph發現有這么一張圖，簡直一摸一樣：
, d4 ~7 \8 e, P: _; I（http://fr.wikipedia.org/wiki/Ellipsographe）

意味著有相關文章可看，大喜，點擊過去，十幾秒后，頁面終于打開，暈倒。

有人感慨“它認識我，我不認識它”大概就這意思。

- i# _1 J: b8 |( P7 `: n1 `

不死心，重新搜關鍵詞，找到一個鏈接，對該機構有些許說明：

http://tech.groups.yahoo.com/group/liveaboardlathe/message/34
最下方提到參考書名 Mechanisms for the Generation of Plane Curves
8 }* z" X3 E2 y1 ?/ v: K于是搜來（估計是蘇聯圖書的英譯版）。抱歉，11M，就不上傳了。
( o( ]9 ?$ @+ `
翻遍全書，發現在105，106頁，有個證明（PS拼接如下）：
1 }' J1 [9 c3 r* f3 d3 H+ C
這個證明和照片里的橢圓規不太一樣。
9 G# q% E6 K! {* G
' k  x# \/ x# c, ^5 Y$ a: }好吧，為了安心，也因為今兒個高興，把照片里的機構也畫瓢地證一遍：
) O: T% c4 |6 c) a# M設仿形機構放大系數為K，即DC=K*DM，兩個起點都在X軸上且都處在自身
8 c+ n3 Q! J# U! b1 Y圓心的右側（計算比較方便）。左側齒輪逆時針旋轉，右側順時針旋轉。


5 R1 Q: E% \' m% Y: q對于C點X坐標，分別從r2 r3 兩條路找到關系式：
8 z7 G. L1 K1 G' l& H5 ~- _r2Cosα+k*DM*Cosβ=R+x         
& A8 Y$ {! I4 y1 n; Ar3Cosα+R+(k-1)*DM*Cosβ=x  
消去Cosβ參數，得到:
: ~  x( A- F3 z(2k-1)R-x=[(k-1)r2 -kr3 ]* Cosα  ------------------- A


/ F9 Z- F0 K+ \: k對于C點y坐標，分別從r2 r3兩條路找到關系式：
( O2 p1 c$ P  H# J1 [( Jr2Sinα-y =k*DM*Sinβ         
% f# t# K8 R+ \' t; M-y -r3 Sinα=(k-1)*DM*Sinβ
消去Sinβ參數，得到:
+ G4 c8 L* t/ {, ?- y=[(k-1)r2 +kr3 ]* Sinα       ------------------------ B

: C# M8 ^6 h3 Q5 Q# m! _
/ V4 L  c) y( u) T% m, \2 I把A式和B式綜合起來，就是（但愿全部步驟沒錯）:
8 \) B1 l4 T, A: a+ T$ [
" F. K! p% i4 ^- h8 r" k% W
2 L. J0 [: n& ^這顯然是個圓心分布于X軸(2k-1)R處，長半軸 (k-1)r2 + kr3 ，短半軸為 (k-1)r2 - kr3  絕對值的橢圓。
! \! M+ m/ v& v
2 i& T& n* w3 a. ^! hα=90度時，兩個驅動臂互為180度，畫出橢圓長半軸最低點。

) j) \- P" n2 c$ X5 b若起始時，選取的某點已有初始角度，例如左側所取得點已經逆時針轉過180度，右側尚未動，則
' ?5 T/ H. s6 N8 D3 v2 E意味著兩個驅動臂已經提前達180度角，那么當前畫出的點將是長半軸，而且在X軸上。也就是說，
1 B) U# ~: H2 G* T! @# D: |輸出的橢圓雖然大小完全沒變，但相對于例證，已經轉過90度啦，即相位角是初始相位角差的一半。

) \: R8 M1 J! B, x' `6 {, g回頭再看看那個滿眼鳥語的維基原圖的證明，就釋然了。
8 w; E( D, Q2 D+ Q  ^
1 W4 ^! N$ r! F$ W; n不妨拿這個仿形機構來說明：


' z3 K  f  q& u7 g+ o- t/ ]5 s
這個機構簡直天生為就是兩個復矢量的合成縮放準備的。

公式 Zm=kZb+（k-1）（-Za）意味著，若左側輸入Za，中間輸入Zb，右側輸出為Zm。
& [1 c- D: O" X9 l假設Za不動，放大作用使Zm為K倍的Zb，假設Zb不動，則杠桿作用使Zm為k-1倍的Za，
6 i9 d( o4 C, i不過由于處于杠桿的兩側，動作相反，因此有個負號。

一般的應用都把其中一個點定死，一個點輸入另一個點輸出，例如某些古老的仿形機床。
日內瓦湖畔的瑞士軍刀小店用的軍刀刻字機，也用這種機構。老板把客人的姓名字母凹
模板（約20x30毫米，厚2毫米）在軌道上排列好，然后用仿形機構縮刻在刀柄上。
只有西文字母可選？ 嗯，下次誰有機會去的話，先帶上自己名字的中文模板哦。。。


6 d9 c% T5 P. B( h, P  U

949457130

挺有意思！

從不孤單

挺好挺好

劍南春17385

厲害！！！
還證明。。。。佩服，真沉得下心！

low-key

真是不錯

夕陽書生

好貼，頂一個

GRL889

好強大啊

王大9997

高手啊，長見識了

shasu

平常能看到的那個 做鑰匙的機器 是仿形的吧

gctdxy

厲害長見識了