日志
有限元學習之路 之一
熱度 2 |
假設一均勻直桿，彈性模量E，截面積A，長度2L兩端固定，在中間位置施加一向右的載荷P，求直桿內應力。
材料力學解法：假設P的作用點發生了一微小位移X
求解完畢。
有限元解法思路：
將直桿劃分為2個單元
，用這連個離散單元的組合來逼近連續體直桿，設單元編號
，結點編號1，2，3，單元上軸向位移與軸向內力如上圖 u表示結點位移 N表示結點內力。
假設x為單元 
內任意一點則位移表達式為（以下的位移表達式為假設的，其實就是有限元中的單元形函數）
根據胡克定律，對于單元，由軸向力引發的位移
同樣對于單元
對單元，受力分析得出結點的受力情況
將上述單元的結點受力表達式寫成矩陣結構
同樣的方式針對單元，那么單元2 的結點受力表達式的矩陣結構是
單元
的剛度可表示為
在結點2處的平衡條件 
各結點的位移連續條件 
單元的剛度矩陣方程可以組合到如下形式（整體剛度矩陣方程）
可寫成如下形式 P = Kd K ———— 結構總剛度矩陣 d ———— 結構結點位移向量 P ———— 結構結點載荷向量
邊界條件 d1=d3 =0 代入求得
帶入各單元內力方程
到現在位置我們并沒有使用黃色背景部分的公式，它起什么作用呢？目前我們能得到的是各結點的位移，各點的受力，以及桿的內力及內應力（此時因為個單元內部的應力處處相等），那如何求得單元內部各處的位移呢？那就得使用黃色部分的內容了。比如單元
中間位置發生的位移是多少
，它不僅可以用作單元的內插值函數，即把單元內任意一點的位移用結點位移表示，而且可作為加權余量法中的加權函數，可以處理外載荷，將分布力等效為結點上的集中力和力矩，此外可用于等參單元的坐標變換。
