請教：關于凸輪無因次方程的問題

luxiang821

看了壇子里大俠都在高談凸輪，小菜鳥也想附庸風雅一下，找了《自動機械的凸輪機構設計》和《自動機械機構學[1].[日]牧野 洋》想從零開始。沒想到看到凸輪曲線的無因次化，就理解不了了。下面是無因次參數定義

- s! E/ Y: }# h2 p
對于等速運動用運動學基本公式，可以推出


但是對于等加速度運動的描述
" y- d% `9 W% ~' g
卻死活推不出S=2T^2,只能推出A=V  。是我方法不對還是怎么回事，請大嬸不吝指教。
4 n- `- B$ }, a' u" b- F& K這還只是基本曲線都搞不定，后面還怎么進行下去啊。苦思一天了。

luxiang821

海鵬.G 發表于 2014-11-17 16:27
) [; S! H& j0 F無因次化，也叫無量綱化。其實就是個偏微分過程，《CAMS DESIGH HANDBOOK》論述的細一些

5 {" M8 u  g7 P: M. N大俠，你在論壇上分享過這本書，我也下載了，英文太差，所以先看的中文的凸輪書籍，捧佛腳也來不及了
0 h  J9 }+ T/ l大俠能否指點一二啊，偏微分也得有微分方程不是，我發現書上都是先有的S函數然后有V、A、J
由S函數對T求導，得出V、A、J，很好理解，問題是S函數怎么來的呢，拿我舉例，等加速度運動規律的S函數是怎么來的呢？
* b0 s2 [( a# B, Y- Y1 f還請大俠幫忙解惑？

米fans

luxiang821 發表于 2014-11-17 16:45
  Q, R) E2 e  x5 A$ c; |' t1 S5 @大俠，你在論壇上分享過這本書，我也下載了，英文太差，所以先看的中文的凸輪書籍，捧佛腳也來不及了
  {$ ^! c) B5 N, ]大 ...

, X8 _1 B: @: G' Z* T- O# [我建議大蝦還是先從數學看起吧。一切原因都得從數學的角度來思考。說白了，就是用數學思維去理解就好了。看完數學，再來理解這些公式，你就會有一種茅塞頓開的感覺。以前上學哪會，看老師寫得滿滿的公式，天書一樣。后來陪同學一起考研，把數學又研究了一下，再看這些曲線方程，一下子就明白了。
- Z/ i. b% y! f6 n. w7 a6 h

luxiang821

按hoot6335 大俠的說法，是先有的V、A、J要求才推出的S函數，順序和我理解的是反的。
那還請教hoot6335 大俠，A=4又是怎么來的呢？而且是最小，為什么不能有A=2或者A=3
或許我的問題太小白了，剛開始自學凸輪理論知識，還請大俠指教！@hoot6335   

hoot6335

luxiang821 發表于 2014-11-18 11:06
按hoot6335 大俠的說法，是先有的V、A、J要求才推出的S函數，順序和我理解的是反的。
那還請教hoot6335 大 ...

大俠，關于理解順序的問題，說明如下：
1.對于設計一個凸輪機構來講，在沒有現成參考借鑒的情況下，到底“采用何種運動規律才更合適？”這是設計人員最終要解決的問題。
2.現有的幾大系列的運動規律主要是：多項式、三角函數以及拼接函數（其他曲線比較特殊不在討論之列）。
3.要解決以上三大系列的運動規律，都是有一定“套路”的——即都有現成的數學模型。
! H4 a9 i) J4 m4.明白了以上3點，那么現在就可以理解我講的“先有V\A，再有S”的目的——對于某一設計實例，要先分析該設備對凸輪有哪些要求：除了基本的A連續外，需要對V有控制嗎？此外，有沒必要J也需要連續？等等一系列問題。設計時把這些問題都搞清了之后，畫出加速度A的草圖，并根據草圖把加速度A的“數學表達式”——即模型寫出來。最后，根據“A的數學表達式”，對時間T求積分，推導出S曲線。
5.關于”理解順序“的問題，可能并不是大俠關心的主要問題，俺說這么多就夠了。

回到本貼，大俠困惑的實際上就是”等加速等減速“曲線的推導。主要思路如下：
1.”等加速等減速“的實質是——其S曲線是2次多項式。明白了這點就可以直接寫出S的數學表達式，而不再需要根據A來倒推。
3 K8 h9 D9 f3 y3 R2.”2次多項式“的通用表達式為：s=C0+C1*δ+C2*δ^2
3.對s(t)分別求一次導數，二次導數，可以推出:
                                           v=C1*W+2*C2*W*δ
                                           a=2*C2*w^2
7 G' b& o. A: z4 t" s0 E" O4.已知邊界條件(前提假設：加速段與減速段各占整個行程的1/2。當然也可以不是1/2。)：
* D% v, S. k# U  d                       加速段邊界條件：
  A9 c  T2 w& U5 ~! B                            在起始點     δ=0，s=0,v=0
  q7 {' Z/ B  f0 D& ]% y0 M                            在終點        δ=δ0/2，s=h/2
                        減速段邊界條件：
2 E# F/ F# @8 @                             在起始點     δ=δ0/2，s=h/2
                             在終點        δ=δ0，s=h，v=0

! |6 n9 @3 v! Z9 @5.把4代入2和3，可以求出各段的C0、C1、C2的值
; S8 P) X2 ~- m% ]& M0 B" Y1 E6.所以，”等加速等減速“曲線的完整方程是分段函數：
* C% i6 J  v6 `( ^; ~                        加速段：
                             s=2*h*(δ/δ0)^2
                             v=4*h*w*δ/δ0^2
                             a=4*h*(w/δ0)^2
                        減速段：
% a0 X$ _3 i0 k8 {; x0 W                              s=h(1-2*((δ0-δ)/δ0)^2)
' w/ h$ ?, X2 D+ M" e1 y( F                             v=4*h*w*(δ0-δ)/δ0^2
                             a=-4*h*(w/δ0)^2      
# Y$ [6 |+ |, v& c7.注意，以上都是有量綱的公式，下面開始無量綱化。
+ @3 O9 [. b# m& Q8.定義無量綱 ，注：大寫字母為無量綱，小寫字母為有量綱。th：整個位移S升程h所用的時間，
4 `) @0 E0 {% f: D                        T=t/th   
                        S=s/h   
9.在6 的有量綱公式S的表達式中 ，我們發現，”δ/δ0“表示了”凸輪的轉角δ與整個推程區間角δ0的比例關系“ ;
   另已方面，在8的無量綱公式中， ”t/th“表示了””凸輪的轉過δ角的時間t與整個推程時間th的比例關系“ ;
! a) |( P1 q/ Q4 e   而這兩者是等價的，所有我們用無量T直接代入6的有量綱公式S的表達式中，取代”δ/δ0“，進行對S的無量綱化。
10.根據9的思路，同時把8中的無量綱S轉化為s=S*h，代入6的有量綱公式S的表達式中，可以得到S的無量綱方程為：
                     加速度段：
                              S*h=2*h*T^2
      (兩邊約去h)→  S=2*T^2          ——即S的無量綱方程
11.對S(T)分別求一次、二次導數，即可得：
4 g! h9 e2 h, B- Y                             無量綱 V=4*T
                             無量綱 A=4
12.推導完成。以上只演示了在”加速度段“的無量綱化的過程，即LZ大俠附件圖片中的 0≤T≤0.5區間段。
5 a( c- i1 a. W. T     全手打，寫公式累， 至于在0.5≤T≤1區間段，LZ可按如上思路自推導。
13.注：需要說明的是，本貼”等加速等減速“的假設前提是：加/減速段各占1/2，即所謂的對稱。
     若不對稱呢？當0≤T≤2/3，2/3≤T≤1時，該”等加速等減速“的A是否還是A=4呢。有興趣的可自行驗證，就當練手好了。
14.LZ大俠的另一個問題，”為什么不能A=2或3？“。要講請這個問題，就要擴展往下講”曲線的優化“的問題了。
     以上純屬個人理解，若有不對之處，望海涵。
3 X  V% O* O2 Y( Z( [6 a: `                           
                           

0 w2 g0 q  o3 K# J; f: K3 G4 L" D            
8 b: P6 O# Y% U2 l

luxiang821

hoot6335 發表于 2014-11-18 13:32
! E/ C* x7 o) \4 G1 R大俠，關于理解順序的問題，說明如下：
! Q1 E  L( t0 z1.對于設計一個凸輪機構來講，在沒有現成參考借鑒的情況下，到 ...

9 q6 i8 r' x/ x7 P+ r- n$ u非常感謝hoot6335大俠這么有耐心、辛苦碼字！
經大俠細致解答我總算明白了，無因次方程的內在關系。
米fans大俠說的對，用二項式表達曲線方程確實是數學方面比較基礎的東西。
看來我真得惡補一下相關數學知識，尤其我看書喜歡刨根問底，到了強迫的程度，不懂得不求甚解
! `6 T+ F9 y2 ~+ K4 U" Q, n遇到阻力就進行不下去了。之前看《機構設計--分析綜合》里，關于凸輪運動規律的推導也是用
$ f; }5 b, t8 V! p角度，沒有仔細推敲和時間的聯系。經大俠這么一說茅塞頓開啊。再次感謝！

米fans

米fans 發表于 2014-11-17 20:53
2 `- N3 e) Y7 g我建議大蝦還是先從數學看起吧。一切原因都得從數學的角度來思考。說白了，就是用數學思維去理解就好了。 ...

相互學習哈。 我覺得你第一步應該把高等數學仔細的看一遍，個人覺得很有必要。應該占不了多久。然后回過頭來想想剛體的運動過程中，如何減小沖擊（函數的連續光滑可導性等若干問題），慣量以及的問題。還有就是力學分析（比如尖端從動件受力分析時，會用到瞬心定理（這個你得明白吧，最基礎的東西）。還有高速六次七次曲線、組合曲線，讓你來設計，你會怎么做？怎樣去優化，才能讓運動更穩定，壽命更高。回過頭去看看高等數學和大學物理吧，真的很有必要，磨刀不誤砍柴工。