如果不是數學狂熱分子，建議你別搞測度論

zerowing · 發表于 2014-7-8 23:36:42

crazypeanut 發表于 2014-7-8 15:05 9 a. `4 L# ` v6 B
“比如，［1,10]的線段，可以分為[1,5]和[5,10]兩個線段子集嗎？”
; v( j2 L+ {2 g1 N1 |- o
: b: y! n5 Q9 O8 S7 \8 ~5 S% \( o可以，可測集的線性可加性質

呵呵，大俠，我希望你仔細看下這個問題。這個問題不是探討是否可加，而是探討所謂的定義。
你轉的文章里有這樣的一個性質：

若干個（但是至多可數無窮個）彼此不相交的子集，它們并在一起得到的子集的測度，剛好等于這些子集各自測度之和。

請注意這個彼此不相交子集的概念。如果要求的是彼此不相交，那[1,10]就肯定不能寫成[1,5]和[5,10]兩段，不是嗎？因為子集相交了。這個不用再去看什么書去論證，因為我們只是在說集合問題。
同樣的，當我們說[5,10]去掉一個端點5，于是變成了(5,10]。那么，無論他是否影響測度（其實俺不敢茍同不影響說，因為只從數學角度說沒問題，但是延伸到一個整體世界角度就很難講了，后面說），無論是否影響測度，都不代表說(5,10]可以表示一個線段。換句話說，（5，10] 和[5,10]的測度相同，但不應該是一樣的東西。如果這么說沒問題，那么問題就來了，按照這樣的測度定義，那么一條線段就不該是若干條線段的疊加，雖然在測度上相等，但是組成新線段的各個部分并非都是線段。沒錯，這樣說，數學上沒有問題，只是無論是哲學家還是工程師都要頭疼了。哈哈。
于是，再說說那個延伸到整體世界角度的問題。舉個例子，大俠買了一量蘭博停在門口。這是起始時間點，然后你開出去，轉一圈又停回到和原先完全相同的位置，這是終止時間點。這個過程相當于這量車在四維空間中的一個變化。那么問題就來了，如果我拿掉最后一個時間點，會發生什么。其結果就是終態不可確定。那么也就是說這量蘭博在最后那個時間點的變化可能是任意的，它既可能延續之前的狀態（比如行使了1000米）成為一個終態（1000米），也可能跳躍回初態（0米）。這就是幾乎所有幻想家所暢想的一個折疊現象。將路徑折疊，初點和終點重疊而去掉終點，那么就能做到超時空旅行。但這可能嗎？而如果存在這個終點，也就是有一個必然的結果，那么就一定存在初、終差異，就不可能實現所謂的超時空穿行。我們不討論到底能不能超時空，能不能折疊，但至少通過這樣的例子我們很清楚有沒有這個點是完全不同的，而且其測度（或者應該換一種叫法，叫量度？）是不同的。

再回到所謂的維度上。
我們先不討論說線段是不是由點組成，我們既不討論其連續性，也不討論其測度。我們換一種說法，如果存在一個線段，那么我一定能在這個線段上找到點，無論能找到多少個，但我一定能找到。因此說，點和線段之間至少構成一個必要條件關系，也就是說，存在一個線段，就一定存在線段上的點。至于是不是線段上的點的組合構成了這個線段，從測度上說不是，我也不認同它是。所以才要在那句“線段由低維度的點組成”后面加上一個限制“并不是說線段上該有多少個點”。
另外，大俠說到了可數集和連續統的區別，也因此說線段不能說成由點組成。那么存在這樣一個問題又。（當然，俺數學一般，如果有錯，大俠指出）因為高維度可以解釋為低維度的笛卡爾積，而笛卡爾積是兩個集合的積，確切的說是兩個集合中的各個元素的積的集合。那么，如果這兩個集合不是可數集，而是連續統，即不可數集，你該如何求積呢？之前在跟P大討論無限小數的時候也討論過這個問題，兩個無限位的數能否四則運算。哈哈。那么這里的問題恐怕比那個還要復雜。換句話說，如果兩個連續統沒辦法求積，那么該如何表達高維度的特征呢？當然，我們只是探討，不能論證這種觀點的正確性。
另外，也說一句，如果高維度都是一維勒式測度的笛卡爾積，那么從0維到1維的過程該如何解釋？畢竟點是沒有維度的。

房頂 · 發表于 2014-7-9 08:59:11

文筆生動有趣，但看得真心頭大

crazypeanut · 發表于 2014-7-9 10:25:48

zerowing 發表于 2014-7-8 23:36
# h1 ~3 d. q+ E* Q呵呵，大俠，我希望你仔細看下這個問題。這個問題不是探討是否可加，而是探討所謂的定義。
: `/ b5 o: h/ [1 M9 N% l7 j你轉的文章里 ...

首先回答第一個問題，可以在測度論的教科書上找到

數學上集合彼此不相交，可以允許兩種情況，1是交集是空集，2是交集是可數集，測度為0，都屬于彼此不相交；也就是說，2個集合求交集后得到的集合，只要測度為0，就是不相交，哪怕這個交集是可數無窮集合

然后第二問題

為了簡化敘述，我假設自己開車，從0開到100，也就是形成一個閉集[0,100]；現在你的想法是把100這個點挖掉，構成一個開集[0,100)，因為最后100那個點不存在，所以你認為整個運動也不存在？？其實可以這么說，極限想必都學過，開集[0,100)，雖然在100那個點沒有定義了，但是可以把他視作一個極限。

我們來構造一個函數，你就能想明白一個問題，我們構造函數f(x):，當x=2時，y不存在，當x不等于2之外的所有實數時，y=x；現在我們來考慮，當x從0不斷趨近與2時，y=f(x)的最終趨勢？？，雖然x=2時，y是不存在的，但是你畫個圖就明白了，x不斷向2趨近時，y是不斷向2趨近的，這和y在x=2這個點上沒有定義沒有任何關系。那么我們回過頭來看，在開集[0,100)上開車，雖然100無法到達，但是可以無限趨近100，其最終趨勢依然是100，我開車總距離也終有一天可以到達100（雖然其花費時間為無窮，因為100這點沒有定義，不可到達），這就是為什么，一個閉集，挖掉端點上的單點，形成一個開集后，不影響集合測度。

最后是第三個問題

首先強調一點，數學上沒有0維，所以沒有1維是0維通過笛卡爾積升級過來的說法

然后，關于線段和點的關系，務必要拋棄“線段是由點構成”這個想法，線段和點是2個獨立的元素，但是線段上可以找到無窮多個點，除此之外，再無任何關系，切記這個。

“因為高維度可以解釋為低維度的笛卡爾積，而笛卡爾積是兩個集合的積，確切的說是兩個集合中的各個元素的積的集合。那么，如果這兩個集合不是可數集，而是連續統，即不可數集，你該如何求積呢？”

要回答這個問題，首先給出測度的嚴格定義，看不懂沒關系，我會用最通俗的語言來解釋

設Γ是集合X上一σ代數，ρ ：Γ →R∪{ +∽ }是一集合函數，且ρ滿足：
（1）（非負性）對任意的A∈Γ，有ρ(A)≧0;
（2）（規范性）ρ(Φ) = 0；
（3）（完全可加性）對任意的一列兩兩不交集合A1，A2，……，An，……有ρ(∪n An)=∑n ρ（An）
則稱ρ是定義在X上的一個測度，Γ中的集合是可測集，不在Γ中的集合是不可測集。

所以呢，測度其實就是一個函數，自變量是一個集合，因變量是一個實數，至于這個函數的運算法則，不同的運算法則對應著不同的測度；用我們常識所形成的法則，得到線段（集合）的一個度量的實數，我們稱為勒貝格測度

我來詳細解釋，如何從1維勒貝格測度來形成2維勒貝格測度

定義集合A(0,1)，定義集合B(0,2)，（這里先取開集，其實換成閉集是一樣的），也就是，A是0到1的線段，B是0到2的線段，記他們的勒貝格測度為L(A)=1，L(B)=2
好，現在我們作集合A和B的笛卡爾積AxB={(0,0),(0,2),(1,0),(1,2)}，有沒有發現什么？？這是長方形的4個端點坐標，長為1，寬度為2
然后，關于勒貝格測度，有一個定理，證明略麻煩，想詳細了解的話，請自行翻書吧，這里就不加證明的給出了：
L(AxB)=L(A)L(B)=1*2=2，這恰恰是通過AB兩個集合作笛卡爾積獲得的長方形的面積，所以，2維測度是面積，是通過1維測度升級而來的，依次可推算3維甚至抽象的更高維，都可以求得相應測度

zerowing · 發表于 2014-7-9 13:58:28

crazypeanut 發表于 2014-7-9 10:25
J( [! E- J% a/ \首先回答第一個問題，可以在測度論的教科書上找到6 a% v4 f. c# t$ K7 J5 _1 i
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數學上集合彼此不相交，可以允許兩種情況，1是交集是 ...

1。呵呵，大俠數學玩得挺好。如果測度的相交定義不同于一般集合的相交定義，那么俺就可以接受和理解這個定義。同樣的，第二個問題也可能不是問題。
2。說說第三個問題。首先來說，數學和物理學中，是存在0維的。而0維對應的是點。這個不是俺亂說的。
在 "Curious About Astronomy". 一文中提到了數學上的一個定義，如下：
"The dimension of a manifold is the minimum integer number of co-ordinates necessary to identify each point in that manifold."
翻譯過來就是：一個描述體的緯度就是用以描述該體的最小坐標數的整數值。
因此來說，描述一個點，我們需要的最小坐標數為0，所以，點是0維的。
當然，這也可以解釋為什么點的測度為0。（笑）
關于線段和點的關系，俺認為俺已經解釋的很清楚了，也并不與大俠存在分歧。所以，如果你一定要強調的話，俺有些不解。哈哈。
至于說到笛卡爾積的問題。我想大俠應該是誤解我的問題了。
我在描述的時候，描述的是笛卡爾積的本質問題，也就是兩個集合求積，實際上就是求兩個集合中各元素的積，將得到的所有結果形成一個新的集合。這個描述是沒有問題的。而這個描述并不否定你可以按照邊界法計算。或者換句話說，對于任意一個可知的確切元素，你都可以求積。你也可以通過邊界求積法得到一個新的范圍。這都不是我要問的問題。我的問題是你如何確定這個計算可運算性。當然，這也涉及到我很P大爭論范疇，無限小數的四則運算性。呵呵，至今無果。比如說，兩個集合A,B。A=[a,b]，B=[c,d]。而a,b,c,d均為無限不循環小數，且不能用類似pi,e，等形式表示，那么你該如何計算這樣的兩個集合的積。這就是問題。當然，我不確定這樣的無限小數是否存在，比如這樣的一個小數,0.1121112111121111112......
至少來說，通過跟P大的討論，對于有理數范疇的無限小數，無論是可直接四則也好，還是間接四則也好，其可運算。但對于無理數范疇，就撲朔迷離了。那么，對于這樣的情況，其笛卡爾積是什么？
于是，再回到那個維度的問題上。
前面我已經給出了關于維度數的定義，說明了點是0維的。那么從點到線或者說從0維到1維的積又是什么？或者說，如何從0到1？或者說，如果不存在從0到1，那么離散論又該如何解釋？最接近的一個例子就是粒子的散射范圍問題。每一次經過原子核的粒子都會形成一個隨機的新路徑打到接收面上，換句話說，不存在連續性，但最終形成的是一個面。再有的例子就是概率。比如一個正態函數，其描述的也是一個離散的成型例子。

crazypeanut · 發表于 2014-7-9 16:12:23

打錯，占樓編輯掉

crazypeanut · 發表于 2014-7-9 16:13:03

zerowing 發表于 2014-7-9 13:58
; V2 K( a" `) `3 u; b, x2 F) f u1。呵呵，大俠數學玩得挺好。如果測度的相交定義不同于一般集合的相交定義，那么俺就可以接受和理解這個定 ...

0維，數學上是很麻煩的東西啦，在集合論上對應的是空集，而空集和空集自身求笛卡爾積，數學上是沒意義的，所以一般都是避開討論0維。（逃避主義，笑）

其實數學上有很多逃避主義（繼續笑，真的很多），比如有個概念叫做幾乎處處(almost everywhere)，他是說，若一個命題被稱為幾乎處處成立的，如果把這個命題不能成立的點全部抽出來，構成一個集合，而這個集合的測度是0。這個概念的想法是，測度為0的集合對一個命題整體沒有任何貢獻，所以我們可以把那些不能成立的點逐個挖出來去掉不考慮。（鴕鳥政策，當初我學到這個概念時候笑了老半天）

舉個例子吧，黎曼積分（我們大學里學的最普通的定積分，就是黎曼積分），一個函數是黎曼積分可積的，則其充要條件為該函數在其定義域上是幾乎處處連續的。再舉個例子，級數有種收斂形式叫做幾乎處處收斂，相比你知道這是怎么回事了。（幾乎處處這個概念真的很好笑）

接著來談談笛卡爾積的可計算性

先說可數集，可數集的元素可以一個一個抽出來逐個排列，2個可數集求笛卡爾積容易理解，很直觀，就不多說了
關鍵在于，2個不可數集，就是連續統，求笛卡爾積，老實說，這個運算，在數學上是有爭議的。
之前說過，不可將連續統視為由單點構成，但是笛卡爾積，卻要求逐個點抽出構成有序對，這不是矛盾嘛？？解決辦法就是，選擇公理，而選擇公理，在數學上存在爭議。于是乎，數學就是這么個麻煩的東西，最簡單的笛卡爾積運算，都有爭議，所以，不是狂熱者，別取深究了。

關于無窮小數的問題，其實是這么回事，首先可以嚴格證明，無理數的存在性；其次，數學上有很多這樣的情況，一個東西存在，卻沒有有效的表示手段，比如大量的特殊函數，都無法用我們熟知的式子寫出其表達式，只能規定一個符號，告知這個符號就是這個函數；無理數是同樣情況，因為無理數，要將其完完全全的表達出來，不存在這樣的東西，所以，只能用小數去逼近，所以，無理數求積運算，我們也只能用小數來近似表示。

最后要糾正你兩個錯誤
1是粒子散射問題，忽略粒子波粒二象性的話，最后得到的點集，他是有理數集，而有理數集是可數集，測度為0，其對整個平面的貢獻可以忽略，不可將其視為一個平面。雖說你直觀上認為點集布滿了平面，但是從數學上講，其實平面上有很多縫隙，這些縫隙構成了無理數集，而無理數集是不可數集，其集合中的點的“數目”要比有理數集的點多的多。
2就是正態分布，他是連續型隨機分布，其樣本空間是定義在一個不可數集，也就是連續統上的，數學上不研究其離散性質，因對連續統來說單點測度為0，故對于連續型隨機分布，取單點的概率永遠為0，沒有研究的價值。

zerowing · 發表于 2014-7-9 23:59:56

呵呵，感謝大俠如此大量文字的回復。
其實說道逃避主義或者鴕鳥主義，只要是以數學為基出的學科都存在這樣的問題。理論物理學中也遍地都是。對不能滿足其歸納的，就干脆排出掉。也算是一種果斷的手法吧。相比之下，哲學和試驗物理學就是反面。所以，歐洲的那幫子瘋子們才撞出了一大堆亞粒子，裝出一個質量場論出來。
數學上的爭議，說實話有時看著就像小孩吵架，窮折騰。但是吵吧，當樂子了解好了。真去叫真，就真的什么都干不了了。
關于粒子散射問題，只用這種空隙論怕是不能解釋。換句話說，數學上可以說我去掉端點點，測度不變。換句話說邊界點是有限可數的。（其實這里很想問，一個正方形的邊界是連續統笛卡爾積得到的，道理上說，如果低維的端點如果可以做為了0測度拿掉，那么最后得到的高維的正方形邊沿究竟是一個連續統還是可數集？如果說是可數集，但畢竟事實上他也是線段，這不就又矛盾了？如果是連續統，那么(1,2)*(2，3)得到的應該是(2,6)還是[2,6]？）我們先不說這個，還是先說粒子散射。如果我們認為粒子散射的邊界是一個可數集，那么所有解釋都可以說得通，因為邊界以內和邊界以外不連續，或者說不相交。但如果邊界是不可數集，那就代表著粒子不能完全覆蓋邊界，間隙同外側相連，就成了相交或連續。換句話說，邊界就模糊了。。。。。
我得說，我頭大了。

zdd5254 · 發表于 2014-7-10 10:02:30

樓主見解獨特

Pascal · 發表于 2014-7-10 21:50:23

crazypeanut大俠，首先謝謝你專業的講解。
我的問題---為什么不能認為線段是由點構成的呢？這樣認為有什么不好么？
比如說拿一把刀去砍一個線段，姑且把這把刀叫做戴德金刀，刀每次都會砍中一點，也只能砍中一點。所以我認為線段是由點構成的。
你看看哪里不對？

crazypeanut · 發表于 2014-7-10 22:09:24

Pascal 發表于 2014-7-10 21:50 - Y* }3 L' _4 n( l6 Y8 d3 j
crazypeanut大俠，首先謝謝你專業的講解。& _; H, w0 J" u6 A" R/ }
我的問題---為什么不能認為線段是由點構成的呢？這樣認為有什么 ...

這樣會形成靜矢不動的悖論，將點和線段嚴格區分開來是數學上回避悖論的一種有效手段

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如果不是數學狂熱分子，建議你別搞測度論

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