如果不是數(shù)學(xué)狂熱分子，建議你別搞測(cè)度論

zerowing

看完通篇也是一項(xiàng)龐大的工程。不過感覺整篇描述的“測(cè)度”是一個(gè)如何把連續(xù)和離散統(tǒng)一起來的方法。
里面的有些敘述很生動(dòng)，但是不太嚴(yán)謹(jǐn)。比如4.22的由來那段。俺只能理解連續(xù)封閉子集的和，而如果這些子集不封閉，那也不該有4.22，即便是在直線上截取的。或者，換句話說，開子集不可測(cè)。而線段一定不是開子集。好吧，又成繞口令了。
) d8 ~- c. H7 r: ^# @* e- t搞數(shù)學(xué)的最后果然都是會(huì)瘋的

zerowing

說點(diǎn)疑惑。感覺這種測(cè)度論其實(shí)變相的避開了解釋如何從點(diǎn)到線的解釋。所以，我能理解哲學(xué)家對(duì)此的不滿。（笑）
比如我前面說的子集問題。
+ L9 ]; q! ~" }  _) b& o/ N一條線段真的能分成若干可相加的子集嗎？比如，［1,10]的線段，可以分為[1,5]和[5,10]兩個(gè)線段子集嗎？那么這兩個(gè)子集是相交的，不是嗎？因?yàn)槎即嬖?這個(gè)點(diǎn)。而如何寫成[1,5]和(5,10]，那就表示的不是兩條線段，因?yàn)楹竺孢@個(gè)子集缺少了一個(gè)端點(diǎn)。那么這種情況，貌似這種測(cè)度的定義就變得不那么完善了又。
% y. x- J0 v+ ~8 S所以，從這方面講，我并不喜歡這種數(shù)學(xué)上的定義。我可以理解任意一個(gè)高維度空間都可以表現(xiàn)低維度空間的特征，比如三維中表現(xiàn)一維的線段長(zhǎng)，表現(xiàn)二維的面積；但你絕對(duì)不可能在一維中表現(xiàn)出體積和面積。這不僅僅是尺度問題。我更傾向于低維度特征是用以表現(xiàn)高維度特征的參考位這種說法。詳細(xì)的說，低維度特征無論在哪都只表現(xiàn)其自身的特征，而高維度的特征只是借助低維度的特征作為一個(gè)參考位進(jìn)而表現(xiàn)高維度的特征。
因此，你可以在三維中，以表現(xiàn)面積特征的面作為參考位表現(xiàn)出兩個(gè)面參考位之間的度量特征，這個(gè)特征就是體。這跟面有沒有體積特征沒有任何關(guān)系，他只是一個(gè)位，如果表達(dá)成數(shù)學(xué)，就是[a,b]。面特征的參考位相當(dāng)于a,b位點(diǎn)，而體積特征描述的是a,b之間的所有集合加成，無論是開集合還是閉集合。它并不在乎你有多少個(gè)重復(fù)位，有多少個(gè)離散點(diǎn)，它只在乎a和b之間的相對(duì)位置。

zerowing

換句話說，比如從點(diǎn)到線段，線段游低維度的點(diǎn)組成，但不是說線段上該有多少個(gè)點(diǎn)，線段特征表達(dá)只是在描述任意兩個(gè)以點(diǎn)為參考位的相對(duì)特征。所以，這之間有多少點(diǎn)，多少重復(fù)都無所謂，無所謂點(diǎn)之間如何排列組合，無所謂連續(xù)離散。因?yàn)樘卣鞅硎霾煌?br /> ; I/ I3 p0 ~) c3 e3 C  l當(dāng)然，這樣的說法有點(diǎn)類似所謂的尺度論。

獨(dú)自莫憑欄

zero有點(diǎn)上癮了

阿難和松山

我了個(gè)去！！

crazypeanut

zerowing 發(fā)表于 2014-7-8 14:21
說點(diǎn)疑惑。感覺這種測(cè)度論其實(shí)變相的避開了解釋如何從點(diǎn)到線的解釋。所以，我能理解哲學(xué)家對(duì)此的不滿。（笑 ...

“比如，［1,10]的線段，可以分為[1,5]和[5,10]兩個(gè)線段子集嗎？”

% {3 J1 C2 K' R1 A! t可以，可測(cè)集的線性可加性質(zhì)

) }9 V' H' V: a' ^5 n9 F( g“而如何寫成[1,5]和(5,10]”

一個(gè)閉集，一個(gè)開集，找本數(shù)學(xué)分析書來看，都有嚴(yán)格定義，順便說句(5，10]，[5,10]的勒貝格測(cè)度都是5，去掉單點(diǎn)是不影響一個(gè)連續(xù)統(tǒng)的測(cè)度的

關(guān)于高維測(cè)度，其實(shí)高維測(cè)度可視為一維勒貝格測(cè)度的笛卡爾積

6 ^+ V1 T6 v, l# H0 \  b& y; ?“比如從點(diǎn)到線段，線段游低維度的點(diǎn)組成”

* |$ M! Q0 ^3 x7 i這句話是錯(cuò)的，點(diǎn)是可數(shù)集，線段是連續(xù)統(tǒng)，有本質(zhì)的區(qū)別，不能將線段視為由點(diǎn)組成的。可以這么說，單個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的集合，測(cè)度一定是0，而線段，你可以將他視為，測(cè)度不為0的可測(cè)集的最小單位
4 L5 O4 _! Z- ~. G

の小南灬

pacelife

很有收獲，希望樓主多發(fā)類似的文章

1032220424

太能研究了，看暈了
7 W& ^! _% t4 X' b

zerowing

crazypeanut 發(fā)表于 2014-7-8 15:05
“比如，［1,10]的線段，可以分為[1,5]和[5,10]兩個(gè)線段子集嗎？”

9 }! O9 z$ }4 D9 H- d/ C5 E5 y可以，可測(cè)集的線性可加性質(zhì)

0 o" w( ^, T9 d- M$ V" ]# `: n呵呵，大俠，我希望你仔細(xì)看下這個(gè)問題。這個(gè)問題不是探討是否可加，而是探討所謂的定義。
: e% u& c% O3 L! Y, d# C你轉(zhuǎn)的文章里有這樣的一個(gè)性質(zhì)：

若干個(gè)（但是至多可數(shù)無窮個(gè)）彼此不相交的子集，它們并在一起得到的子集的測(cè)度，剛好等于這些子集各自測(cè)度之和。

7 k2 O; B9 {* c/ ]7 n/ V請(qǐng)注意這個(gè)彼此不相交子集的概念。如果要求的是彼此不相交，那[1,10]就肯定不能寫成[1,5]和[5,10]兩段，不是嗎？因?yàn)樽蛹嘟涣恕＿@個(gè)不用再去看什么書去論證，因?yàn)槲覀冎皇窃谡f集合問題。
同樣的，當(dāng)我們說[5,10]去掉一個(gè)端點(diǎn)5，于是變成了(5,10]。那么，無論他是否影響測(cè)度（其實(shí)俺不敢茍同不影響說，因?yàn)橹粡臄?shù)學(xué)角度說沒問題，但是延伸到一個(gè)整體世界角度就很難講了，后面說），無論是否影響測(cè)度，都不代表說(5,10]可以表示一個(gè)線段。換句話說，（5，10] 和[5,10]的測(cè)度相同，但不應(yīng)該是一樣的東西。如果這么說沒問題，那么問題就來了，按照這樣的測(cè)度定義，那么一條線段就不該是若干條線段的疊加，雖然在測(cè)度上相等，但是組成新線段的各個(gè)部分并非都是線段。沒錯(cuò)，這樣說，數(shù)學(xué)上沒有問題，只是無論是哲學(xué)家還是工程師都要頭疼了。哈哈。
' S# j* R0 d! {: ~; ?于是，再說說那個(gè)延伸到整體世界角度的問題。舉個(gè)例子，大俠買了一量蘭博停在門口。這是起始時(shí)間點(diǎn)，然后你開出去，轉(zhuǎn)一圈又停回到和原先完全相同的位置，這是終止時(shí)間點(diǎn)。這個(gè)過程相當(dāng)于這量車在四維空間中的一個(gè)變化。那么問題就來了，如果我拿掉最后一個(gè)時(shí)間點(diǎn)，會(huì)發(fā)生什么。其結(jié)果就是終態(tài)不可確定。那么也就是說這量蘭博在最后那個(gè)時(shí)間點(diǎn)的變化可能是任意的，它既可能延續(xù)之前的狀態(tài)（比如行使了1000米）成為一個(gè)終態(tài)（1000米），也可能跳躍回初態(tài)（0米）。這就是幾乎所有幻想家所暢想的一個(gè)折疊現(xiàn)象。將路徑折疊，初點(diǎn)和終點(diǎn)重疊而去掉終點(diǎn)，那么就能做到超時(shí)空旅行。但這可能嗎？而如果存在這個(gè)終點(diǎn)，也就是有一個(gè)必然的結(jié)果，那么就一定存在初、終差異，就不可能實(shí)現(xiàn)所謂的超時(shí)空穿行。我們不討論到底能不能超時(shí)空，能不能折疊，但至少通過這樣的例子我們很清楚有沒有這個(gè)點(diǎn)是完全不同的，而且其測(cè)度（或者應(yīng)該換一種叫法，叫量度？）是不同的。
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% l" r' P' [! l! m  Y0 c+ ]% B# \再回到所謂的維度上。
/ V- E7 u: L7 p7 R; I4 c  I我們先不討論說線段是不是由點(diǎn)組成，我們既不討論其連續(xù)性，也不討論其測(cè)度。我們換一種說法，如果存在一個(gè)線段，那么我一定能在這個(gè)線段上找到點(diǎn)，無論能找到多少個(gè)，但我一定能找到。因此說，點(diǎn)和線段之間至少構(gòu)成一個(gè)必要條件關(guān)系，也就是說，存在一個(gè)線段，就一定存在線段上的點(diǎn)。至于是不是線段上的點(diǎn)的組合構(gòu)成了這個(gè)線段，從測(cè)度上說不是，我也不認(rèn)同它是。所以才要在那句“線段由低維度的點(diǎn)組成”后面加上一個(gè)限制“并不是說線段上該有多少個(gè)點(diǎn)”。
' J0 e, D$ M& P另外，大俠說到了可數(shù)集和連續(xù)統(tǒng)的區(qū)別，也因此說線段不能說成由點(diǎn)組成。那么存在這樣一個(gè)問題又。（當(dāng)然，俺數(shù)學(xué)一般，如果有錯(cuò)，大俠指出）因?yàn)楦呔S度可以解釋為低維度的笛卡爾積，而笛卡爾積是兩個(gè)集合的積，確切的說是兩個(gè)集合中的各個(gè)元素的積的集合。那么，如果這兩個(gè)集合不是可數(shù)集，而是連續(xù)統(tǒng)，即不可數(shù)集，你該如何求積呢？之前在跟P大討論無限小數(shù)的時(shí)候也討論過這個(gè)問題，兩個(gè)無限位的數(shù)能否四則運(yùn)算。哈哈。那么這里的問題恐怕比那個(gè)還要復(fù)雜。換句話說，如果兩個(gè)連續(xù)統(tǒng)沒辦法求積，那么該如何表達(dá)高維度的特征呢？當(dāng)然，我們只是探討，不能論證這種觀點(diǎn)的正確性。
: e7 \* a9 x% v# u! l# @5 {" y3 A另外，也說一句，如果高維度都是一維勒式測(cè)度的笛卡爾積，那么從0維到1維的過程該如何解釋？畢竟點(diǎn)是沒有維度的。