西學(xué)的代數(shù)作為思維工具的威力

逍遙處士

（這個一個很久以前寫的帖子。）

% h1 Z: A$ i  t8 E1 z$ C2 V/ R想象一個密閉容器內(nèi)儲存著很多空氣粒子，這粒子數(shù)量是如此的多，以至于你無法數(shù)的過來——它幾乎是無窮多的。現(xiàn)在讓你用一種方法，一下子描述這所有粒子的屬性，包括每個粒子的運(yùn)動速度、它的溫度，它的質(zhì)量等等。想象一下，這可能嗎？一下子將這兆億計(jì)的粒子的狀態(tài)都描述出來，這可能嗎？我們知道，即使是用思維想象跟蹤一個粒子的運(yùn)動就已經(jīng)很吃力了，要在腦中快速計(jì)算它的速度，和其它粒子碰撞后的運(yùn)動方向，等等等等，更何況那數(shù)以兆億計(jì)的粒子——也就是說，那幾乎是絕對不可能的事。
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2 T$ E1 A# k$ G$ ?9 F但是，如果你掌握了代數(shù)這個思維工具，上面的事情卻是可以做到的。
( u/ I/ v* V+ R. N- G- a& o
8 F7 T- N0 ~- I  w我們假設(shè)這個容器是四方的，以它的左下角為0點(diǎn)，建立起直角三維坐標(biāo)系，那么，這個容器內(nèi)的每一個點(diǎn)，都將具有一個坐標(biāo)：
+ l: ?% E0 j  k- V/ X. t
我們將不跟蹤單個粒子，而只著眼于固定的坐標(biāo)點(diǎn)。那么，在每一個固定的坐標(biāo)點(diǎn)處，都必將對應(yīng)著一個溫度數(shù)值，也就是：

很多人以為這不過是個表格，是個對照表，其實(shí)它的真正名字應(yīng)該叫“函數(shù)”，T是x,y,z三個參數(shù)的函數(shù)，用式子表示起來就是：

這是它的簡略形式。如果是詳細(xì)形式，很可能就類似于這種：

+ j+ {$ \  H2 |7 c( ^- l很多人都覺得這個式子很關(guān)鍵，覺得只有推導(dǎo)出了這種式子，才算完成了任務(wù)。但很多時候，這種式子是很難推導(dǎo)出來的。其實(shí)事實(shí)是，這個式子并不重要。我們只需要將上面那個表格，在坐標(biāo)系里表示出來，也是可以的。它差不多相當(dāng)于這樣：
. @- @5 V2 X$ T* d6 {. l7 r9 p6 `' r
這是個三維坐標(biāo)系，你捏住任何一個(x,y,z)坐標(biāo)值，比如(1,1,1)這個點(diǎn)，然后你將這個圖象放大，你就會發(fā)現(xiàn)在那個點(diǎn)上，有著一個數(shù)，也就是該點(diǎn)的溫度：
* |6 _: Z/ ]/ k, [9 U7 E
, _$ \1 f, z! a+ L( r- H2 a" h$ F無論你捏著什么坐標(biāo)，在那個坐標(biāo)點(diǎn)上，總能找到一個唯一的溫度值。這就是函數(shù)。
. n1 ]( T  t+ R8 V1 e6 m) ^) j
1 W$ V; }, J4 Y5 a. v再來看前面那個函數(shù)式：
) B, N4 _* l6 |6 i% H% e) Q, j
3 c0 B4 `) b2 [. U  M1 T它其實(shí)處于次要位置，但它卻有運(yùn)算的功能。有了這個式子，你就可以利用起所有的代數(shù)方法，來研究這個密閉容器內(nèi)的氣體性質(zhì)。比如什么溫度梯度啊，全部點(diǎn)的不同密度啊，全部點(diǎn)的不同速度啊，等等等等，微積分也從而大派用場。
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1 ?+ C3 S/ w# y8 D% I6 T& m你甚至可以描述炸彈爆炸后的溫度場，你可以用球面坐標(biāo)，用T表示溫度，用r,θ,Φ來表示球面坐標(biāo)點(diǎn)，寫下這個式子：
2 @. j" `% W+ @: H2 f
  D2 d/ K4 J1 N然后做很多實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)其中的物理規(guī)律，再用代數(shù)式描述出來，中間你會得到微分方程。然后通過解微分方程，最終你可能會得到T的完整表達(dá)式，就跟這種差不多：
（弄錯了，里面的參數(shù)應(yīng)該是r，θ，Φ，不過意思是一樣的……）
+ l) ]2 x$ h# u' ?于是你就知道了一個以炸彈爆炸點(diǎn)為球心的，一個球形空間內(nèi)的任意一點(diǎn)溫度的描述式。你只需將該點(diǎn)的坐標(biāo)值代入上面這個式子就行了。

/ z. C6 C; k, d/ |& k; u$ i你甚至可以用這么一個式子，用思維一下子先從總體上把握住整個地球體內(nèi)的每個點(diǎn)的溫度值，然后再慢慢研究。它的應(yīng)用是無限的。
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很多人很看輕思維工具的作用，認(rèn)為你想的再多，你理論再好……是吧。但是，你不妨想一想，想一個例子，比如原子彈；還有相對論，光線在經(jīng)過大星球時會偏轉(zhuǎn)，這簡直純粹是理性思維的成果。如果這兩個例子有點(diǎn)遠(yuǎn)，你也不妨設(shè)想一個簡單的機(jī)械結(jié)構(gòu)，比如三層圓筒過盈裝配在一起，它們的公差，這個論壇里面，不知道有幾人能夠標(biāo)出來。

angel1399793

數(shù)值分析
這是搞學(xué)術(shù)研究的基本方法。。。
6 k4 K+ i3 K- n+ g% T( S  W' |% l

逍遙處士

angel1399793 發(fā)表于 2014-6-3 14:36
( e9 c; |8 n. I: C3 Y- [數(shù)值分析
" v& `  v; U6 S9 \這是搞學(xué)術(shù)研究的基本方法。。。

8 c# c- T9 e2 b  F后生可畏！


; N/ V5 w1 \+ }, N. B: V: u; Y
0 p5 o" W: t) p不妨看看此圖，可以看作是油缸的中間一段，由3層缸筒嵌套，由于長度對此題影響不大，故略去。
假設(shè)都為同種材料，屈服點(diǎn)為σs=400MPa，。請給出三個圓管外徑公差，使本油缸承受內(nèi)壓達(dá)到最大。請注意，這個最大，指的是使缸筒任何一處剛剛達(dá)到σs即可，也就是安全系數(shù)s=1。等求出這個最大內(nèi)壓后，再取一個安全系數(shù)，才得出安全使用的壓力值。
% p) @/ x. E! K& m) K題目是一半實(shí)際一半理論，如果有不合理或自相矛盾的地方，及其它任何疑問，請?zhí)岢觥?font class="jammer">2 `, k& C# ~* ^2 [6 n
例如，問：為什么要這樣設(shè)計(jì)？
答：油缸不一定非要這么設(shè)計(jì)，這么設(shè)計(jì)的目地，一個是這種方法確實(shí)有增大承受內(nèi)壓的作用，再個是為了讓大家一起來研究。
問：實(shí)際有沒有這種例子？
答：有，聽說有兩層套筒的油缸，也有兩層套筒的炮筒。我們設(shè)為3層，是為了稍微增加點(diǎn)難度。其實(shí)還可以設(shè)為4層到10層，如果理論水平足夠的話。
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wozaicctv

這就是傳說的數(shù)學(xué)建模吧。

亂影l(fā)yy

+ _; _  V! J6 |& T( h3 ?+ h) g
我是新手，提問一下
內(nèi)徑標(biāo)了H6為什么還要標(biāo)+0.022/0？？
H6不是已經(jīng)表示出了公差帶的位置（H）和寬度（6，然后按內(nèi)徑尺寸一查表就是到寬度多少了）了么？
9 M" g! f  f" r% B" l0 ?4 N) r如果要作過盈，就照著書上的推薦選型找個就好了, m5什么的？

桂花暗香

貌似高深的理論，用趣味數(shù)學(xué)表達(dá)出來-----------科普！

syxplc

天天跟油缸打交道，還真是沒有接觸到類似的問題。學(xué)習(xí)一下了，觀望中

angel1399793

逍遙處士 發(fā)表于 2014-6-3 15:46
后生可畏！

1 k( [* Z) m+ c" J( V沒有手算，我就簡單說一下我的思路吧。
, P' J6 h% p) {
1 x" |7 z5 h5 p0 q/ a% n5 ^
因?yàn)槭蔷鶆虻膬?nèi)壓，故這個物理模型可以這樣建立：
5 b6 U& |5 \' _任一徑向截面處法應(yīng)力δF,δF由內(nèi)壓F/截面積δS求得，內(nèi)壓用微積分很容易算出，書上一大堆例題，截面積為鋼桶剖開后截面面積（如圖）
5 I9 r7 S% y2 T  d這樣利用胡可定律，可以很容易求得線應(yīng)變δl，這個應(yīng)變就可以用作為鋼桶直徑的實(shí)際變化量了，
$ @" p% c0 E) G9 x

0 N/ s& I) @6 H, K: f) |

SYZQ1991

最愛學(xué)術(shù)貼了

偉光

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