你了解幾何嗎——稀奇古怪的三角形

掃街

在紙上畫三角形，無論是怎樣畫，把三角形里面的3個角加起來，都會等于 180度 即使是畫100個、1000個，也絕對不會有一個例外。有誰不信，不妨動手畫上1萬個，再用量角器去量一量。　　那么，能不能找到一種三角形，它的內角和不等于180度 呢？
; M2 q9 {' P" F8 ^/ a0 ?$ o　　在200年前，如果有誰提出了這樣一個問題，準會有人對他嗤之以鼻："哼，這也用問，三角形的內角和等于180度，這是幾何書中的一個定理！"
5 E7 |- C1 [$ A' J) H' q: v8 o0 k　　定理就是經過邏輯推理證明是正確的數學結論。如果有誰不信"邪"，仍要問一聲："這個定理就一定那么可靠嗎？"那么，人們就會搬來經典著作《幾何原本》，翻開頭幾頁，指著"第5公設"對他說："瞧，這個定理的正確性可以由它來保證。"
0 H7 t7 A/ Z: [* F# K; q4 |1 F　　公設也就是公理，是一些最基本的數學結論，它們的正確性經過了實踐的反復證明，是不證自明的。不朽名著《幾何原本》中的全部定理，都建立在10個公理的基礎上。有誰敢懷疑"三角形的內角和等于180度 "這個定理，也就等于是懷疑第5公設有問題。如果連公理也有問題，豈不是所有的幾何定理都值得懷疑了嗎？
　　第5公設也就是"平行公理"，它的意思是："在平面內，過已知直線外的一個點，可以作而且只能作一條直線與已知直線相平行。"試試看，過直線外的一個點，你能作出第2條平行線來嗎？
4 e' t' {3 E5 R; o6 w& Q　　既然有第5公設作保證，三角形的內角和看來也就只好都等于180度 了。
　　不過，數學家們對這個"第5公設"是不大滿意的。這倒不是懷疑它有什么錯誤，而是覺得它不像其他的公理那樣一目了然，很像是一個定理，于是試圖用其他的9個公理把它證明出來，進而將它從公理的行列中趕出去。
$ n! I+ i$ N% m. Z6 j" Y' r6 N5 V　　《幾何原本》問世后的2000多年里，數學家傾注了無窮無盡的智慧，始終也未能證明出第5公設。雖然有不少人曾宣稱解決了這個問題，但一檢查就發現，他們不是證明過程有錯誤，就是用一個更不明顯的公理代替了第5公設。無可奈何之下，大數學家達朗貝爾稱它是"幾何學中的家丑"。
　　19世紀初，有個叫亞諾什·波里亞的匈牙利青年，決定獻身于第5公設的研究。他父親是個數學家，聽到這個消息給嚇壞了。盡管父子倆天天生活在一起，老波里亞為了鄭重其事，竟用筆給兒子寫了一封勸告信。
* q) x$ V- f7 _; P& `6 E　　波里亞深知父親的苦惱和失望，但他沒有知難而退，義無反顧地闖進了這個"毫無希望的黑夜"。他很快就發現，只要改變第5公設，就可以創造出一種新的幾何學來，于是提出了一個新的平行公理：
　　"在平面內，過已知直線外的一個點，至少可以作兩條直線與已知直線相平行。
' n3 V! j/ ]) m　　這個新公理否定了平行線的唯一性。以它為基礎，再加上原來的9個公理，就組成了一門新的幾何學，叫雙曲幾何學。凡是與舊的平行公理有關的定理，在雙曲幾何學中統統變得面目全非，產生回許多聞所未聞的新結論。例如，在雙曲幾何學中，不存在矩形，也不存在相似三角形。最有趣的是，不同的三角形就有不同的內角和，而它們又都比180度 小！
　　能夠作出一種三角形，使它的內角和小于180度？對于習慣在傳統幾何的框框里生活的人來說，這不啻是個"荒誕無稽"的海外奇談。連老波里亞也無法理解兒子的創造，斷然拒絕了幫助發表的請求，直到1832年，由于兒子的再三請求，老波里亞才勉強同意將它作為一個附錄，隨同自己的著作一起出版。
6 j3 _8 V8 i6 d4 Z5 u( X0 m& [　　老波里亞與"數學王子"高斯是大學時代的同窗好友，他把"附錄"的清樣寄給高斯，想聽聽這位數學權威的意見。1832年3月，高斯在回信中熱情稱贊小波里亞"有極高的天才"，但同時又說，他不便公開贊許，因為稱贊波里亞就等于稱贊他自己。
+ g# ^, I- S0 Y　　原來，在此之前16年，高斯就已作出了同樣的發現。但他小心翼翼地隱藏了自己的研究，唯恐這種新幾何學在直觀上的"荒誕無稽"而遭到人恥笑。
　　捍衛真理是需要勇氣的。
　　早在波里亞著作發表之前6年，在遙遠的俄羅斯大地上，已經有位叫羅巴切夫斯基的勇士，率先亮出了這門新幾何學的旗幟。
　　羅巴切夫斯基是一個偉大的俄國數學家。他獨立地作出了同樣的發現，并為捍衛新幾何學戰斗了一生。當時，數學家們不理解他，認為內角和小于180度的三角形是一個"笑話"，有人嘲笑他是"對有學問的數學家的諷刺"。而一些仇視革命思想的人，更是趁機對他進行惡毒的攻擊和下流的謾罵。這一切都沒有使羅巴切夫斯基退卻，他接二連三地發表數學著作，甚至當他已成為一個瞎眼老人時，仍然念念不忘口授了一部《泛幾何學》，為這門新幾何學在數學王國里取得合理的地位而大聲疾呼。由于羅巴切夫斯基最先昭示了新幾何學的誕生，所以雙曲幾何學又叫羅氏幾何學。
) n0 p. l! Z4 t8 [　　羅巴切夫斯基、波里亞和高斯，用他們創造性的工作，動搖了"只能有一種可能的幾何"的傳統觀念，為創造不同體系的幾何開辟了道路。1854年，就在人們仍在抱怨羅氏幾何學"不可思議"時，高斯的學生黎曼，又給幾何王國增添了一種新的幾何學。
　　黎曼提出了另一種新的平行公理：
2 f* Y7 z2 n# I: y" A　　"在平面上，過已知直線外的一個點，不能作直線與已知直線相平行。"
. A( U/ ?4 Z9 M4 ]　　這個新公理干脆否定了平行線的存在性。以它為基礎，再加上原來的9個公理，就組成了橢圓幾何學，也叫黎曼幾何學。
　　在這種新的幾何學里，三角形的內角和等于多少度呢？有趣得很，它既不等于180度 ，也不小于180度，而是大于180度 。
　　黎曼幾何學中還有許多奇妙的結論，例如，"直線的長是有限的，但卻無止境。"要弄懂這些理論非常困難。據說，當黎曼第一次宣讀這方面的論文時，除了高斯以外，會場上竟找不出第二個能夠聽懂的人。
　　羅氏幾何學與黎曼幾何學都是"純粹人造的"幾何學，與人們的常識相悖，乍看起來都顯得非常不可思議。實際上，它們比傳統的幾何學更加深刻地反映了現實世界的空間形式。舉一個最著名的例子：愛因斯坦創立的廣義相對論，就是以黎曼幾何學的空間概念為基礎的！根據相對論學說，現實空間會發生彎曲，到處是新幾何學的用武之地。
　　相傳高斯做過一次有趣的實驗，他把相距很遠的3座山峰，看作是三角形的3個頂點，然后計算它的內角和，發現它竟大于180度 。這正是黎曼幾何學的結論。也許有人會說："這不是一個三角形。因為它不在一個平面上，而是在地球這個曲面上！"那么，哪里去找平面呢？運動場是平面嗎？池塘水面是平面嗎？它們都是地球這個曲面的一部分。這樣，又上哪里去找平面上的三角形呢？如果沒有三角形，怎么會有內角和等于180度呢？
2 z' @  p% A) v0 [: \/ b! Z　　羅氏幾何學與黎曼幾何學更精確地反映了現實空間，但是，在我們的日常生活里，傳統幾何學已經足夠精確了。在我們的視野范圍內，水平面是非常接近于平面的。實際上，我們也根本無法測出它的彎曲度。這樣，測量水面上一個三角形的內角和，雖然它實際上并不等于180度，我們卻無法測出它與真值之間的誤差。所以，在我們身邊這個不大不小的空間里，傳統的幾何學仍然是適用的。
　　因此，在紙上畫三角形，無論是怎樣畫，把它的3個內角加起來，都會等于180度 。但我們也應當知道，在數學王國里，確實還有一些"稀奇古怪"的三角形，它的內角和是不等于180度 的。
* u# m! a# c! Y8 q

老飄

{:soso_e140:}原來我們的幾何是建立在一個不存在的基礎上的啊？？？？

東海fyh126

球面上的三角形就是如此。。。。。。。。。。

cncw252

數學補考兩次的表示一多半沒看懂

waiwai2008

很有意思....說的太對了...有些定理都沒有被證明就被傳統幾何運用...但是實際上現實情況未必就適用于曲面空間。

zhangzhengxin

東海fyh126 發表于 2012-3-16 20:21
6 w. [; S. t8 L球面上的三角形就是如此。。。。。。。。。。

$ Q- n, O# K& W# W. [球面上的三角形，那就不是平面了啊，那構成這個三角形的三條線就不是直線了哦。

小花0324

生活中有很多有趣的數學問題，，，這個以前讓我想半死也沒想出所以然，，當時老師告訴我，其實很多定理都可以試著去推翻的。。可惜呀。。。

豪哥0825

學無止境啊，要努力了。雖然咱創造不出什么公理，但是知識是絕對有用的

把刀用好

唉，牛角尖也不是這樣鉆的啊。幾何里的任何單獨的點，線，形都是定義在同一個平面里的。這是根。拿彎曲的空間異形稱三角形來攻擊有關三角形的公式和定理是無理取鬧！當然，傳統幾何是無法真正定義這個空間異形的，它不是什么形，也不是什么體。也許要靠一種新的延伸學科來定性和研究了。至于這么做有沒有意義，那就另當別論了。

xiaoyetongxu

錢學森的數學，很厲害。久久發為什么沒繼續整空氣，估計是他的數學能力，不合適。
* L6 k, e1 _' T; l$ h0 ]- K% Q然后，俺不懂曲線組成的角度是什么，