球面漸開線方程的理解

YPFENG

樓主我們并沒有懷疑你的公式的正確與否,我們只是不知道你是如何如何推導出上面的公式,你能給我們上傳點資料我們理解了,當然我們就知道怎么用了,問題是不知道如何推導出這個公式

阿松

請懷疑我公式的正確性！
小男孩，我在6樓已經答復過你在5樓提出的同樣的問題。

YPFENG

原理我也知道但是不知道具體是怎么推導的,要是能有一本書詳細介紹一下那就太好了

阿松

那我給你一些提示：
大圓就是球的最大直徑，基圓是球上任一比大圓小的圓。
9 P2 Z! f4 M! z% I請想一下兩圓相切：可以想象基圓水平，大圓傾斜并與基圓相切。
然后基圓不動，大圓滾動。有點象呼啦圈掉到地上時的樣子。
6 _6 X9 s5 v! k! ?1 G3 r然后在某一個位子，大圓上滾過的弧長等于基圓上的弧長。
* ]+ B8 d2 y0 f$ v% n' A+ _# Q然后構建幾何圖形。
然后進行一步一步推導。
2 v8 U, C8 M7 H+ c
+ X3 R/ T! F1 i# S5 m我就是這樣推出來的。相信你也能推出來，可能公式比我還要簡化。

logxing

我正在驗證松版的公式
; A. O( Q# n1 l# g& k  k有一個疑問
按照這個極坐標系，當R趨向無限大時，也就是普通漸開線時
9 ^* J9 u) Q: p  E( k; \6 k方程將會變成什么樣子？好像不能自然退化成普通漸開線的參數方程
! T8 d& J; R( [) [" Z7 }8 I松版有沒有其他坐標系的結果？

阿松

當R為無窮大是，eta為pi/2，
5 T7 p/ P1 x2 R1 r0 G/ halpha=atan(tan(cos(eta)*theta)/cos(eta)) 中
2 m9 Q! k  }7 i* g; t9 Xtan(cos(eta)*theta/cos(eta))上下均為0,運用羅比塔法則，分子和分母分別求導，得alpha=atan(theta)
% ?6 D+ o1 C% \) r. M  Comega得0，delta=theta-atan(theta)，這是標準的平面漸開線函數。

logxing

我主要是看見了你說
極坐標方程＝R,delta,omega
那么當R趨向無窮大，不論delta,omega變成什么
矢徑長度都會變成無窮大，也就是不能變成普通漸開線
你的極坐標矢徑長度是R，說明你的極坐標原點是大圓圓心，所以會出現這個問題
是不是我的理解有誤？

我正在試著用矩陣推導，而且是直角坐標系，因為我將來要用程序來驗證
直角坐標系方便些，出來結果我會貼出來

阿松

直角坐標方程如下：（還沒有化簡，要變成平面漸開線方程的話，坐標原點要延z軸下移R)

logxing

為了方便敘述，我先定義三個點，在初始狀態小圓，大圓和一條直線相切于一點，該點在小圓，大圓和直線上分別對應A1,A2,A3三點，也就是說初始狀態三點是重合的。然后大圓開始轉動，小圓上的A1是固定的，A2的軌跡就是我們想要的球面漸開線，至于A3，是起著重要的聯系作用。

在1樓中
eta=acos(r/R)
alpha=atan(tan(cos(eta)*theta)/cos(eta))
也就是
% z5 w: D7 u( W* S4 @: A( aalpha=atan(tan(r/R*theta)/(r/R))
) ~( d2 s2 z+ y, o即
( w2 j: c2 |0 h- ?' A6 N6 N% Valpha=atan(tan(r/R*theta)*R/r)
alpha是小圓平面內A3點的壓力角，所以我想你是把tan(r/R*theta)*R當成那段切線段長了（法線長）才會有上面的式子。
考慮這段切線段在大圓平面上的情形，你是把r/R*theta當作大圓平面內A3的壓力角了，才會有上面的式子。
這里的theta是小圓平面上A3點的展開角，所以r/R*theta實際上是大圓平面內A3的展開角而不是壓力角，這個地方錯了。
不知道我對alpha，theta的定義理解是否有誤。
7 ]$ J( t& x  j我已經推導了直角坐標系的方程，是以小圓平面為xy平面，小圓圓心為坐標中心的右手系。還沒有驗證，不過可以自然退化到平面漸開線方程。因為與你18樓的形式差別比較大，還沒有證明是不是等效的。下面我打算做個程序驗證一下，然后再拿上來大家討論。

阿松

首先非常高興你能夠和我一起花時間來考慮這個問題。謝謝
我不明白A1,A2,A3如何相對運動，初始位置3點重合，然后是不是阿A3保持為切點？
& v5 k& C0 ~* m9 G" d
& X' E! B6 O. U( `我來說說我的思路：theta是小園的展開角，然后通過它算大圓的展開角。（我的資料沒在身邊）alpha 可能是大園的展開角。然后通過它們算矢徑與各平面的夾角。
7 `# Q* N" P  i& P
2 E! }7 i7 D/ \! Y, a如果你能通過CAD軟件驗證你的公式的話，我們的公式應該是相同的。至少可以轉化成相同的。