什么是結構的非線性？

曉昀

數學上，線性關系是指自變量x 與因變量y 之間可以表示成y=ax+b ,（a、b為常數），即說x 與y 之間成線性關系；不能表示成y=ax+b ,（a、b為常數），即非線性關系。非線性關系可以是二次，三次等函數關系，也可能是沒有關系。下圖是鋼結構構件荷載－變形關系圖，其中1線表示應力與應變呈直線關系，所以它是線性；2線表示應力與應變不是直線關系，所以是非線性。

鋼結構構件荷載－變形關系

我們常說的非線性分為三大類，三種非線性可以相互組合：

• 幾何非線性問題：大應變、大位移、應力剛化、旋轉軟化。
• 材料非線性問題：塑性、超彈、蠕變及其他材料非線性。
• 狀態非線性問題：接觸、單元生死及特殊單元。
  
  

材料非線性，就是應力和應變的函數關系不是直線函數而已。

所謂幾何非線性，可以理解為荷載－位移呈非線性關系，軸心受壓構件的二階效應就是幾何非線性的例子。再如高層建筑、大跨度柔性橋梁等結構，材料應變較小，本構關系可按線性關系考慮，但結構變形較大可引起外荷載大小、方向的變化，在建立結構平衡方程時，必須考慮位移造成的影響?？紤]幾何非線性后，變形隨荷載的增大變化逐漸加快，如上圖的3線。

下圖是一個釣魚竿的受力前后變化示意，處于輕微橫向載荷作用下的桿梢是柔軟的。隨著載荷增加，桿的幾何形狀發生變化（變彎曲），力矩臂減小（載荷移動），引起桿的剛化響應

狀態非線性，是導致剛度突然變化的狀態改變是非線性行為的另一個普遍原因，例如：電纜從松弛到張緊的改變狀態，一個裝配中的兩個零件進入接觸狀態，因加工而移去預應力材料。

在下例中，隨著載荷的增加，接觸狀態從“開” 變為 “閉合”，從而引起剛度變化。

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