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機械社區

標題: 一個有意思的題目，微積分的力量 [打印本頁]
作者: pacelife    時間: 2017-7-13 12:08
標題: 一個有意思的題目，微積分的力量
        題目其實比較常見，和機械中的某些概念也有互通之處，大家畫圖累了不妨做一下換換腦子。
5 p* X# i+ N4 c: g1 A- O/ g
* X2 L! X4 I1 ]! T3 l3 M; x      非洲草原上有一條南北向筆直的河，一只羚羊在河邊喝水，其身后距離為L處有一只虎視眈眈的獅子。某時刻羚羊發現了獅子，立刻以速度v向北奔跑，獅子迅速以速度2v奮起追擊，方向始終對準羚羊，試問獅子經過多長時間能夠追上羚羊？要求畫出羚羊和獅子的動態行進軌跡。
+ h5 O3 h$ @( L5 }& p$ @
& j! J  v1 I/ ]! {+ }      晚上回去把我的解法貼出來# q2 [+ x$ G- f- U! f9 p9 k9 t

( S7 ~7 U* i% |/ {! {; Y  L
/ o# V1 ~5 k& H) {7 C5 P
: R% d4 \% N5 ]5 u$ q3 g
! W2 @& Z0 y% Z8 L. l0 N
作者: 鐵未銷    時間: 2017-7-13 13:28
本帖最后由 鐵未銷 于 2017-7-13 13:30 編輯 % k9 k! e5 q9 |8 M2 O9 Y. p( \: i

* X: [/ Y0 F* d難道不是t=L/V？! ~2 ~! @! C0 b' s$ W5 A
作者: pacelife    時間: 2017-7-13 13:33
鐵未銷 發表于 2017-7-13 13:28
$ H* K, g& @; {% [5 N難道不是t=L/V？

( U* A9 h* E1 b; s4 a逃跑的方位你沒搞清楚
# K. {" z( B" k+ h/ g
作者: WXB4006    時間: 2017-7-13 13:49
有難度& R9 ?) K( ^4 G% U/ z
作者: 忽樂極    時間: 2017-7-13 13:51
別最后來個冷笑話就行
作者: 那年夏天521    時間: 2017-7-13 14:11
hehe
作者: 挨拍的5    時間: 2017-7-13 14:16
永遠追不上的
作者: 鐵未銷    時間: 2017-7-13 14:16
pacelife 發表于 2017-7-13 13:33- D6 ~, S+ k5 m) Q) u
逃跑的方位你沒搞清楚
' p8 N, k6 e5 K1 P' _
好吧，看來這個身后是東西向的了& r1 W8 e2 R0 @5 Q3 J

5 c) @# U* ]  d: h' T$ Y) n; r
作者: 只有快樂    時間: 2017-7-13 14:44
近乎于一條曲線，無限接近于0點
作者: 挨拍的5    時間: 2017-7-13 15:52
很明顯要用微積分的知識
作者: xiaobing86203    時間: 2017-7-13 17:35
數學的力量是強大的~
作者: 夢回舊時光    時間: 2017-7-13 18:08
獅子運動軌跡的切線方向一直指向羚羊。
作者: 水秀天藍    時間: 2017-7-13 18:15
導彈的模型。
作者: 水秀天藍    時間: 2017-7-13 18:17
這個應是一個二階非線性微分方程，可轉化為一階方程，并且存在解析解，甚至是顯函數表示的。
作者: 蘇州裝配工    時間: 2017-7-13 20:51
結果是（2/3L-2）* 根號L？
' P$ j' P5 a, n* n. i0 W1 u  H* M9 V1 ^+ B! ~  m
+ G9 g* H: O& t# l6 V- E; F2 M! F
作者: 楊冬冬    時間: 2017-7-13 21:06
dy/dt=2v* (L-y)/√[(〖(L-y)〗^2+〖(Vt)〗^2 )],當t=0,y=0；解這個方程y=L，就得出時間。有沒有解析解不知道，但我們是工程師，數值解法搞定
作者: pacelife    時間: 2017-7-13 22:00
本帖最后由 pacelife 于 2017-7-15 08:38 編輯
* W  [& A0 M) s0 g
% }# Z* b9 o/ |. m解析解為：1 w2 J4 E* m! q, f# g( N7 g
[attach]427922[/attach]
# E% i3 h, \! U0 H5 `2 d% {( t
$ D/ E0 I5 q. ]7 r下面動畫為L=100，v=1的情況：2 `! S+ J  d3 w' n; ]: ~5 ]
表達式為：
, u' a2 I- ?. k[attach]427920[/attach]
( p2 ~% u0 I+ ?4 y" D' T, A0 y4 _因為x值為（-100,0），所以表達式中會有個i，
  }6 R6 Z/ Y  G) z& B/ k! q按F5刷新一下看動畫，% r$ t7 Z( F- M' ?; t) B

- t3 f+ P4 S  Z$ T3 f* F[attach]427919[/attach]
作者: 水秀天藍    時間: 2017-7-13 22:47
轉化為極坐標是否可行，好像求導變換蠻復雜，可能真要Maple才行。
作者: gerrard    時間: 2017-7-14 09:08
試著解一下
& X9 M& A8 `6 N  W! _' O. A  A  J( p7 ^9 w' b
作者: pacelife    時間: 2017-7-14 09:39
我的解法：[attach]427846[/attach]! Y- G/ w! Z8 g! t. M( R2 |1 g

- `; Q0 W- M( {: v! M$ ]8 Q
& @& T0 p7 A% u0 r" U, H( l- h7 r- j1 V8 d( j0 X

- O: F: q1 J8 {
作者: 動靜之機    時間: 2017-7-16 00:47
回去翻書，網搜，找到有關資料，復習了一下。1 _0 B% l( Y8 B0 j2 v$ r' ~8 n& f% o
抄作業如下：
0 A/ k1 ]& Y* W+ R( y( {) o$ x[attach]427993[/attach]5 O7 L4 Z" M2 G( A2 }' `- V" }

- p; R, W8 T& y5 E* _動圖， 俺就不會畫了。。。
9 t2 h1 `) p# u6 K, Q. [$ v: D; F  k+ [3 l9 n0 M0 ]0 B
作者: 動靜之機    時間: 2017-7-16 10:50
昨晚一犯困，沒算時間，如果是考試， 又得丟分。
* i  G7 G4 T3 P7 P[attach]428020[/attach]" D& ]  O  ^, ^* c6 b  H/ y

7 m: s  _( n9 r9 y0 _3 b& q3 U% \& a2 q) X, p4 N0 M- X/ M" s
獅子確實是花了同樣的時間，跑了兩倍的路程。

7 r: t" c2 c* r# z7 g9 t" k) Z) k
沒辦法，都是為了活命。
阿彌陀佛。。。。。。
* b5 p, P& T# p4 N) G  O7 C/ t3 L

& d% A# m+ W. g& o. w( f5 `+ W" k; x7 B. |4 ^9 ]7 {

# U( n" {2 i7 s
作者: 我是烏鴉啊啊啊    時間: 2017-7-16 13:21
pacelife 發表于 2017-7-13 22:00$ x) o5 i, H! u- \9 L
解析解為：
8 d+ v! `& U" G+ e
那最后這個題的答案是多少啊，方便把動圖的代碼貼出來嘛
/ n) N9 X7 M! y
作者: zhuzai    時間: 2017-7-16 14:23
pacelife 發表于 2017-7-14 09:39
2 @$ @5 M9 J+ Q8 A" g5 @# J9 {我的解法：

9 F8 I( }3 p7 L& I9 ~$ p3 U/ U能詳細點嗎？
9 m1 u4 {: T" C
作者: 我是烏鴉啊啊啊    時間: 2017-7-17 17:54
我是烏鴉啊啊啊 發表于 2017-7-16 13:21
$ [$ m( C0 N3 H5 I( B那最后這個題的答案是多少啊，方便把動圖的代碼貼出來嘛

9 w" J# Z/ h/ _- l3 `: d/ e) _恩，有看到，那個動圖是用Mathematica做出來的吧，想看看代碼可以嘛% ~: G: v& F% U. ]) _' B& p
作者: 肥啊肥    時間: 2017-7-17 19:48
pacelife 發表于 2017-7-13 22:008 n- B8 L. @2 S$ C
解析解為：
. D3 U8 G( a$ l( R2 G0 `/ Y" H
能把動圖的代碼發一下么，應該是mathematic吧  l5 U( u! m3 ]  c
作者: 段學斌    時間: 2017-7-18 20:21
求mathematic的代碼
作者: pacelife    時間: 2017-7-19 22:05
我是烏鴉啊啊啊 發表于 2017-7-17 17:54
8 o( F* J& a( R恩，有看到，那個動圖是用Mathematica做出來的吧，想看看代碼可以嘛
  C% Y. J+ w0 K9 g4 |0 I6 g$ |
K = DSolve[{-V/(x*f''[x])*Sqrt[1 + f'[x]^2] == 2*V, f[-L] == 0,
9 f, Z5 X6 |9 X6 l, j2 ]/ T    f'[-L] == 0}, {f[x]}, x];
: M+ Q' X: ^6 N# |7 U5 iM = K /. {V -> 1, L -> 100};
0 o5 Z1 X) ?0 QManipulate[
1 j1 f8 [4 M* G, d Plot[M[[2, 1, 2]], {x, -100, 0}, - y; |' L- p0 e5 @/ p+ f; J
  Epilog -> {PointSize[0.01], Black, + Q* Y1 A0 ~, e* K. e2 U  I
    Point[{{a, M[[2, 1, 2]] /. x -> a}, {0,
0 h! Z% Z) X4 e: [4 ]& X0 k/ c       M[[2, 1, 2]] - x*D[M[[2, 1, 2]], x] /. x -> a}}], Red, Dashed,
6 E" M8 t& ^/ k$ w3 }) d! @) |    Line[{{a, M[[2, 1, 2]] /. x -> a}, {0, ! N5 s  W5 X) t& ^
       M[[2, 1, 2]] - x*D[M[[2, 1, 2]], x] /. x -> a}}]}], {a, -100, 7 w8 \: H/ I4 w! l; P
  0}]
9 h3 |2 z% I* |3 @/ B8 [" |* M4 d+ I4 ?Export["1.gif", ! f  d7 Q( S" {9 z: D. F8 M6 y+ |0 Y
Table[Plot[M[[2, 1, 2]], {x, -100, 0},   {" T" g! D" h
   Epilog -> {PointSize[0.01], Black, 8 e. l* ]2 i5 a+ Z3 A* ?8 ?/ `7 F
     Point[{{a, M[[2, 1, 2]] /. x -> a}, {0, . o" K  i9 F/ i$ v$ O8 k1 M) v
        M[[2, 1, 2]] - x*D[M[[2, 1, 2]], x] /. x -> a}}], Red, Dashed,( Y: f* x6 G" C3 T* k; C( O& S, ~
      Line[{{a, M[[2, 1, 2]] /. x -> a}, {0, , |/ M# H- ?. p" z
        M[[2, 1, 2]] - x*D[M[[2, 1, 2]], x] /. x -> a}}]}], {a, * {3 ~! j. o  n( ~9 V; m% I! ?4 V
   Join[Range[-100, -1], {-0.0001}]}]]
0 L0 ?8 [: t. [+ I8 V: c- B2 r) d6 a/ m) C  K) }% S7 Q0 [3 L3 Q# S
作者: myfunction    時間: 2017-7-21 18:03
學習了。
作者: 快樂ipk    時間: 2017-8-7 22:33
太好了，非常感謝樓主的分享!
作者: qq5847271217    時間: 2017-8-9 16:38
不是很懂你們，也許是我太傻，我這么看：' H! i5 p% i) y/ o2 ]! f, v
獅子位于0，
8 a2 _' }! A2 L( n 羊位于L
1 K$ z% K' K; ?7 J' K; {9 p( O! X$ p! s 羊最終被抓的路程為S1  N, k( K, l7 i4 ]& m7 l: G
獅子最終路程為S1+L3 y# Q0 l7 l7 M4 t. w9 u1 `" Q
S1=Vt6 s$ \2 m" v0 f9 e
S1+L=2Vt 3 ^! D1 i. N2 O2 q" T  K! T
可以得知L=VT
; k% b* Z' T2 t+ Q& V
6 z. }7 U& u' H- ~3 J
" f1 @# B/ M1 C) J9 \7 C3 _/ X2 R然后畫位移與時間的方程圖，是兩條相交的直線。然后還有啥？



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