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標題: 彈性力學中的一個問題 [打印本頁]

作者: 不懂的太多xx 時間: 2016-5-23 17:12
標題: 彈性力學中的一個問題
這兩天重溫彈性力學，又把之前沒解決的問題給想起來了，連著三四天自己沒法給出解釋，陷進黑洞自己出不來了，睡覺都不香了，現在求大俠抽醒。
極坐標下的應變問題，
圖中的這個環向的應變，大俠們肯定都知道。現在就是前面"v/r”這部分應變問題。照本宣科，照書的方式理解沒有問題。
但就我自己想，想出問題來了。位移函數v是r和θ的函數，a點的環向位移v（a）=v(r,θ)，d點的環向位移v（d）=v（r，θ+dθ），dv按第二個圖。

這建立在位移函數的r和θ的兩個變量是沒有變形前的坐標，在沒有變形前a的坐標就是(r,θ)，d點的坐標就是（r，θ+dθ），兩點的變化只有dθ的變化。

難道是我認識出錯誤了，位移函數是變形后的坐標？既如此，dv應該是第三個圖。

也是沒有v/r項。

照書中理解，這個環向位移是坐標點v(r,θ)和v（r+u，θ+dθ）倆點引起的弧長差，這兩個坐標一個是變形前的圓盤a的坐標，一個是變形后的圓盤d點的坐標。

矛盾點是，單從函數v(r,θ)上說，無論r和θ表示的是變形前圓盤定的坐標，還是變形后圓盤定的坐標，dv都沒有v/r，除非一個是變形后的坐標一個是變形前的坐標。求大俠把我從牛角尖里拉出來。

補充內容 (2016-5-24 09:00):
發帖，錯把u/r打成v/r。

補充內容 (2016-5-27 12:31):
糾結已經解決

作者: 云制造 時間: 2016-5-23 18:56
照書中理解，這個環向位移是坐標點v(r,θ)和v（r+u，θ+dθ）倆點引起的弧長差，這兩個坐標一個是變形前的圓盤a的坐標，一個是變形后的圓盤d點的坐標。

你這個就理解錯誤了，沒弄懂書中意思。環向位移是v(r,θ)和v(r,θ＋dθ)兩點變形后的弧長差。

位移函數是變形后的坐標？這個你也理解錯了，位移函數描述的是變形的大小，跟變形后的坐標沒有關系，要有關系也是一個點變形后的坐標是原始坐標加上位移函數的值

作者: 云制造 時間: 2016-5-24 08:42
兩點的長度變化是dv，原始長度是rdθ，所以只有環向位移引起的應變為dv/rdθ，不知道樓主糾結的v/r，在哪里出現？

作者: 云制造 時間: 2016-5-24 08:46
如果是圖上的v/r，這只是表示一個點的切向角度變化。跟切向應變不是一回事。因為rdθ=v

作者: 云制造 時間: 2016-5-24 08:55
v/r只是表示每一個點的角度位移，就是說，每個點移動了多少度。v=2πr，說明一個點旋轉了一周，樓主說過的 v/r”這部分應變問題，理解就錯了，這不是應變。跟徑向應變一樣，要求的是兩點變形前后的長度差，而不是一個點的位移，如果兩個點同時位移為du，應變就是0。不要將位移和應變混為一談。比如剛體位移，就沒有應變。

作者: 云制造 時間: 2016-5-24 09:03

云制造發表于 2016-5-24 08:46
- t- s3 }; \ V7 P1 a如果是圖上的v/r，這只是表示一個點的切向角度變化。跟切向應變不是一回事。因為rdθ=v

u/r不是很好理解嗎，只有徑向位移u，則兩點都沿著原來不變的角度移動u，則r就變成了r+u，這個時候，兩點之間的弧長，不就是（r+u）dθ，而原來兩點之間的弧長是rdθ，所以應變是兩者之間的差值再除以rdθ，就是u/r

作者: 云制造 時間: 2016-5-24 09:13
樓主要用物理場景來理解，有物理場景，能更好的理解數學推導過程。這個極坐標應變應該是很好理解的。你說的u/r。就想象是一個固定頂角（dθ）的三角形，而三角形的底邊在向外移動的過程（就是u增大），是不是底邊會不斷拉長，應變不斷增大

作者: 云制造 時間: 2016-5-24 09:15
底邊不斷拉長，應變不斷增大。就是切向應變不斷增大。三角形的底邊長就是切向的長

作者: 不懂的太多xx 時間: 2016-5-24 09:28

云制造發表于 2016-5-24 09:03
% s# z( C6 } W: p% l6 z0 ku/r不是很好理解嗎，只有徑向位移u，則兩點都沿著原來不變的角度移動u，則r就變成了r+u，這個時候，兩點 ...

我知道按書理解可以理解，帖子中我也說明了，書中的理解方式清楚。
咱們換一個方式，環向位移V是關于r和θ的函數，r和θ是原始坐標（沒有加載荷的時候）。經過平衡條件、邊界條件、相容條件，我們可以把應力函數和位移函數都推導出來，關于r和θ的函數（注意，r和θ是原始坐標）。
假設環向位移函數V=v（r，θ），分別帶入d點和a點的坐標，那么d點處的環向位移Vd=v（r，θ+dθ），a點處的環向位移Va=v（r，θ）。那么弧長ad的增長量δ=Vd-Va=v（r，θ+dθ）-v（r，θ），應變ε=δ/rdθ
δ=Vd-Va=v（r，θ+dθ）-v（r，θ）=（v對θ的偏導數）*dθ（帖子中打不出來偏導數符號，我就暫時用Χ表示該偏導數）=Χdθ
那么總應變ε=Χ/r，其中并不包括u/r。
這是建立在r和θ原始坐標，假設位移函數V情況下，從偏導數定義推出來的。
因此，這個時候我就假設的把V看成是r和θ變形后的函數，這樣推出來也不對。（帖子中的第二步）
若想包括u/r這一項，單獨的從環向位移函數V的偏導數中我找不出來，我就試一下全微分，因此有了是v(r,θ)和v（r+u，θ+dθ）兩點的弧長差的想法，但是這個一個是變形前的坐標參照，一個是變形后的，肯定不對。這就是我現在的矛盾點，腦子繞在這里出不來了。
不知道大俠看懂我的矛盾點了沒？

作者: 不懂的太多xx 時間: 2016-5-24 09:48

云制造發表于 2016-5-24 09:03
|; N2 ]9 y. m* m' x) du/r不是很好理解嗎，只有徑向位移u，則兩點都沿著原來不變的角度移動u，則r就變成了r+u，這個時候，兩點 ...

再補充一下，我們知道一個函數V=v（r，θ），這個函數表示的是位移，現在求a點（r，θ）和d點（r，θ+dθ）兩點的位移，怎么求？帶進去，分別是v（r，θ）和v（r，θ+dθ）
那這兩點的函數之差（位移之差）怎么求？v（r，θ+dθ）-v（r，θ）=Χdθ。。。。。Χ表示v對θ的偏導數
這個位移之差是什么？變形量δ。
應變ε=δ/rdθ=Χ/r。不包含u/r項。

這是在已知函數V的情況下

作者: zerowing 時間: 2016-5-24 14:50
看你的思維很混亂的說。
分清什么是切應力什么是正應力。要明白分別由什么產生。徑向位移產生的弧長變化對應的是周向切應力。而周向位移對應的弧長變化對應的是周向正應力。以此類推。

作者: 不懂的太多xx 時間: 2016-5-24 15:51

zerowing 發表于 2016-5-24 14:504 W! P& F7 M" T" S, i$ s; F2 m
看你的思維很混亂的說。
7 R! }8 T" ^2 d2 b% m 分清什么是切應力什么是正應力。要明白分別由什么產生。徑向位移產生的弧長變化 ...

零俠，位移是一個單元一個單元的應變疊加來的，就切出來的圓盤上的一個微小塊來說，徑向應變是由徑向正應力引起的，環向應變是由環向正應力引起的。我沒有覺得我的思維混亂，就是按照彈性理論推出來的總的環向應變，和假設位移函數V已經存在推出來的環向應變差u/r項。上樓大俠說的好，結合物理場景有助于理解數學模型，但同理在不參考物理模型，單純按數學模型推倒，兩者的最終結果應該一樣。現在，我的腦子中兩個結果就差一項。
零俠，給俺解釋一下最后一個圖中總應變“u/r”這部分，按書中的方式可以理解，為什么我按照9#和10#的方式理解就少了u/r這一部分？

作者: 云制造 時間: 2016-5-24 17:12

不懂的太多xx 發表于 2016-5-24 09:28
7 `2 |; f2 c! D3 p( ? k4 I9 \5 M我知道按書理解可以理解，帖子中我也說明了，書中的理解方式清楚。
+ ^# F4 c0 u$ [$ {2 N; t$ |咱們換一個方式，環向位移V是關于r和 ...

因此有了是v(r,θ)和v（r+u，θ+dθ）兩點的弧長差的想法，但是這個一個是變形前的坐標參照，一個是變形后的，肯定不對。

這個不是這樣的，都是變形前的坐標。是v(r,θ)和v（r+dr，θ+dθ）兩點弧長差，r是自變量，u是因變量，不要搞混淆了，所以不是v（r+u，θ+dθ）。u只是位移的大小，不是坐標值。

作者: zerowing 時間: 2016-5-24 22:57

不懂的太多xx 發表于 2016-5-24 15:51+ u3 y1 ]% ~8 M, M( b* W
零俠，位移是一個單元一個單元的應變疊加來的，就切出來的圓盤上的一個微小塊來說，徑向應變是由徑向正應 ...

這樣回復你吧。
1。V函數是周向位移，周向位移必然伴隨夾角的變化，以及由此產生的部分切應變。
2。U函數是徑向位移。徑向位移不產生夾角變化，即不產生V變化。在極坐標系中，徑向位移產生第二部分的切應變。
3。研究總切應變不可能只靠一個V函數解算。所以，我一直都搞不懂你為啥揪著個V不放，卻一直不理Ｕ函數。
所以，我始終沒有看到你說的矛盾點。你只考慮V影響，自然不會有u/r的相。

作者: zerowing 時間: 2016-5-24 23:05
本帖最后由 zerowing 于 2016-5-24 23:08 編輯

再回答你10樓的問題。
如果你10樓里的V函數是一個綜合函數，不是分量函數（不是單純的周向位移函數），如你寫的 V=v（r,θ)。那么最終位移之后的a,d坐標會是r? 一定是r+u。

而如果你的V函數是分量函數，比如周向函數，那么V=v（θ）。跟r是毫無關系的。你這么寫這個函數本身就有問題了。

這么說能否清楚？

作者: 不懂的太多xx 時間: 2016-5-24 23:24

zerowing 發表于 2016-5-24 22:57
1 q# A; U! j. b, m: y0 }8 j這樣回復你吧。
: A5 g, s$ l( |9 ~) P" V1。V函數是周向位移，周向位移必然伴隨夾角的變化，以及由此產生的部分切應變。" T; l- V0 O/ E }& ^9 g$ ?* J
2。U函 ...

零俠，感謝這么晚還回復我。
你和云俠說的意思是一樣的，跟書上的解說方式一模一樣，我都能看懂和理解。
首先是你假設的v只與sita角相關，與r不相關，用v（r，sita）表示有問題。我覺得沒問題，v（r，sita）包含v（sita），若一種方法能夠處理前者，那么必然能夠處理后者。

作者: 云制造 時間: 2016-5-25 08:55

云制造發表于 2016-5-24 17:126 m: [# u& V5 o v. z7 f
因此有了是v(r,θ)和v（r+u，θ+dθ）兩點的弧長差的想法，但是這個一個是變形前的坐標參照，一個是變形 ...

假設環向位移函數V=v（r，θ），分別帶入d點和a點的坐標，那么d點處的環向位移Vd=v（r，θ+dθ），a點處的環向位移Va=v（r，θ）。那么弧長ad的增長量δ=Vd-Va=v（r，θ+dθ）-v（r，θ），應變ε=δ/rdθ
δ=Vd-Va=v（r，θ+dθ）-v（r，θ）=（v對θ的偏導數）*dθ（帖子中打不出來偏導數符號，我就暫時用Χ表示該偏導數）=Χdθ
那么總應變ε=Χ/r，其中并不包括u/r。

樓主這個求的就不是總應變，你這個首先就嘉定了r是常量，而不是變量，這只是切向位移引起的應變。就好像是a和d點沿著半徑為r 的圓弧移動（切向位移），實際的運動還包含徑向位移（引起應變u/r）。樓主要有自變量和因變量思維。r和θ都是自變量，u和v是因變量。不要將u和搞混，如果你學過流體力學就更有物理場景的理解，所以原始坐標，就是做標記用的。流體中有些粒子就是自由遷移的，固體中的粒子還好，變形前后都是挨著在一起，移動到某一個點就是變形前某一個粒子的初始點，這是重疊的，不要搞混。關鍵是要變形前后，兩個相同粒子之間的位移差，而不是同一個粒子變形前后的位移差。樓主的r+u就是同一個粒子從r移動了u。我暫且認為樓主是這樣搞混的

作者: 云制造 時間: 2016-5-25 08:56
數學推導過程

作者: 云制造 時間: 2016-5-25 09:00

云制造發表于 2016-5-25 08:56# r4 C3 M$ o& @' B, Y( k/ s6 c: h
數學推導過程

[attach]388058[/attach]

作者: 云制造 時間: 2016-5-26 08:48

云制造發表于 2016-5-25 09:00

v(r,sita)是a點的環向位移，r dsita 是ad段的原始弧長，討論的不是相等，二是兩者之間的差相等，看來樓主還是沒有明白。兩個點變形后的位移差，就是等于兩個點變形后的長度，減去變形前的長度，變形前dθ很小，a，d之間的環向距離就是rdθ，樓主應該清楚推導過程的dr和dθ都是無窮小量。甚至一些高階小量都會省去，比如（r+dr）dθ，這個時候rdθ比drdθ高一階，drdθ就可以忽略。這些樓主應該清楚，我也沒有特意強調。

我覺得我這個講的很清楚了，包括前面的帖子也強調了。關鍵是兩個點變形前后的位移差。單個點的v是沒有意義的，二是兩個點v的差，而兩個點v的差。v（r，θ）是不等于rdθ，v（r+dr，θ）也不等于（r+u）dθ，而是v（r+dr，θ）和v（r，θ）的差，是等于（r+u）dθ與rdθ的差。推導偏導數的過程也是強調這個時候θ是常量，旁邊也畫了個圖，做說明

樓主自己再多思考思考，腦子里要有物理場景，也要知道這個時候的dr和dθ都是非常小的。這個本來就是基本的公式，我覺得我已經講的比較清楚了。書中是從僅徑向和僅環向兩者單獨推導再綜合的，這個是為了簡單明了，而位移是可以分解的，可以認為變形是先徑向移動，再環向移動。跟路徑無關，但最終的變形是一樣的。而將徑向位移和環向位移同時考慮進來，畫圖出來就不直白。

作者: 不懂的太多xx 時間: 2016-5-26 14:10
關于我自己糾結的點，我已經解決，證明過程放出來了。首先感謝云俠和零俠的回帖。特別感謝一下零俠。

作者: 云制造 時間: 2016-5-26 19:28

不懂的太多xx 發表于 2016-5-26 14:10
7 O( O: r/ W& ~; e% W. D關于我自己糾結的點，我已經解決，證明過程放出來了。首先感謝云俠和零俠的回帖。特別感謝一下零俠。

這個是沒有問題的，只不過相當于樓主繞了個彎，d''d'''其實就是環向位移，如果沒有環向位移，旋轉a'到a''，那d'就會到d''。所以繞了一圈，還是跟原來的物理過程是一樣的。跟單獨考慮徑向位移和環向位移再綜合是一樣的。

另外樓主要注意的是，嚴格意義上其實d'和d''不是在半徑為(r+u)的同一個圓弧上，d''是距離這個圓弧有一個小的增量，因為是dr和dθ都是無窮小量，可以認為d'和d''在同一個圓弧上。

這也是我那個數學方程推導過程的分母直接是rdθ，實際上嚴格意義上是點（r，θ）和點（r+dr，θ+dθ）的距離，是省去了高階小量。

其實我那個就是純數學推導，只是在最后求偏導數時用圖作了說明，（針對僅徑向位移）。

另外我為什么強調單個點的位移意義不大，是因為存在剛體位移或者其他位移情況下，即使有位移，也沒有變形，（或者大位移，小變形），所以我強調兩點變形前后位移差。（就像這個極坐標下，所有點繞著軸線旋轉，有位移，無應變）。

另外這些方程都是針對小變形，10的負幾次方的量級。對于大變形，比如橡膠之類物質，就不是這樣的方程。

作者: 不懂的太多xx 時間: 2016-5-26 20:08

云制造發表于 2016-5-26 19:285 c0 ?' f; }! h3 L" \
這個是沒有問題的，只不過相當于樓主繞了個彎，d''d'''其實就是環向位移，如果沒有環向位移，旋轉a'到a'' ...

我一直也說，理解這個借助物理模型和不借助都得一樣，而我一直只想從應變的最基本定義來推倒，過程中我旋轉只是借助一種數學方式來計算這個。
大俠有一點錯誤，并不是（r，sita）和(r+dr, Sita+d Sita)的距離，而是和（r，sita+d sita），dr和dsita是定義這個微單元的微小量。
四個點，變形前坐標是（r，sita），（r，sita+dsita），（r+dr，sita），（r+dr，sita+dsita）
變形后（r+u，sita+a），（r+u+X，sita+a+b），（r+u+dr，sita+a），（r+u+dr+X，sita+a+b），其中X是u對sita的偏導數乘以dsita，a是點a轉過的角度，b是變形后dsita的增加的角度，嚴格來說前后角度也是不一樣的。而這也是建立在忽略ab邊的剪切角，這個是因為v對r的偏導數乘以dr產生的，之所以忽略是因為這些都是高階微量。其實同樣的，滿復雜的我也已經證明，只不過圖太亂，不好看清。

作者: 不懂的太多xx 時間: 2016-5-26 20:20
本帖最后由不懂的太多xx 于 2016-5-26 20:39 編輯

云制造發表于 2016-5-26 19:28
$ [/ t7 h" `5 t, x$ h" M這個是沒有問題的，只不過相當于樓主繞了個彎，d''d'''其實就是環向位移，如果沒有環向位移，旋轉a'到a'' ...

大俠用v（r+dr，sita+dsita）-v（r，sita）表示ad線段的伸長量有點突兀。從你的第一個公式來看，你是想求應變，分母是rdsita，但是分子確實c點環向位移減去a點環向位移，分子表示的還是ad線段的伸長量，兩個點還不在微單元的任何一個邊上，這個得需要證明。
大俠v對sita的偏導數求解沒有任何問題。
關于這個理解，我想問大俠一個問題，對于在笛卡爾坐標系下的長方體微單元和極坐標下的微單元，關于應變的算法和表示的意義。在笛卡爾下，左右兩邊線段的伸長都可以表示y向應變；在極坐標下用ad線段應變代表環向應變，有沒有想過用bc線段應變代表環向應變，兩者是否相同，有沒有算過？為什么書中用ad線段表示，而不用bc線段表示？

作者: 云制造 時間: 2016-5-27 09:04

不懂的太多xx 發表于 2016-5-26 20:083 c+ X, i0 i4 j0 A
我一直也說，理解這個借助物理模型和不借助都得一樣，而我一直只想從應變的最基本定義來推倒，過程中我旋 ...

不是 4個點，我推導過程就是在（r，θ）點附件取一個點，這個點就用（r+dr，θ+dθ）表示，就像y=f（x），求它的導數就是x=x0附件取一個點，這個點的位置是x0+Δx，增量是Δy。所以我的那個式子表示，（r，θ）和（r+dr，θ+dθ）之間v的增量Δv，除以原始的兩點之間的長度rdθ（忽略高階小量）。

另外你問的，ad和bc，其實就是偽命題。你自己推導的過程切應變用的ad線段，而不是是取微元體，其實ad可以任意取，ad也可以取在bc的位置。另外要有這個概念，這個時候的ad和bc其實是非常近的，只不過畫圖作為說明，把距離劃的很大，好像兩處的應變不一樣。應變是有連續性的，不會在一點的左側和右側有突變，bc是無限接近ad，（微元體到底有多微？要有極限的場景理解），其實既然是取微元體，就可以認為在微元體內的量是常量（或者可以認為取的微元體的平均量），如果還認為比如長方形微元體的正應變沿著斜邊不是常量，就沒必要。即使有細微的變化，也是高階小量。所以你說的ad和bc的區別就是偽命題。

作者: 不懂的太多xx 時間: 2016-5-27 11:21

云制造發表于 2016-5-27 09:04
4 V7 |1 V w+ j, a0 T0 x不是 4個點，我推導過程就是在（r，θ）點附件取一個點，這個點就用（r+dr，θ+dθ）表示，就像y=f（x） ...

首先，應變都是針對單元體來的，單元體的某個方向的應變（比如y向），則是用線段的伸長量除以原始長度得來的，這是最初的應變定義。我一直說從應變的基礎定義來證明計算。就是先切的微元體，然后求的微元體的某條邊的伸長量。
彈性力學，計算應力和應變都會說取一個微單元，之后計算該微單元的某向線段兩點的位移，計算應變。大俠取的（r+dr，θ+dθ）和（r，θ）兩點，數學角度的基本定義咱沒必要說，大俠用的是全微分和斜率。就說從力學角度，這兩個點表示的是哪個微單元中的哪個線段？我的意思是這個要弄清楚，先確定一個用來表示線段的數學模型。ε=δ/L，這是力學中的計算應變的最基本模型，大俠當中的δ是哪一個？L是哪一個？從這個模型配對來類推，大俠的δ是v（r+dr，θ+dθ）-v（r，θ），L是rdθ。
位移函數是原始坐標的函數，v（r+dr，θ+dθ）是（r+dr，θ+dθ）處的位移，v（r，θ）是（r，θ）處的位移。若想用ε=δ/L這個模型，對a點取的這個微單元來說，徑向應變只能用ab線段，切向應變只能用ad線段。而大俠的v（r+dr，θ+dθ）-v（r，θ）表示的又是哪一個？
大俠用的全微分，表示的是在a點切向位移v對r和θ的全微分（也就是v的增量），而只是針對v這個二元函數，該點的微增量；這一步是單純從v函數來求解的。而后面除以的rdθ又是從極坐標中的兩點計算來的，先不管別的（這個別的我后面），順著你的思路，兩點之間的長度是多少？是(rdθ)2+(dr)2在開方。這個存在質疑。
現在說那個‘別的’，證明應該有兩種：1、純數學證明，完全用v函數來證明；2、在極坐標中，用線段的伸長量來證明。大俠這個證明，v的增量用的是v函數的全微分，前面的思路是用函數來求該點的增量，后面又轉到兩點之間線段的長度（極坐標）下，我覺得這樣不嚴謹。大俠既然想用函數證明，就應該徹底的用該點的函數證明，先增量，后在一個三維坐標系中描述出該點的位置，計算微段斜率，利用斜率來計算應變。
再就是ab和bc的問題，微積分這門數學的基本思路，相信大家都知道，咱們暫時不討論這個。力學取微單元的基本假設：單元內部的應力和應變都是均勻分布的，這個相信大家也都知道。就說在極坐標中的微單元，不管多微小，在計算過程中ad和bc就是不一樣，因為自變量是θ角度。而兩個長度不一樣，在用兩個線段算應變的時候就是不一樣。
理論上應變是連續的，從推出來的應變公式表象上看，取ab邊和取bc是不同的，但最終求的是a這個質點處的單元體的應變，所以最終應該是相同的。我提這個問題，只是想說應該從線段伸長量來證明（就是應變的基礎定義）。

作者: 不懂的太多xx 時間: 2016-5-27 11:33

云制造發表于 2016-5-27 09:043 S6 h0 h* k1 Q( b! a/ P8 F( b2 R
不是 4個點，我推導過程就是在（r，θ）點附件取一個點，這個點就用（r+dr，θ+dθ）表示，就像y=f（x） ...

與大俠討論挺好，大俠還可以對兩個問題說說自己得看法。
1、力學中，單元體的每個對稱的正應力和切應力是相等的；在推倒靜力平衡方程時，具有相同法線的兩個面的正應力和切應力則不相等。兩者都是取的某點處的微單元，大俠可否說說自己對這兩者的看法以及這兩者應該用在什么地方？
2、大俠看下面截圖中，三角棱形體的體力可以忽略，而長方體的體力不可忽略，這又是為何？
大俠發表一下自己的認識。

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