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機械社區(qū)

標題: 直角三角形也可以讓人頭疼 [打印本頁]
作者: 陽光小院暖茶    時間: 2015-9-9 09:43
標題: 直角三角形也可以讓人頭疼
有一種直角三角形，三邊的邊長恰好是整數(shù)，而且兩直角邊相差1，最小的例子就是勾三股四弦五。問題是：這樣的直角三角形如何全部找出來？0 L2 Y( L3 g- P: k% M! ^, t4 m, H7 F* V0 s
作者: 陽光小院暖茶    時間: 2015-9-9 09:44
有同學能給出方法嗎？
作者: xiong__007    時間: 2015-9-9 10:22
三邊的邊長恰好是整數(shù)，這個條件不好做
作者: DTxugong    時間: 2015-9-9 10:25
自己解方程  X^2+Y^2=Z^2；Y=X+1的所有正整數(shù)解，x=?,Y=?，Z=?,類似的有, ]$ \3 t$ h5 O- h6 Q  b
20、21、29；
- s0 [% P  w7 e9 O7 B0 W119、120、169；
7 [# y# g) w' r& k  i, n696、697、985；
  b9 I( |/ v3 Y1 T) f4 W- r3 `4059、4060、5741； ; k% b8 l* u* b/ m$ c1 Z
23660、23661、33461； 4 ]; s" V/ V+ b# b
137903 137904 195025
" b0 A) W$ o) {$ x7 {803760 803761 1136689
7 V) j: |  a7 x* g4684659 4684660 6625109
4 G) e* B- e7 Y) J% M4 z......
作者: 劉景亞    時間: 2015-9-9 10:39
這個是找不完的，理論上應該有無數(shù)多個。
: s* x  \) s( y/ N利用程序進行窮舉，邊長在1千萬以內(nèi)的只有9個。
作者: 劉景亞    時間: 2015-9-9 10:40
窮舉程序如下：( B6 U. V' h/ T6 Y. a5 [  V
a=1:10000000;; `( {: L5 N; k7 |% e3 z5 n
m=2.*a.*a+2*a+1;
: O* x4 N. m: Wk=sqrt(m);
; E6 C( _6 X+ D* qyushu=rem(k,1);
) p$ K  j% Z; [
1 z; `; y* ?. c4 p- j5 \num=0;9 M) G" q' x* ]' `  B& D  d% S( e8 b
for i=1:length(a)
: D  `9 b1 O! B# Y0 d# k    if yu(i)==0
# i+ t- c* G+ v8 y8 y        num=num+1;; e+ {& {: ]4 n" ^' i: a3 ~$ V
    end, M4 y; y9 e% l: X5 C1 n
end
1 f2 u4 l7 X" @$ knum
作者: biudiu    時間: 2015-9-9 10:53
列方程，用excel都可以/ I" I1 q+ L, Y7 t3 N$ s
你不給個上限，我可能寫到死！
( c6 e5 Q' C. H) O/ X一千以內(nèi)的
+ `0 D) M8 V/ D1 r: a) e9 `3        4        5- y( @# }: p& W
20        21        290 b  j3 _' K3 z
119        120        169: t( ?- _( e: ^$ e9 k- N! T2 O
作者: 海燕ZHpf    時間: 2015-9-9 11:11
鉆牛角尖。
作者: Pascal    時間: 2015-9-9 12:01
海燕ZHpf 發(fā)表于 2015-9-9 11:11 ( B! v0 ^8 f: y# w: Y3 C7 I1 b+ [
鉆牛角尖。

2 K/ [  S% P9 ?$ F& W7 z這是個純數(shù)學題目。/ [0 H+ H% Q" k1 M" ~
機械圈的可以認為是鉆牛角尖，數(shù)學圈子可不這么看。
作者: biudiu    時間: 2015-9-9 12:31
Pascal 發(fā)表于 2015-9-9 12:01
3 X& U3 h5 Y1 H2 i7 k4 \這是個純數(shù)學題目。# j0 e4 j% F% ]6 e, u& I1 A
機械圈的可以認為是鉆牛角尖，數(shù)學圈子可不這么看。

% j& e. y1 J9 h7 q4 v哈哈，大俠，我認為機械圈里也不是牛角尖" k  H/ L  p6 \  A, k

2 y+ J4 u" P+ e5 X9 ~有一次我設計中心架，在不改變初期計算的模型基礎上，為了保證好加工，好檢查，三角形三邊我都是整數(shù)，角度也是整數(shù)
, X. R7 f5 t* X. @; @. j
. }+ k7 F1 ]# u2 m6 a6 p' E' x8 ]2 {也就是勾股定理，加上excel，就解決了。。。。。
1 N0 t  ?' a4 Q  u# [4 ^, V
6 h( j* b1 \  M: H3 q5 E4 q5 ^* y  q# b% n5 V, L) V
# p0 ~& o/ ]* I& z7 R
作者: 陽光小院暖茶    時間: 2015-9-9 12:59
謝謝。機械社區(qū)就是好啊。不過，在網(wǎng)上有一個答案是這樣的，設u和v是方程x^2-2x-1=0 的兩個跟，則直角三角形的較短直角邊的邊長a=(u^n+v^n-2)/4,其中n為奇數(shù)且n>1.
7 E" n$ H3 M2 @0 e$ L9 p我一個個地驗算：* h) G8 b) V, ~9 K
當n=3時，a=3
% W/ X9 O9 H, R$ ~當n=5時，a=20
" z; h& F1 Q6 t4 _* x! E( A當n=7時，a=119
0 L+ j* R' F3 {3 N! X當n=9時，a=696# q" \# z; m5 ?* K
n=11后演算有點繁瑣，前面幾個全部符合要求。看來公式是對的。有人知道這個方法的由來嗎？
作者: Pascal    時間: 2015-9-9 13:23
海燕ZHpf 發(fā)表于 2015-9-9 11:11 " `1 K6 B% w" `8 l: ~
鉆牛角尖。
+ B- Z4 H# P/ E% M7 L7 H8 |5 e
1. 兩直角邊相差1，注意只差1) X1 P! J# w+ S6 ~, o, ?8 |- W4 U
2. 符合條件的解是否有無窮？我認為應該是無窮的，但我證明不了。
作者: shouce    時間: 2015-9-9 13:34
給出證明吧         看來你對這些問題很有興趣喲     給你來2個不同的
作者: shouce    時間: 2015-9-9 13:35
shouce 發(fā)表于 2015-9-9 13:34 ' f- |$ }! G7 y; `
給出證明吧         看來你對這些問題很有興趣喲     給你來2個不同的
7 J9 g4 n% Q, z! b
來2個. W/ i* m$ |0 r0 I6 q: g, e
作者: Pascal    時間: 2015-9-9 13:38
海燕ZHpf 發(fā)表于 2015-9-9 11:11 4 F/ f1 d! O  @: K$ B
鉆牛角尖。
7 s; O, [; ~5 s0 |( ~
再看看LZ一樓的原題吧，沒有說三邊比例是3：4：5 哦！1 K4 ]  Z; c2 L& C; y: V
作者: 海燕ZHpf    時間: 2015-9-9 13:45
本帖最后由 海燕ZHpf 于 2015-9-9 13:48 編輯
) w8 M% K0 d8 Y; D" O* Q% U% ~% h2 {: Q
最小的例子，3-4-5。最大的是多少？
作者: Pascal    時間: 2015-9-9 15:43
海燕ZHpf 發(fā)表于 2015-9-9 13:45 + U- e: I" |! e$ R0 x3 }
最小的例子，3-4-5。最大的是多少？

1 ?0 b2 ?" {3 P) o符合條件的解是有限個還是無限個？
# p& l% ]3 `/ C' G因為解是正整數(shù)，如果有無限個解，則沒有最大解；如果是有限個解，則肯定有最大解。- h( L4 u" o# Q' N3 V
問題是，怎么知道這個解是有限個還是無限個呢？這需要證明。
4 l: x/ @& Q! ]3 y8 e明白了么？
作者: DTxugong    時間: 2015-9-9 17:34
Pascal 發(fā)表于 2015-9-9 15:43
# F* P, D5 \7 \2 |符合條件的解是有限個還是無限個？. o! Q+ c( ~# e  u3 {
因為解是正整數(shù)，如果有無限個解，則沒有最大解；如果是有限個解，則 ...

0 w$ X7 q& X# z4 Y3 O& d/ q如果有有限個解，則肯定有最大解；這句不能認同；就好比你在說為什么無限不循環(huán)小數(shù)是無限的，如果是有限的就肯定可以數(shù)出多少個一樣；這個題目本來就有無限個解你還非要說如果是有限的呢？難道正整數(shù)有限嗎？加個勾股定理的前提條件，和直角邊長相差1就變有限了？你肯定會說你怎么證明是無限；呵呵
作者: 陽光小院暖茶    時間: 2015-9-9 20:10
DTxugong 發(fā)表于 2015-9-9 17:34
  V5 n% ]8 z0 ^% R+ c如果有有限個解，則肯定有最大解；這句不能認同；就好比你在說為什么無限不循環(huán)小數(shù)是無限的，如果是有限 ...

9 E4 v0 z' M. z+ \" F2 ]( `帕斯卡說的很對的。正整數(shù)無限個，這不用證明。但符合勾股定理的正整數(shù)三元數(shù)組是否有無限組，這是需要證明的，符合勾股定理并且直角邊相差1的正整數(shù)三元數(shù)組是否有無限組，這更是需要證明的。不能想當然地認為它是無限的。就像質(zhì)數(shù)是否有無窮多個也需要證明。
% N' N" K6 s7 ^* d% a1 U
作者: Pascal    時間: 2015-9-9 20:47
DTxugong 發(fā)表于 2015-9-9 17:34
4 V1 I2 @7 M) L4 m8 H& I, F如果有有限個解，則肯定有最大解；這句不能認同；就好比你在說為什么無限不循環(huán)小數(shù)是無限的，如果是有限 ...

- `+ N$ Q4 Z  g1 m3 c3 ~+ c19樓陽光大俠說得很好，建議仔細看看。" [* H, |. M4 N
1. 我也感覺有無限組解。但我證明不了；在沒有明確結(jié)論的前提下，我只能假設如果有限組解會如何，如果無限組解會如何。) e' S, L) ~3 O& e7 l
2. ”這個題目本來就有無限個解“，數(shù)學里面沒有本來的事情，除了公理。
; |  G8 p) z2 s9 o# S8 `( _# `
作者: 陽光小院暖茶    時間: 2015-9-9 20:53
shouce 發(fā)表于 2015-9-9 13:35
4 s5 p% ]9 N' G9 x1 c6 F% i( G來2個

, X- o" s  R& e4 J9 A3 W1 F懸鏈面表面積最小，擺線下降速度最快，呵呵
6 Z+ c. }9 r5 b4 I5 P這是變分法的內(nèi)容啊
, |* y2 L0 ~( Y" X0 j1 u我還不懂這些，式子列出來了，卻解不出來- i% g7 Q! K# M
看書都看不懂，就是那Morris Kline的書。9 I( U. T; [( [3 F! c
你若知道，給我講講如何解的吧
  W+ s6 a$ c% M* q! e# I& w- z4 P7 F  ?& V" L; ?# n
作者: DTxugong    時間: 2015-9-10 08:30
Pascal 發(fā)表于 2015-9-9 20:47
+ E; i" o* g- L, j( J$ T19樓陽光大俠說得很好，建議仔細看看。
' P+ h* W( K! L1 q# [  y; w1. 我也感覺有無限組解。但我證明不了；在沒有明確結(jié)論的前提下， ...
; m/ i5 G* |$ u
你們兩個真是啊；是想把這題上升到世界難題的高度嗎？質(zhì)數(shù)有無限個解幾乎是所有人都認同的；也有好幾位數(shù)學家通過方法證明了；樓主要否定國際觀點，認為質(zhì)數(shù)有有限個？這題本來就是一個數(shù)學題目，難道一個二元二次方程在正整數(shù)范圍內(nèi)不是有無限解嗎？難道一個無限解的方程你要說你給我證明為什么有無限個解？否定科學的態(tài)度并不代表嚴謹；
作者: Pascal    時間: 2015-9-10 09:47
DTxugong 發(fā)表于 2015-9-10 08:30 , i' Z+ q! Z% m8 C: @
你們兩個真是啊；是想把這題上升到世界難題的高度嗎？質(zhì)數(shù)有無限個解幾乎是所有人都認同的；也有好幾位數(shù) ...
% |9 c: H5 j; X$ g# U" G8 D: @0 R

: Q- X; h7 q/ |# ~& m1.  我主觀上沒有把這題目上升到世界難題的想法，客觀上也沒這個能力。
; k1 L! \) k" P1 f4 ?3 E2.  質(zhì)數(shù)有無限個是已經(jīng)被證明的，我和陽光大俠哪里否認了這個結(jié)論？
, `' f  b$ f; Y7 m9 \3. “難道一個無限解的方程你要說你給我證明為什么有無限個解？否定科學的態(tài)度并不代表嚴謹；”( t7 U$ ?$ ?; F9 |* z
    知道張益唐么，他窮畢生之力，才證明了一個弱化版的孿生素數(shù)猜想，也就是孿生素數(shù)有無限個。4 ~; i/ ^" f2 g2 {" u, B$ ~7 M
   是不是張益唐的態(tài)度很不科學，很不嚴謹？！
作者: 陽光小院暖茶    時間: 2015-9-10 11:10
我也是恍惚間好像在哪里見過報道，呵呵，數(shù)論這東西，水太深
作者: DTxugong    時間: 2015-9-10 11:39
陽光小院暖茶 發(fā)表于 2015-9-10 11:10 $ N4 e& z+ V/ U+ p$ c- j3 m
我也是恍惚間好像在哪里見過報道，呵呵，數(shù)論這東西，水太深
0 T, P6 H9 [2 ?# L
我說的是本題的二元二次,X^2+（X+1）^2=Z^2;你給我解解是不是無限；一個鉆牛角尖的人，帶著自以為是的觀點；數(shù)學是無窮無盡的，自己水平都沒到還去質(zhì)疑科學家的理論；是不是到現(xiàn)在1+1=2都沒有被證明，你就不用了？回頭看看你1樓的問題，再找個數(shù)學家?guī)湍闳拷庹页鰜戆桑徊粚Γ绻麛?shù)學家說有無限解，你就會問 為什么啊？哎，不用回我了，爭論這些沒意思；
作者: 小曹11    時間: 2015-9-10 11:56
要給個上限才行啊3        4                        51 y+ c4 O, E/ M6 j' W  ]/ x
20        21                        29
% e1 [+ B( m! m: @- i' ~2 o119        120                        169
# K7 @. @3 S4 Q( y696        697                        985  ~9 d! @* A$ m+ F$ j' Y# \8 r
4059        4060                        57415 M6 I: F& b$ L) a6 P
作者: 小曹11    時間: 2015-9-11 11:59
我愛9580 發(fā)表于 2015-9-11 08:08
3 W, Y# K+ C; w: R; `  \  }有同學能給出方法嗎？
& F. ]7 \$ Y. _. o4 [! v% |) T6 Y
用表格或者C語言很簡單的
1 G3 @5 l8 [: i- u, f
作者: pacelife    時間: 2015-9-13 21:29
100萬之內(nèi)只有8組符合要求，計算機也要算好一會的
作者: fwsc    時間: 2015-9-13 23:30
DTxugong 發(fā)表于 2015-9-10 11:39 ! }" z* V1 Y6 ~- G7 U
我說的是本題的二元二次,X^2+（X+1）^2=Z^2;你給我解解是不是無限；一個鉆牛角尖的人，帶著自以為是的觀點 ...
9 Z9 K: \  U6 \4 E7 B0 n+ I2 |1 F
未被證明的1+1=2，不是數(shù)字1+數(shù)字1=數(shù)字2，它是歌德巴赫猜的代稱。. [+ I( w  x! t0 Z8 @
) d- q. ]! W0 u) `# E
歌德巴赫猜猜想：每個不小于6的偶數(shù)都是兩個奇素數(shù)之和。例如3+3=6；11+13=24。7 D: R( Y1 x* {% D5 R% r
7 V4 G; n. k' ]+ g. x7 u
兩素數(shù)之和[簡稱(1+1)]，所以形象稱其為1+1。* l. O! M0 E" m6 h4 r* J) A9 V
- G2 [7 J' u# }" ]
不小于6的偶數(shù)，形象稱其為2，也有人說1+1=2。
; u* Y$ g* f: V5 L' {+ c9 w% v
作者: fwsc    時間: 2015-9-13 23:56
假定直角三角形的邊為a、a+1、b
6 l2 @" x; `6 F4 b
: f- O# `  @9 @" w8 }! q% ?+ t, u則b^2=a^2+(a+1)^2- A3 O: }* k9 _3 c6 s% d  h
* D8 q4 S" n6 d' p6 T( V
得到a=[sqrt(2b^2-1)-1]/2，a>0，排除負根
9 H' n) Y- w% `1 z
4 D; h5 T% r! ]( A顯然[sqrt(2b^2-1)-1]為偶數(shù)，否則a不可能為整數(shù)  K/ Q& ?; E  @/ `0 d8 G0 c$ I
4 K: H4 P: s" b- m2 J
令[sqrt(2b^2-1)-1]=2p，得到b=sqrt(2p^2+2p+1)9 a4 F3 a+ O/ `/ Y
! K7 d$ x* _; B7 f! J: C
將b代入a，得到a=sqrt(2p^2+2p)+17 T* A1 ]0 _$ M( k1 }
% l8 q, _+ Q; ^% L. A& q2 z6 j
下面我沒轍了) {& T- ?/ Q3 ^( X, {

9 ~3 J$ P+ F( `: W- `
作者: 好學很好學    時間: 2015-9-15 14:04
excel
作者: l315609843    時間: 2015-9-16 14:07
xiong__007 發(fā)表于 2015-9-9 10:22
$ P* Y- G- ~: {# y) I三邊的邊長恰好是整數(shù)，這個條件不好做

, s! A( j! c4 C6 h直角三角形，怎么可能三邊邊長一樣啊% [& Z+ T+ d, l/ ~/ p$ x. c- A
作者: xiong__007    時間: 2015-9-16 14:51
l315609843 發(fā)表于 2015-9-16 14:07 ; W' Y$ Y6 d! d1 F4 l8 q" H% O
直角三角形，怎么可能三邊邊長一樣啊

( `  J' Y$ {7 B0 f% {請把樓主的題目看全  S: M2 ]* q: k
作者: dianfy    時間: 2015-9-19 14:37
各位數(shù)學學得不錯啊



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