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標題: 公理——數學的基礎 [打印本頁]
作者: 掃街    時間: 2014-10-16 11:19
標題: 公理——數學的基礎
在傳統邏輯中，公理是沒有經過證明，但被當作不證自明的一個命題。因此，其真實性被視為是理所當然的，且被當做演繹及推論其他（理論相關）事實的起點。當不斷要求證明時，因果關系畢竟不能無限地追溯，而需停止于無需證明的公理。通常公理都很簡單，且符合直覺，如“a+b=b+a”。
& @6 ?; `/ i  W) }. O2 L3 |# l- P不同的系統，會預計不同的公理。例如非歐幾何的公理，和歐氏幾何的公理就有一點不同。比如說我們看歐式幾何。在幾個簡單的公理假設下，我們可以得到一系列的結論，很多是深刻的，甚至是反直覺的。在建立這個模型之后，一個重要的問題就是我們需要幾個公理來建立這個模型。比如歐式幾何的每個公設是可以由其他公理得出的一個定理/結論？還是必須也是一個公理？/ J# P% M% u; D
比如歐式幾何里“過給定直線外一點，有且僅有一條直線與之平行”在很長時間內是不清楚它的位置的，后來發現對于歐式幾何，你可以認為是這個體系的“公理”，只有認定它，才有后來的美妙結論。& x4 Y" a. i; s5 g! U" A7 B
沒有它呢？那時你就進入了另一個模型，你會得到其他的美妙結論：）
/ n) e5 v$ ~0 M  G8 u所以，在不同的公理假設下，我們得到了不同的數學體系，以此為基礎，我們就可以得到對現實和對數學本身的各種模型。這種公理化的一個好處是，當你覺得現在的數學模型并不適合現實，或者并不滿足理論發展需要時，有可能只是你假設了太多的公理前提，換一套公理，換一套前提，你就能得到很不一樣的數學體系，原本的困難可能就很容易解決了。
' m- [% |9 B9 N& Z  M% r不證自明性是公理的特點，這也是為什么數學家質疑歐幾里得的第五公設——平行公理的原因，平行公理看起來并不象其他幾條公理一樣明白了當（比如第一條公設：任意兩個點可以通過一條直線連接），而非歐幾何的建立，也正說明了第五公設的不必要性。
( s8 K$ `8 d7 |$ c從一方面說，公理也可以看作是對于一些一般經驗的總結，這些總結是無可爭議的正確的，還用第一公設說，“任意兩個點可以通過一條直線連接”不管這直線如何定義，總之兩點之間可以連出一條線（天知道在哪一維空間里就是一條直線叻？），這既符合直覺，也是簡單明確的事實。3 I! T! H  ~  p) O, O
從數學邏輯的角度，要證明一個定理就要證明導出這個定理的定理，進而要證明導出導出這個定理的定理的定理.......這樣一直往回走，我們需要證明一個定理串，如果這個過程無限回溯顯然是不可接受的，必須要有一些“東西”作為這個定理串的源頭，回溯的過程終止與這個源頭，這個源頭我們就說它是“公理”，當然如果這個源頭與某條已知公理違背，則這一串就都是假命題了。2 q2 e; h6 }% N/ H  n$ Z3 |3 I
扯遠了，回到公理上來，形式主義數學家如希爾伯特，就通過建立形式化公理體系，把數學帶到了一個更加嚴密的世界中來了。每一套公理體系中的公理，必須互相獨立，且相容，否則就有矛盾了。所以一個公理背后是一套公理體系，這樣就構成了一套數學的基礎。
) h& J9 E7 k4 @* s% r7 R( k數學的圖景也沒有那么統一的，一套非偶的公理體系，就一個非偶幾何空間（當然希爾伯特老先生的幾何公理體系吧幾何學統一了.....可不可以不要這么強大嘛~~）；一個連續統假設，分出兩個數學的世界，
" u5 ?/ R) g; v0 @3 f% T/ P總之公理，公理體系，就是數學的的底樁。; A6 K+ e. _  V1 f6 e

) C/ A( p6 R7 z2 B. y" j  A9 ^( R點評：
7 B  ~, j! M8 o那問題就來了，三角形的內角和為什么是180度( ^6 Z( O: P% l+ P

# I+ `. ?9 b8 `- K+ e
作者: 鬼魅道長    時間: 2014-10-16 11:58
倒時差中，無聊ing3 m$ G1 w1 c; E8 b: i( S
證明：任意三角形內角和為180°
& u9 k7 c8 ?; W5 i- q) b; c證：設三角形三端點為A,B,C，其對應邊為a，b，c/ X' O; B, R; D& J
       通過A點做一條直線l，使 l 與邊 a 平行
, w3 @% p- g( P: }, K2 y7 q- c      由平行線定律可知，角BCA與角CAl 相等，角CBA與角BAl 相等
% i: J; n. {5 o* v0 o# t      由圖中可知，角CAl+角BAl+角CAB組成直線l
0 _$ p' `, y) a) ~  D6 p      由公理：直線夾角180°，
' V; M$ h8 J7 ~7 w      可知任意三角形內角和180°# y( ]9 M7 V) r
證完
. X7 l( a) o( m3 x# a) C& R4 V# Y' h, R3 ^. Y; [
l 是雙向的，所以其實這個證明不完整，懶得再畫圖了，就這樣吧。4 b9 S2 ?0 x* g$ P; Z4 A
今兒個我真閑，哈。
作者: 米fans    時間: 2014-10-16 12:08
大蝦好功力
作者: 探索號QM    時間: 2014-10-16 12:54
建議大家參考維基百科---球面三角學.
6 X: C0 ?! Z; N) Z$ i/ ]# ?" Jhttp://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%90%83%E9%9D%A2%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%AD%B8
作者: pain    時間: 2014-10-16 12:57
三角形的內角和是180度 是定理而不是公理。
) {' ?6 Y) s: U) F9 ^* x' R這個不用解釋。
作者: Pascal    時間: 2014-10-17 11:55
還有基本概念也是數學的基礎。! T# N2 U6 Y- O" H4 U  h
就拿咱們熟悉的歐氏幾何為例，在定義、公理的基礎上，才能推出后面的命題。' l6 i* x" a( J, X& l0 w) y
定義就是概念。
作者: lglabc2008    時間: 2014-10-17 21:54
學習了
作者: 三八大蓋    時間: 2014-10-18 10:46
我怎么記得上中學的時候老師給過證明
作者: 405452975    時間: 2014-10-18 16:07
學習！！
作者: 樂小白    時間: 2014-10-19 08:51
這個問題畫個圖出來看很明顯就能證明，前提是認可平行線定理，當然也可以先求證平形線定理。' ~. t$ E- q9 i" ?3 Q
看到樓主的問題讓我想起來高中時候的一個問題：1/3=0.33333…………無限循環根據等式定理兩邊同乘以3得出的是3/3=0.99999999……無限循環，那么問題來了：1=0.99999……無限循環是怎么解釋的？！
作者: Pascal    時間: 2014-10-19 12:22
樂小白 發表于 2014-10-19 08:51
( q3 Y2 Q4 u7 H* ]* \, t" Y6 k這個問題畫個圖出來看很明顯就能證明，前提是認可平行線定理，當然也可以先求證平形線定理。
8 Q1 x: \' ]/ K; _5 F看到樓主的問 ...
. h& M  J# g3 q% J3 k7 T
  截圖來自張奠宙的《現代數學與中學數學》P1090 o2 q% D5 ~; U% l, r$ W; `' B

6 E( w4 |* N; o4 |1 A( G  W9 {
  F- ~$ J8 r; c- X
作者: Pascal    時間: 2014-10-19 12:36
樂小白 發表于 2014-10-19 08:51
5 n- n" L8 T3 w5 D$ \這個問題畫個圖出來看很明顯就能證明，前提是認可平行線定理，當然也可以先求證平形線定理。' v6 J2 O) A5 e* m) Q
看到樓主的問 ...

/ }$ n) c( V% A( v9 c/ n0 e7 ]( b0 _加德納的《無限過程——數學的分析的背景》P74~75, P143& p- A2 i$ x' R* @( S
& K3 [0 J, B+ b/ V8 o

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作者: 樂小白    時間: 2014-10-19 14:20
Pascal 發表于 2014-10-19 12:36 - c! u* _5 n. g# J( `) M
加德納的《無限過程——數學的分析的背景》P74~75, P143

& `7 ^7 b2 H% @2 v" C# z受教了，原來前人已經有了相關的研究，多謝大俠賜教！
6 Q' Q2 [8 i/ L1 U



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