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標題: 讀書筆記之三---謹慎使用傳遞性 [打印本頁]
作者: Pascal 時間: 2014-8-16 21:40
標題: 讀書筆記之三---謹慎使用傳遞性
本帖最后由 Pascal 于 2014-8-16 22:39 編輯 & M: g2 ^- K- d! R& E
3 Q# K. m, D, o. Q
這是筆記系列之三。
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) s, z7 M7 l' m$ D) b之一是$ P; X: i, M, y( J$ i0 [
http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=362805
3 n: I4 M& c4 X" ?2 p1 T, Z3 N: |) `# B; t
之二是
$ B! p% I9 T7 \1 X# U" T5 B5 Phttp://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=364734
! `; u6 V0 N) ]+ U9 _3 @6 P; K3 X2 L* X6 w3 F r) w
1.在數學中,我們普遍使用傳遞性,如在實數范圍內
a=b,b=c,則a=c
a>b, b>c,則a>c
$ w; D6 l& ]2 y" c: |' k! y5 |* x1 L/ d9 s* j3 x
2.但在現實生活中,使用傳遞性則要謹慎。
讓我們看看這個問題:有一個2人游戲,甲乙二人來玩,每個人獲勝的概率都是50%,也就是說此游戲對甲乙二人來說是公平的;同樣,此游戲對乙丙二人來說也是公平的。我們能否推導出---此游戲對甲丙二人來說也是公平的?
: \$ g; h& `5 a% V q
' H# P) C$ M2 r2 ]3. 答案是否定的---即此游戲對甲丙二人來說不一定是公平的。
3 Z/ \* A1 u- K9 \, L2 Z4. 我們可以考察以下例子,比如說這是一個扔硬幣的游戲,以硬幣向上的數字大小定輸贏,即比較硬幣上面的數字,數字大的贏。硬幣非常薄,也就是說硬幣不會立在桌子上。
A.甲的硬幣一面是數字7,一面是數字3;乙的硬幣一面是數字9,一面是數字1。乙如果扔出9,必勝;扔出1則必輸,因此乙獲勝的概率是50%,同樣甲獲勝的概率也是50%,即此游戲對甲乙二人來說是公平的。
B.丙的硬幣一面是數字6,一面是數字2;我們同理可得乙獲勝的概率是50%,同樣丙獲勝的概率也是50%,即此游戲對乙丙二人來說也是公平的。
C.但是,如果甲丙2人來玩,會發生什么情況呢?游戲還是公平的嗎?
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作者: 伏虎降龍 時間: 2014-8-16 21:54
離散變量,好像是不公平。) v2 x4 U; L; m; I0 D: f
但是如果是連續變量呢?根據“實數集”那些理論,是否會導出公平?
Q$ q; D8 K, z% o9 F請大蝦分析。
作者: 原諒我今天 時間: 2014-8-16 22:32
這個……用斗獸棋來解釋不是更形象嗎?
作者: Pascal 時間: 2014-8-16 23:01
伏虎降龍 發表于 2014-8-16 21:54 
& j: W# ~# ]% S0 a離散變量,好像是不公平。% }( I* ` @) H
但是如果是連續變量呢?根據“實數集”那些理論,是否會導出公平?
) d, Z+ M, ^- }5 n5 q請大蝦分析 ...
4 f8 O% F M# u% O, I
如果是同樣的概率分布,但數學期望值不同的話,還是不公平的。! ~# S0 k. |) {6 z) B
作者: Pascal 時間: 2014-8-16 23:05
我們看看甲丙2人來玩,會發生什么。( _. q1 g+ V4 A9 c, P1 g( @
丙扔數字2,則必輸;扔數字6,有一半機會贏。考慮到扔2、6機會是一樣的,就是說甲丙玩這個游戲,丙贏的概率只有25%,而甲贏的概率有75%。
+ ~) }" N3 s# i& S% t s W2 R所以,對甲丙二人來說,這不是一個公平游戲。
作者: Pascal 時間: 2014-8-16 23:11
或者我們還可以讓題目更簡單點,乙的硬幣不變,還是數字9和1;0 ^& I5 r* t0 {
甲硬幣變成數字7和6,丙硬幣變成數字4和3。
0 A! m% Q2 z# G# S4 Q對甲乙來說,還是一個公平游戲,勝率各一半;對乙丙來說,也是一個公平游戲,勝率各一半。/ A* i3 h3 E& X6 w+ f0 C3 U
只是如果甲丙來玩的話,甲總是贏,丙總是輸,這就是個絕對不公平的游戲了。
作者: 122747557 時間: 2014-8-17 11:08
能用傳遞性的都是要在同一性質下的吧!
作者: Pascal 時間: 2014-8-17 20:34
上面說了公平不能傳遞,“原諒我今天”大俠還提到了足球、斗獸棋的例子。
( v6 D# C' L6 r) f9 P下面我們來看看不等量--經濟學上叫偏好--能否傳遞。. y; c% H( ?# M1 g u! }
1. 華夏國某鎮為推廣旅游經濟,想選一個鎮花出來,經過充分的調查研究,相關部門推出了3種候選花---油菜花、杜鵑花和桂花。
! b# L& H K4 v' _6 h2. 選舉人為該鎮全體居民,并且我們還假定,對每個人來說,偏好可以傳遞;即如果某人喜歡油菜花多于杜鵑花、喜歡杜鵑花多于桂花,那么此人必定喜歡油菜花多于桂花。也就是說個體選擇有傳遞性。
8 q+ n9 @8 h1 L3 k) ?3. 經調查發現有2/3的居民喜歡油菜花多于杜鵑花,有2/3的居民喜歡杜鵑花多于桂花。- V! `" V& o9 K( z- s. v* u
4. 能否得出結論---這次鎮花選舉中油菜花將勝出?
作者: Pascal 時間: 2014-8-18 12:18
能否得出結論---這次鎮花選舉中油菜花將勝出?
4 _( q7 V$ l* r4 g還真不一定。
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9 i# h9 h& b9 I% ^; r1. 比如該鎮有1/3居民對花的偏好是最喜歡油菜花,其次杜鵑花,最后桂花;我們把這個群體稱為A群(油菜花,杜鵑花,桂花)。
% v: O- ]/ w* X 有1/3居民對花的偏好是最喜歡杜鵑花,其次桂花,最后油菜花;我們把這個群體稱為B群(杜鵑花,桂花,油菜花)。
! p' b6 \+ S9 y# y! X0 L f v: Z: _ 有1/3居民對花的偏好是最喜歡桂花,其次油菜花,最后杜鵑花;我們把這個群體稱為C群(桂花,油菜花,杜鵑花)。
- R. N* y2 ]0 T* }/ g( M2. 現在油菜花PK杜鵑花,A、C都是喜歡油菜花多于杜鵑花,只有B不是;即2/3的居民喜歡油菜花多于杜鵑花。
) Y' m6 z' \4 h( n% p5 N& [ 杜鵑花PK桂花,A、B都是喜歡杜鵑花多于桂花,只有C不是;即2/3的居民喜歡杜鵑花多于桂花。
5 V7 j6 u- r4 R- a3 o4 d$ k3 f# D3. 是不是就可以認為該鎮居民最喜歡油菜花了?別急,我們再來桂花PK油菜花。
/ Q" `2 J% _' T5 z, J 桂花PK油菜花,B、C都是喜歡桂花多于油菜花,只有A不是;即2/3的居民喜歡桂花多于油菜花。+ H( s4 g% J3 w+ Z& g' p
4. 2/3的居民喜歡油菜花多于杜鵑花,2/3的居民喜歡杜鵑花多于桂花,2/3的居民喜歡桂花多于油菜花。8 g1 J; n7 ]$ k& \
即油菜花優于杜鵑花,杜鵑花優于桂花,而桂花又優于油菜花!. G) w. Y( C' V# G% J1 _
怎么會這樣!形成連環套了。
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作者: crazypeanut 時間: 2014-8-18 14:02
不同的樣本空間不能混為一談
作者: crazypeanut 時間: 2014-8-18 14:16
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1.在數學中,我們普遍使用傳遞性,如在實數范圍內
a=b,b=c,則a=c
a>b, b>c,則a>c
】
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這個為何可以用傳遞性??注意a,b,c,這三個變量,都是處于實數范圍內的,他是同一個層面的東西2 U2 z3 G# U9 R* H: ~
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2.但在現實生活中,使用傳遞性則要謹慎。
讓我們看看這個問題:有一個2人游戲,甲乙二人來玩,每個人獲勝的概率都是50%,也就是說此游戲對甲乙二人來說是公平的;同樣,此游戲對乙丙二人來說也是公平的。我們能否推導出---此游戲對甲丙二人來說也是公平的?
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! Y& m1 P) H8 X這里為何不能用傳遞性了??注意這三次游戲,A=【甲,乙】,B=【乙,丙】,C=【甲,丙】,這三者的樣本空間互不相同,沒有關聯性;除非我們定義新的樣本空間,Ω=【甲,乙,丙】,若甲獲勝=1/3,乙獲勝=1/3,此時可以推斷丙獲勝=1/3,因為他們處于同一個樣本空間,有P(丙獲勝)=P(Ω)- P(甲獲勝)- P(乙獲勝)=1-1/3-1/3=1/3
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作者: Pascal 時間: 2014-8-18 23:09
在鎮花選舉的例子中,每一個個體的偏好都有傳遞性;但個體選擇的可傳遞性在集體選擇中消失了。# k" s; ~9 H* g. t1 Y2 z
這就是孔多塞悖論,也叫投票悖論。
作者: stoplonely 時間: 2014-8-19 22:17
數學大俠又來教學了,圍觀學習。
作者: 鏡月 時間: 2014-8-20 10:25
你硬幣都換了,還是同一個游戲嗎?搞笑呢!
作者: Pascal 時間: 2014-8-20 11:36
鏡月 發表于 2014-8-20 10:25
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你硬幣都換了,還是同一個游戲嗎?搞笑呢!
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硬幣沒有換哦,你看第一樓,甲乙丙三人硬幣是固定的,雖然三人手上的硬幣不同,但此游戲對甲乙2人是公平的,對乙丙2人也是公平的。
5 g& c! t: M) ?$ i9 {并且這個模型在現實中也是有意義的,并不是所有參賽選手都玩同一個硬幣才叫游戲。
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歐美發達國家領先我們幾十年了,他們會讓我們和他在一個平臺上fair play?
* S5 T! q% r- H( H/ ]我們只能立足于手里的硬幣和人家玩,并且還要爭取一個對自己有利或公平的規則!
作者: 一劍的溫柔 時間: 2014-8-20 14:32
小李愛上了小紅,小紅愛上了小張,請問小李會愛上小張么
作者: Pascal 時間: 2014-8-20 15:01
一劍的溫柔 發表于 2014-8-20 14:32 
/ w! v' p7 f- p小李愛上了小紅,小紅愛上了小張,請問小李會愛上小張么
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哈哈,溫柔社友高人啊,不過還有下一句呢,怎么不說?
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數學界流行的一個笑話。. q1 l4 A+ p. l8 y' f- \' |: O
一天,一位統計學家遇到一位數學家說:“你們都說如果a=b,b=c則a=c.那么如果你愛一位女的,而那個女的愛另一位男的,那么你也就是愛那個男的哦!!”
+ o8 G% u+ H* V6 {4 o+ }$ C$ e+ N! _數學家說:“如果你左手放在一杯100攝氏度的沸水里,右手放在0攝氏度的冰水里,那么你也就不會覺得有事哦,因為平均溫度不過50攝氏度而已。”
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