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機械社區

標題: 計算繩子的長度，大家來做題目吧^^ [打印本頁]

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作者: fmdd    時間: 2013-9-21 23:17
標題: 計算繩子的長度，大家來做題目吧^^

  v7 v! j3 n! ?( S5 H7 F1 w
大家來做題目吧^^

0 G4 o' N2 e$ t" y9 V假設一顆鐵球，拴了一根繩子。

' q; S3 `( j: H4 L% a# _/ A0 `+ D5 b該鐵球位于地球赤道上方，繩子垂直于地面向下，鐵球相對于地面保持靜止。

# G2 J# a2 S, X該鐵球相當于衛星，有點類似于地面上的一個棒棒糖。

3 O$ n3 p) l; q1 J& s. I假設繩子密度是均勻的，而且足夠結實不會被拉斷，請問繩子需要有多長？
- G# r: G3 e0 g& V$ A% Q9 U& Y
6 p8 h& E: e4 `$ z; B" B6 a( d各物理量可以百度，比如重力加速度g、萬有引力常數G、可以百度得到。
5 Y, x0 _4 e9 |& o: {: A) Q
計算過程中的未知量，比如鐵球重量等等可以進行假設。

補充一個圖：

' w& z9 M; J; j% H[attach]297623[/attach]
1 u/ X) F: \2 ]# l; F' }& L
- V4 A  ?$ w! j8 B+ F0 H謝謝"探索號QM"的答題，他的計算模型中，是假設繩子對鐵球無任何影響。

/ g( h+ p  X! I4 C4 |. y8 z! E- h8 U現在增加點難度，需要考慮繩子的影響。

% k) n- o* M) e由于有繩子的拖累，鐵球需要有更大的離心力，才能帶著繩子相對于地面保持靜止。

" o6 x* Z/ q6 A/ }2 }% o2 Z4 \不計空氣阻力的影響，也不計繩子和鐵球之間的萬有引力。

  F( f, i) a$ Z4 ?給定一些可能會用到的參數(只是可能)
鐵球質量：1kg
繩子直徑：10mm
! i2 a- |" }3 Y& m繩子線密度：0.1kg/m
3 a0 l0 m" n$ R' J/ y! k! |! f繩子的剛度：無窮大
0 L# `/ r3 s: q" d& y- w8 |& @

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作者: zerowing    時間: 2013-9-22 01:10
...地球同步衛星？

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作者: 好方案    時間: 2013-9-22 01:45
同步衛星的軌道半徑有定數的，度娘。

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作者: 探索號QM    時間: 2013-9-22 05:38
如果只考慮地球自轉，那等式建立的概念是重力加速度等于離心加速度。
G*M*r^-2=r*ω^2
5 C' e, m# H# T; w其中:
; q- o; \# u% }8 t' @G --- 重力常數，6.67*10^-11(m^3/(kg*s^2));  M --- 地球質量，5.97*10^24kg;  ω --- 自轉角速度，7.27*10^-5 rad/s ; r --- 該球離地心距離
2 x# L7 w4 Z( D8 ~) T由等式得： r=(G*M*ω ^-2)^(1/3)=4.22*10^7m=4.22*10^4 Km
/ l9 n& W3 L- u$ N- C繩子長度是r減去地球赤道半徑，即：4.22*10^4-6378=35822 Km.

---

作者: fmdd    時間: 2013-9-22 07:02

探索號QM 發表于 2013-9-22 05:38
如果只考慮地球自轉，那等式建立的概念是重力加速度等于離心加速度。
: C8 Z; H* e% l1 v$ y5 w6 j3 }+ aG*M*r^-2=r*ω^2
其中:

1 [5 V$ e; \$ j' f* i' y謝謝，繩子的自重也需要考慮
3 O+ d1 K8 u9 Q+ S2 K' g5 R4 R8 l' k
- U, W& H9 @; ~0 [! T- N- r4 ]+ w
, {! v9 W) o; t# L  G- e5 P

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作者: 付明花    時間: 2013-9-22 07:35
有深度

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作者: /_cast_王珂    時間: 2013-9-22 07:40
同步衛星的高度為H = 35,786公里。
鐵球重量無關，是不是繩子重心在H上就可以了？那繩子就是2H

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作者: qdtruck    時間: 2013-9-22 08:38
hehe,高科技！

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作者: 聽雨的小雞    時間: 2013-9-22 08:39
實在是不明白樓主你在說什么。。。。。不明覺厲！

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作者: 學武書生    時間: 2013-9-22 09:07
復雜

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作者: 探索號QM    時間: 2013-9-22 10:21

fmdd 發表于 2013-9-22 07:02
謝謝，繩子的自重也需要考慮

- e8 M0 ?4 b8 {' s繩子與球的共同質心離地心和赤道表面的距離已經可以確定，不必重復，并利用其數值建立以下質心平衡方程：
* H  W- i- a. n(Ms+Mq)(r-rc)=0.5*L*Ms+L*Mq
其中：Ms --- 繩子重量并等于0.1L(kg) ;   Mq --- 球的重量=1kg;  r-rc=35822 km;
將繩子重量等式代入上述質心平衡方程，可得到一個關于L的一元二次方程，可得到：
% _( j3 ]! I3 u- N/ a- |L=71634 km

5 W. s% N2 T0 V

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作者: 逍遙處士    時間: 2013-9-22 19:07

- W( I5 v- a) D
0 b. T# S; r* C, h# q[attach]297690[/attach]
7 o/ F2 [+ C, }  C$ m* t[attach]297694[/attach]
! t9 c# D1 D! A[attach]297692[/attach]
( J* j' B3 u) u$ A* u. W請樓主批評。

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作者: 哎瘋    時間: 2013-9-22 20:37

探索號QM 發表于 2013-9-22 05:38
0 m+ l' T4 i: S% [* d7 t如果只考慮地球自轉，那等式建立的概念是重力加速度等于離心加速度。
G*M*r^-2=r*ω^2
其中:

只要繩子的長度和衛星的高度一樣不就行了，也許要考慮空氣的摩擦，但是如果繩子夠細的話，也可以不用考慮，還是考慮會不會被其他的星球絆倒吧，綜上所述，別用繩子了！
& _/ T$ W. l: {! G% H' y

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作者: fmdd    時間: 2013-9-22 20:50

探索號QM 發表于 2013-9-22 10:21
9 l! k4 d  G) c5 ~" f繩子與球的共同質心離地心和赤道表面的距離已經可以確定，不必重復，并利用其數值建立以下質心平衡方程： ...

謝謝“探索號QM”的解答！
9 ?% c7 \  c8 M1 x$ Y/ z7 ^% e
2 E$ s7 K1 g3 W4 S* L" C4 E由于繩子和地球之間的萬有引力與距離的平方成反比，計算其萬有引力的時候，不能用質點法("形心")來等效，質心法過于理想化，精確點的解法是沿著繩子長度方向積分來計算總萬有引力，兩種計算方法差異比較大。
; {+ w% }: t1 f0 H$ C
) n! p  Z; v7 A再次感謝！
& `" j: A. v2 o% J4 X

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作者: fmdd    時間: 2013-9-22 20:53

逍遙處士 發表于 2013-9-22 19:07
請樓主批評。

謝謝逍遙兄的解答！

函數圖象中沒能看出縱橫坐標所表示的含義，也沒能看出圖形交點的坐標值

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作者: 逍遙處士    時間: 2013-9-22 21:56

fmdd 發表于 2013-9-22 20:50
* x( Q/ d) Z( u/ D" r- z謝謝“探索號QM”的解答！
1 [% |, M* ]9 m; j8 h
由于繩子和地球之間的萬有引力與距離的平方成反比，計算其萬有引力的時候， ...

' L( I* Z9 B- \5 M+ _沒錯。
[attach]297700[/attach]
  _$ P1 c. f1 k當L2遠遠大于b時，可視為limb=0，將b=0代入最后一式，可得find(L)→L2。也就是說，當兩個質量體相隔距離非常遠時，遠大于物體本身的尺度時，質量體可近似視為質點。
8 P, c% L4 R/ g9 b: k
所以當繩子-鐵球系統到地心的距離遠大于其本身尺度時，用前面朋友的簡化質心的方法，也是可行的，結果也應該是相當精確的。

---

作者: 逍遙處士    時間: 2013-9-22 22:05

  K" e0 T3 Z, N0 P

fmdd 發表于 2013-9-22 20:53
/ c; z2 _6 E! y: ]; j0 Y. D謝謝逍遙兄的解答！

函數圖象中沒能看出縱橫坐標所表示的含義，也沒能看出圖形交點的坐標值

如圖，當繩子長度為 1000m 時，若想鐵球-繩子處于平衡，則鐵球到地心的理論距離在 42160360.0m 與 42160360.1m 之間。
3 H) `# Y6 ?0 m* q; N
% i0 D2 {. G1 {/ [, P9 W[attach]297702[/attach]
5 S4 m. b; n+ J; }3 O/ V# ~
8 ^. B# ^& X4 e當繩子長度為 10000m時，鐵球距離地心的理論值在 42164860.2m 與 42164860.3m 之間。

0 n" e! X+ w1 D0 X/ ?[attach]297703[/attach]

9 x2 j8 U' w# ^4 @* {- y! F; u1 |: ]不知與fmdd兄的計算結果是否符合。

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作者: fmdd    時間: 2013-9-23 00:06

逍遙處士 發表于 2013-9-22 22:05
如圖，當繩子長度為 1000m 時，若想鐵球-繩子處于平衡，則鐵球到地心的理論距離在 42160360.0m 與 421603 ...

* Z; X8 s7 `9 H  K! l8 A% @. V多謝逍遙兄和前面參與計算討論的探索號QM，辛苦大家了！
: k# V' ?7 \& O$ j3 V( v) ~
; z3 Y7 ~- p+ v; r$ A0 p* z我的計算如下：
8 b8 {2 r  D3 V. I



* G! r  t: S7 x- p* C

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作者: supperslz    時間: 2013-9-23 08:41
理論源于實踐！

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作者: 逍遙處士    時間: 2013-9-23 08:44

! _- }8 m$ F6 d: ]

fmdd 發表于 2013-9-23 00:06
2 J2 _( q; @7 O# O7 L5 e4 M: W多謝逍遙兄和前面參與計算討論的探索號QM，辛苦大家了！

我的計算如下：

地球同步衛星的軌道高度為 35786 km，這個高度是鐵球受到的離心力和地球對它的萬有引力的平衡點。
, A% A4 p: a' R' C# R8 `, ~若繩子長度為 144400 km，且尾端接近地面，那么鐵球高度將遠遠高于同步軌道高度，如果其旋轉速度跟地球同步的話，其受到的離心力將遠遠大于萬有引力，這時如果沒有繩子牽拉，它將向太空飛去。
所以我覺得在繩子的末端還要計入鐵球對它的拉力，對鐵球也要計算繩子對它的拉力，這樣才能兩相平衡。

寫完上段，又琢磨了一會兒，覺得有點兒意思。鐵球質量才1kg，而繩子長度數萬公里，怪不得樓主直接將鐵球給忽略了。。。

4 x$ i: L; t9 u% m% y7 D2 H[attach]297721[/attach]
: w8 Q' m; v! d8 h, {
所得結果跟樓主差不多。但這些大數計算，差一個數，就差好幾萬公里……

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作者: M大虎    時間: 2013-10-16 10:13
無地自容

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作者: luyupei    時間: 2014-2-25 13:59

逍遙處士 發表于 2013-9-22 19:07
# ~; q, ?; e5 Z& j請樓主批評。

. {$ v5 l! Y& \: @弱弱問一下，大俠用的什么工具做的文檔？圖形是用的什么工具？

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