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標題: 計算繩子的長度,大家來做題目吧^^ [打印本頁]

作者: fmdd    時間: 2013-9-21 23:17
標題: 計算繩子的長度,大家來做題目吧^^
本帖最后由 fmdd 于 2013-9-22 07:40 編輯
  v7 v! j3 n! ?( S5 H7 F1 w9 \5 f" y( [) t0 ?' [
大家來做題目吧^^1 g4 ~( J- U- {/ A" J& Y

0 G4 o' N2 e$ t" y9 V假設一顆鐵球,拴了一根繩子。; M. L7 L, X& ]6 @% L; i) g& i

' q; S3 `( j: H4 L% a# _/ A0 `+ D5 b該鐵球位于地球赤道上方,繩子垂直于地面向下,鐵球相對于地面保持靜止。" @) q0 f5 j, I1 W; s7 W2 v

# G2 J# a2 S, X該鐵球相當于衛星,有點類似于地面上的一個棒棒糖。. H, |. N2 h$ Z6 d

3 O$ n3 p) l; q1 J& s. I假設繩子密度是均勻的,而且足夠結實不會被拉斷,請問繩子需要有多長?
- G# r: G3 e0 g& V$ A% Q9 U& Y
6 p8 h& E: e4 `$ z; B" B6 a( d各物理量可以百度,比如重力加速度g、萬有引力常數G、可以百度得到。
5 Y, x0 _4 e9 |& o: {: A) Q2 V5 Q; d: U! i& H
計算過程中的未知量,比如鐵球重量等等可以進行假設。( W9 b4 T9 n+ f* r6 Q6 {9 n9 ]4 ~
1 s) @9 r  S1 @( F
補充一個圖:- b3 Z# ~* L0 R4 `% \% p/ x

' w& z9 M; J; j% H[attach]297623[/attach]
1 u/ X) F: \2 ]# l; F' }& L
- V4 A  ?$ w! j8 B+ F0 H謝謝"探索號QM"的答題,他的計算模型中,是假設繩子對鐵球無任何影響。) \8 O, f2 W2 v, y7 b

/ g( h+ p  X! I4 C4 |. y8 z! E- h8 U現在增加點難度,需要考慮繩子的影響。1 d. W6 Z1 @2 b: @6 ?. x

% k) n- o* M) e由于有繩子的拖累,鐵球需要有更大的離心力,才能帶著繩子相對于地面保持靜止。; m$ R2 ~) y7 t1 u2 [

" o6 x* Z/ q6 A/ }2 }% o2 Z4 \不計空氣阻力的影響,也不計繩子和鐵球之間的萬有引力。; ?" g  b) ?! ?4 d1 P  J

  F( f, i) a$ Z4 ?給定一些可能會用到的參數(只是可能)0 A7 M. A4 L& _" `: T6 l
鐵球質量:1kg8 A2 d6 n) L( L/ @$ [# |  Q8 z
繩子直徑:10mm
! i2 a- |" }3 Y& m繩子線密度:0.1kg/m
3 a0 l0 m" n$ R' J/ y! k! |! f繩子的剛度:無窮大
0 L# `/ r3 s: q" d& y- w8 |& @
作者: zerowing    時間: 2013-9-22 01:10
...地球同步衛星?
作者: 好方案    時間: 2013-9-22 01:45
同步衛星的軌道半徑有定數的,度娘。
作者: 探索號QM    時間: 2013-9-22 05:38
如果只考慮地球自轉,那等式建立的概念是重力加速度等于離心加速度。- {. s' U2 m; ~
G*M*r^-2=r*ω^2
5 C' e, m# H# T; w其中:
; q- o; \# u% }8 t' @G --- 重力常數,6.67*10^-11(m^3/(kg*s^2));  M --- 地球質量,5.97*10^24kg;  ω --- 自轉角速度,7.27*10^-5 rad/s ; r --- 該球離地心距離
2 x# L7 w4 Z( D8 ~) T由等式得: r=(G*M*ω ^-2)^(1/3)=4.22*10^7m=4.22*10^4 Km
/ l9 n& W3 L- u$ N- C繩子長度是r減去地球赤道半徑,即:4.22*10^4-6378=35822 Km.
作者: fmdd    時間: 2013-9-22 07:02
探索號QM 發表于 2013-9-22 05:38 " g8 `3 t) ^# k& l
如果只考慮地球自轉,那等式建立的概念是重力加速度等于離心加速度。
: C8 Z; H* e% l1 v$ y5 w6 j3 }+ aG*M*r^-2=r*ω^27 ^9 G  ^4 k3 q0 y: Z% d# Z
其中:

1 [5 V$ e; \$ j' f* i' y謝謝,繩子的自重也需要考慮
3 O+ d1 K8 u9 Q+ S2 K' g5 R4 R8 l' k
- U, W& H9 @; ~0 [! T- N- r4 ]+ w
, {! v9 W) o; t# L  G- e5 P
作者: 付明花    時間: 2013-9-22 07:35
有深度
作者: /_cast_王珂    時間: 2013-9-22 07:40
同步衛星的高度為H = 35,786公里。: B- o$ w8 M. }! c- O' D
鐵球重量無關,是不是繩子重心在H上就可以了?那繩子就是2H
作者: qdtruck    時間: 2013-9-22 08:38
hehe,高科技!
作者: 聽雨的小雞    時間: 2013-9-22 08:39
實在是不明白樓主你在說什么。。。。。不明覺厲!
作者: 學武書生    時間: 2013-9-22 09:07
復雜
作者: 探索號QM    時間: 2013-9-22 10:21
fmdd 發表于 2013-9-22 07:02   Q8 P0 _( W% T7 L1 N7 q: y7 D% f5 H
謝謝,繩子的自重也需要考慮

- e8 M0 ?4 b8 {' s繩子與球的共同質心離地心和赤道表面的距離已經可以確定,不必重復,并利用其數值建立以下質心平衡方程:
* H  W- i- a. n(Ms+Mq)(r-rc)=0.5*L*Ms+L*Mq# S- O& Y4 g6 Z. j9 h% _! Y* q
其中:Ms --- 繩子重量并等于0.1L(kg) ;   Mq --- 球的重量=1kg;  r-rc=35822 km;3 T  R4 k( _$ S- i- K+ }. {( j
將繩子重量等式代入上述質心平衡方程,可得到一個關于L的一元二次方程,可得到:
% _( j3 ]! I3 u- N/ a- |L=71634 km" E0 X' W: ?/ M+ d( x8 c: G5 E3 Q

5 W. s% N2 T0 V
作者: 逍遙處士    時間: 2013-9-22 19:07
本帖最后由 逍遙處士 于 2013-9-22 19:11 編輯
- W( I5 v- a) D
0 b. T# S; r* C, h# q[attach]297690[/attach]
7 o/ F2 [+ C, }  C$ m* t[attach]297694[/attach]
! t9 c# D1 D! A[attach]297692[/attach]
( J* j' B3 u) u$ A* u. W請樓主批評。
作者: 哎瘋    時間: 2013-9-22 20:37
探索號QM 發表于 2013-9-22 05:38
0 m+ l' T4 i: S% [* d7 t如果只考慮地球自轉,那等式建立的概念是重力加速度等于離心加速度。( \6 [0 a: x8 f
G*M*r^-2=r*ω^2) _! R. ?5 j& U- ?* D' p7 g% B5 @
其中:
3 \5 P: {/ H1 r# P& F5 ?. Q
只要繩子的長度和衛星的高度一樣不就行了,也許要考慮空氣的摩擦,但是如果繩子夠細的話,也可以不用考慮,還是考慮會不會被其他的星球絆倒吧,綜上所述,別用繩子了!
& _/ T$ W. l: {! G% H' y
作者: fmdd    時間: 2013-9-22 20:50
探索號QM 發表于 2013-9-22 10:21
9 l! k4 d  G) c5 ~" f繩子與球的共同質心離地心和赤道表面的距離已經可以確定,不必重復,并利用其數值建立以下質心平衡方程: ...
! o+ T3 y* m( F+ A/ I
謝謝“探索號QM”的解答!
9 ?% c7 \  c8 M1 x$ Y/ z7 ^% e
2 E$ s7 K1 g3 W4 S* L" C4 E由于繩子和地球之間的萬有引力與距離的平方成反比,計算其萬有引力的時候,不能用質點法("形心")來等效,質心法過于理想化,精確點的解法是沿著繩子長度方向積分來計算總萬有引力,兩種計算方法差異比較大。
; {+ w% }: t1 f0 H$ C
) n! p  Z; v7 A再次感謝!
& `" j: A. v2 o% J4 X  {* x4 D% |! F* D" A7 Q) v

作者: fmdd    時間: 2013-9-22 20:53
逍遙處士 發表于 2013-9-22 19:07 0 B% E  e" l, E# T8 t
請樓主批評。
$ G, |$ C4 c" F* ^
謝謝逍遙兄的解答!) C* k- F$ A& Y( M6 ~* r; }- {
2 @  \) l( K- r7 Z2 s- c5 T
函數圖象中沒能看出縱橫坐標所表示的含義,也沒能看出圖形交點的坐標值) q& z% Z% x2 n7 x/ W- c" Q1 w

作者: 逍遙處士    時間: 2013-9-22 21:56
本帖最后由 逍遙處士 于 2013-9-22 22:18 編輯 - ~& ?+ f$ {/ h
fmdd 發表于 2013-9-22 20:50
* x( Q/ d) Z( u/ D" r- z謝謝“探索號QM”的解答!
1 [% |, M* ]9 m; j8 h  _6 Y% l8 M) [& D2 Y( g
由于繩子和地球之間的萬有引力與距離的平方成反比,計算其萬有引力的時候, ...

' L( I* Z9 B- \5 M+ _沒錯。) a4 [1 u) K8 u$ E2 s
[attach]297700[/attach]
  _$ P1 c. f1 k當L2遠遠大于b時,可視為limb=0,將b=0代入最后一式,可得find(L)→L2。也就是說,當兩個質量體相隔距離非常遠時,遠大于物體本身的尺度時,質量體可近似視為質點。
8 P, c% L4 R/ g9 b: k% t. h% z3 Z0 k. _% L
所以當繩子-鐵球系統到地心的距離遠大于其本身尺度時,用前面朋友的簡化質心的方法,也是可行的,結果也應該是相當精確的。
作者: 逍遙處士    時間: 2013-9-22 22:05
本帖最后由 逍遙處士 于 2013-9-22 22:12 編輯
  K" e0 T3 Z, N0 P
fmdd 發表于 2013-9-22 20:53
/ c; z2 _6 E! y: ]; j0 Y. D謝謝逍遙兄的解答!# s% E4 k8 ^, N4 d; G
6 ?9 v9 L/ V4 m2 Q! b
函數圖象中沒能看出縱橫坐標所表示的含義,也沒能看出圖形交點的坐標值
, r0 ]* J8 K3 t- I& U- I
如圖,當繩子長度為 1000m 時,若想鐵球-繩子處于平衡,則鐵球到地心的理論距離在 42160360.0m 與 42160360.1m 之間。
3 H) `# Y6 ?0 m* q; N
% i0 D2 {. G1 {/ [, P9 W[attach]297702[/attach]
5 S4 m. b; n+ J; }3 O/ V# ~
8 ^. B# ^& X4 e當繩子長度為 10000m時,鐵球距離地心的理論值在 42164860.2m 與 42164860.3m 之間。0 B0 g& e3 N. ^8 S8 F

0 n" e! X+ w1 D0 X/ ?[attach]297703[/attach]" N  i3 V8 T7 F2 t% @+ G% E

9 x2 j8 U' w# ^4 @* {- y! F; u1 |: ]不知與fmdd兄的計算結果是否符合。
作者: fmdd    時間: 2013-9-23 00:06
本帖最后由 fmdd 于 2013-9-23 00:19 編輯 6 |6 C% y% j; p* C1 H
逍遙處士 發表于 2013-9-22 22:05 - C* @6 E- v, c7 L. C
如圖,當繩子長度為 1000m 時,若想鐵球-繩子處于平衡,則鐵球到地心的理論距離在 42160360.0m 與 421603 ...

* Z; X8 s7 `9 H  K! l8 A% @. V多謝逍遙兄和前面參與計算討論的探索號QM,辛苦大家了!
: k# V' ?7 \& O$ j3 V( v) ~
; z3 Y7 ~- p+ v; r$ A0 p* z我的計算如下:
8 b8 {2 r  D3 V. I8 b! ]6 D" n& w; y: s6 E2 t
5 {8 s: b0 m7 }) u, f
% C( h5 y) y- e' Y

* G! r  t: S7 x- p* C
作者: supperslz    時間: 2013-9-23 08:41
理論源于實踐!
作者: 逍遙處士    時間: 2013-9-23 08:44
本帖最后由 逍遙處士 于 2013-9-23 09:07 編輯
! _- }8 m$ F6 d: ]
fmdd 發表于 2013-9-23 00:06
2 J2 _( q; @7 O# O7 L5 e4 M: W多謝逍遙兄和前面參與計算討論的探索號QM,辛苦大家了!; \. T" [. f. K. a* V5 D
# j, B( o# z0 `* C2 w! p$ S
我的計算如下:
- n. S( Z- \- ^2 O; ~3 l
地球同步衛星的軌道高度為 35786 km,這個高度是鐵球受到的離心力和地球對它的萬有引力的平衡點。
, A% A4 p: a' R' C# R8 `, ~若繩子長度為 144400 km,且尾端接近地面,那么鐵球高度將遠遠高于同步軌道高度,如果其旋轉速度跟地球同步的話,其受到的離心力將遠遠大于萬有引力,這時如果沒有繩子牽拉,它將向太空飛去。8 P) G1 n. D7 u# d0 P
所以我覺得在繩子的末端還要計入鐵球對它的拉力,對鐵球也要計算繩子對它的拉力,這樣才能兩相平衡。- V' K4 B  G, k* \
4 M% ~6 g* P5 E1 S+ @
寫完上段,又琢磨了一會兒,覺得有點兒意思。鐵球質量才1kg,而繩子長度數萬公里,怪不得樓主直接將鐵球給忽略了。。。3 c% o* S, K. x" m

4 x$ i: L; t9 u% m% y7 D2 H[attach]297721[/attach]
: w8 Q' m; v! d8 h, {: I, L9 C; R) U- y
所得結果跟樓主差不多。但這些大數計算,差一個數,就差好幾萬公里……
作者: M大虎    時間: 2013-10-16 10:13
無地自容
作者: luyupei    時間: 2014-2-25 13:59
逍遙處士 發表于 2013-9-22 19:07
# ~; q, ?; e5 Z& j請樓主批評。

. {$ v5 l! Y& \: @弱弱問一下,大俠用的什么工具做的文檔?圖形是用的什么工具?




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