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標題: 一款另類的橢圓規 ---- 外嚙合1:1傳動 [打印本頁]
作者: 動靜之機 時間: 2013-7-6 13:56
標題: 一款另類的橢圓規 ---- 外嚙合1:1傳動
本帖最后由 動靜之機 于 2013-7-6 14:20 編輯 $ F! o3 r$ h5 q/ C7 p
" Z, z& B# M% Y2 w* d這兩天比較愉快。小子連闖兩道關，考上了南外初中。
$ a- m" D0 m, S$ {" ]3千多人抽簽（絕大多數都是有備而來的主），2560人中簽，然后考試，錄取320人，男女各半。
% ^1 c& e) a( U, J9 t c6 t3 q: k
" X% U6 Z9 G7 k! W5 I那天考完，出口處所有的孩子都苦著臉出來，說數學太難（出題也用英語）。2 J# ?3 E2 [& e$ a
俺家的亦是如此，說還有大概20多題沒空做（至少30分沒了，總分150分的卷子）。
2 s/ h: b' V1 i' z3 H# A不過此次考試沒考這類轉幾圈的題目，呵呵，瞎擔心了：) q' x) ] A5 l0 x6 Z- j$ j4 n4 L# M
一個簡單的考題考倒一大片! ---- 續I F, ?, i X# @6 k, O, M
http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=231503
! X o4 y0 D# z
% T0 V: Z3 n* l) r7 v7 Y一周前，俺發了這個帖子：
, ~! s$ u C1 x5 u怎樣車橢圓/ ^. k- [, p. [
http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=329983. T4 k+ J8 P5 j3 H- X
- P; g5 B: Z. A
里面提到的德國網站http://www.volmer---ovaldrehen.de/englisch.htm里，有這么幾個橢圓規：
# ~' e. r# o/ z2 d& s4 \: F' S0 v8 G
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% E6 P" L3 F, \, j) v$ {這個就是十字滑軌式的，已經在“怎樣車橢圓”帖子里說清楚了。
K) L4 d: k+ S: C# k, M
9 s0 a: k5 C4 e* {
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! M# V/ \/ X5 K這個顯然是利用內齒輪嚙合的機構，大小直徑比為2，這也說過了。
5 Z7 [1 \2 C2 e4 i0 X1 L( a
( w* ]" h6 Q0 r- P
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( W) u, i3 v8 Y& }7 @2 B8 B! r+ M對這第三個東東，俺一下子沒看明白。該網站只是說該橢圓規機構: M) i; w; y1 e4 k+ P9 ?
允許在機構旁邊作畫（切割）因此可以作很小的橢圓。
4 r. R$ f0 @6 v( L/ i( S
. ~# D/ K! Y/ J9 S) _; t1 p3 W8 _# z圖片搜索該照片的名稱Kopp-Ellipsograph發現有這么一張圖，簡直一摸一樣：! o' C/ J$ O6 @. |$ L5 s; R
（http://fr.wikipedia.org/wiki/Ellipsographe）
& A4 d& k, J0 @' a3 E
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% Q- W4 }) P4 ~$ P意味著有相關文章可看，大喜，點擊過去，十幾秒后，頁面終于打開，暈倒。
有人感慨“它認識我，我不認識它”大概就這意思。
7 c! r' E2 L* ~不死心，重新搜關鍵詞，找到一個鏈接，對該機構有些許說明：
http://tech.groups.yahoo.com/group/liveaboardlathe/message/34) u6 T. \: a1 V0 \- R
最下方提到參考書名 Mechanisms for the Generation of Plane Curves 7 V3 ^" k: M3 x+ G ?0 ^
于是搜來（估計是蘇聯圖書的英譯版）。抱歉，11M，就不上傳了。! P! w a) A3 B! A1 q
+ }# v# u [6 r0 e! W翻遍全書，發現在105，106頁，有個證明（PS拼接如下）：8 b1 @" A1 m8 w* X+ P: ~
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9 s/ T6 p7 g/ E; N8 I. ~4 `
這個證明和照片里的橢圓規不太一樣。* S& b, k% a* i0 n
2 g# Z. O8 t. C9 l
好吧，為了安心，也因為今兒個高興，把照片里的機構也畫瓢地證一遍：! {, x5 o) t, V! a# I. g
設仿形機構放大系數為K，即DC=K*DM，兩個起點都在X軸上且都處在自身, g& {. P, K! a0 p
圓心的右側（計算比較方便）。左側齒輪逆時針旋轉，右側順時針旋轉。9 I/ {+ b+ N0 x3 L
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2 ?1 r4 R5 L* q+ f y! J4 M
& ~2 _, M0 r6 F" W) D對于C點X坐標，分別從r2 r3 兩條路找到關系式：5 M2 C# v. i) ^2 o( N4 O! E9 V5 @
r2Cosα+k*DM*Cosβ=R+x 2 z8 i; S+ c' M4 w
r3Cosα+R+(k-1)*DM*Cosβ=x 2 X( P6 f7 s! g) u, G
消去Cosβ參數，得到:
1 W2 C( h! v' q7 o6 L# E(2k-1)R-x=[(k-1)r2 -kr3 ]* Cosα ------------------- A & G4 H8 O% p: A
% H( r+ G6 E3 c/ @! H& H
- r5 K: p" Y5 u* G( h y
對于C點y坐標，分別從r2 r3兩條路找到關系式：4 H( V; D- U( ?: `/ U/ H
r2Sinα-y =k*DM*Sinβ
" ^4 _2 D1 p( H& {6 q-y -r3 Sinα=(k-1)*DM*Sinβ 5 ~- P% s0 {/ [! j) U# P
消去Sinβ參數，得到:
9 V- t7 N; [/ X; }& E, p- y=[(k-1)r2 +kr3 ]* Sinα ------------------------ B. o" j. k/ o/ a/ t
8 y7 |# \8 P0 ^$ [6 o
; r8 j( c1 [ M8 ~把A式和B式綜合起來，就是（但愿全部步驟沒錯
）:
1 Q b5 \* n) Y' |: Y% R3 V
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& X* q C& \1 n; ^. |9 |
0 J t. F9 b- c& X6 t2 ]" R5 R
這顯然是個圓心分布于X軸(2k-1)R處，長半軸 (k-1)r2 + kr3 ，短半軸為 (k-1)r2 - kr3 絕對值的橢圓。
" }" K! s( x* K6 u
* T7 O9 r) y- |α=90度時，兩個驅動臂互為180度，畫出橢圓長半軸最低點。/ c; u" H3 f3 e0 P
4 l4 ]: {% z8 v! s若起始時，選取的某點已有初始角度，例如左側所取得點已經逆時針轉過180度，右側尚未動，則, b6 a; m, O' U g5 ^9 P
意味著兩個驅動臂已經提前達180度角，那么當前畫出的點將是長半軸，而且在X軸上。也就是說，7 o* l- z- S( x; ]
輸出的橢圓雖然大小完全沒變，但相對于例證，已經轉過90度啦，即相位角是初始相位角差的一半。! Y# y# E5 A. Q6 }
$ X' d0 h y# J( C
回頭再看看那個滿眼鳥語的維基原圖的證明，就釋然了。
" T* s( D4 L" |7 b& ^7 t8 w5 r$ Y
. K7 | g% s0 \不妨拿這個仿形機構來說明：* C2 k$ E7 w( Z3 Q
7 n/ T5 T+ h# q9 f8 [% w g
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( Q3 H, b5 t, n: i- C( P) N, [7 q7 W
7 R9 n: k/ h' E4 G; V. ~ j, {4 z這個機構簡直天生為就是兩個復矢量的合成縮放準備的。( f8 z6 ]2 L& A- `! w
+ P' @# X6 M% {- A* H公式 Zm=kZb+（k-1）（-Za）意味著，若左側輸入Za，中間輸入Zb，右側輸出為Zm。
1 H0 f, x7 i; R假設Za不動，放大作用使Zm為K倍的Zb，假設Zb不動，則杠桿作用使Zm為k-1倍的Za，, X4 T* T2 w5 j! M" E
不過由于處于杠桿的兩側，動作相反，因此有個負號。5 X1 t5 A( ~6 u* D) y1 S4 e- e/ G
- I* ~) z! s2 }8 K4 c& E4 p8 ~
一般的應用都把其中一個點定死，一個點輸入另一個點輸出，例如某些古老的仿形機床。4 s& ]7 T. Q0 f4 |: X1 q
日內瓦湖畔的瑞士軍刀小店用的軍刀刻字機，也用這種機構。老板把客人的姓名字母凹
7 T4 [$ @& }' Q7 A; i( w模板（約20x30毫米，厚2毫米）在軌道上排列好，然后用仿形機構縮刻在刀柄上。
% Y# `) G4 K+ X* G L5 k$ `: S0 d只有西文字母可選？ 嗯，下次誰有機會去的話，先帶上自己名字的中文模板哦。。。
8 Y! F9 S3 U- U% v" M: _2 k) t
' A7 s/ O- b* c1 t# `' F5 A8 o8 P
! \+ i7 V/ t4 Q6 s
作者: 949457130 時間: 2013-7-6 14:31
挺有意思！
作者: 從不孤單 時間: 2013-7-6 16:02
挺好挺好
作者: 劍南春17385 時間: 2013-7-6 18:40
厲害！??！) r& c6 @3 ~1 s- ?
還證明。。。。佩服，真沉得下心！
作者: low-key 時間: 2013-7-7 11:09
真是不錯
作者: 夕陽書生 時間: 2013-7-11 20:47
好貼，頂一個 * E8 _$ I X, H5 x- z* F% m. X
作者: GRL889 時間: 2013-7-12 11:06
好強大啊
作者: 王大9997 時間: 2013-7-14 13:43
高手啊，長見識了
作者: shasu 時間: 2013-7-14 14:29
平常能看到的那個 做鑰匙的機器 是仿形的吧
作者: gctdxy 時間: 2013-7-14 22:03
厲害長見識了4 T$ n7 |1 r% o8 |. V# o( Q
作者: hh68233 時間: 2013-7-15 22:22
多謝分享！
作者: GRL889 時間: 2013-7-16 11:15
好
作者: 機械師one 時間: 2013-7-21 20:45
頂一個，有借鑒一下
作者: hnsddm 時間: 2013-8-7 18:06
2 K9 W. P% O) q! z- b) [
真是不錯
作者: 992380541 時間: 2015-4-30 21:53
厲害！！！
作者: 機械小夏 時間: 2015-5-4 11:05
長見識了
作者: 鍋鍋狼 時間: 2016-10-31 14:37
贊，簡直是神啊- D: N8 s+ ~6 U& `2 ?, J
作者: airfengzi 時間: 2019-3-29 22:44
最近正在搞一個設備要用到連桿機構，不錯！
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