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機械社區

標題: 求教-笛卡爾坐標 [打印本頁]

作者: lanyijianke 時間: 2013-6-12 14:28
標題: 求教-笛卡爾坐標
仿射坐標系和笛卡爾坐標系平面向空間的推廣
相交于原點的三條不共面的數軸構成空間的仿射坐標系。三條數軸上度量單位相等的仿射坐標系被稱為空間笛卡爾坐標系。三條數軸互相垂直的笛卡爾坐標系被稱為空間笛卡爾直角坐標系，否則被稱為空間笛卡爾斜角坐標系。
笛卡爾坐標，它表示了點在空間中的位置，但卻和直角坐標有區別，兩種坐標可以相互轉換。舉個例子：某個點的笛卡爾坐標是493 ,454, 967，那它的X軸坐標就是4+9+3=16，Y軸坐標是4+5+4=13，Z軸坐標是9+6+7=22，因此這個點的直角坐標是(16, 13, 22)，坐標值不可能為負數（因為三個自然數相加無法成為負數）。

紅字部分沒搞懂，大家能解釋下嗎，根據自己的理解，不要拷貝哦

作者: 愛貓人士薛定諤 時間: 2013-6-12 16:47
沒看懂紅字想表達什么。。根本就沒有指出第一個笛卡爾坐標和直角坐標的關系，上來就規定了這種奇怪的算法。

作者: pacelife 時間: 2013-6-12 16:51
根本就是亂寫，笛卡爾坐標就是直角坐標

作者: crazypeanut 時間: 2013-6-12 21:45
定義：線性變換加上一個平移稱為仿射變換，笛卡爾坐標系經過仿射變換后的坐標系稱為仿射坐標系

其實仿射坐標系就是斜角坐標系拉

作者: crazypeanut 時間: 2013-6-12 21:54
本帖最后由 crazypeanut 于 2013-6-12 21:57 編輯

通俗的講，所謂笛卡爾坐標系，坐標軸是直線的都稱為笛卡爾坐標系，否則就稱為曲線坐標系（注意這里的直線定義為歐式空間的直線）

因為一般默認笛卡爾坐標系是標準直角坐標系，而斜角坐標系都是由標準直角坐標系經過仿射變換而來，于是就有了仿射坐標系的說法

作者: 動靜之機 時間: 2013-6-13 18:25
據查，這個紅色文字的“龜腚”來自這部電影：

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[轉]Cube中的數學原理
Kim 發布于： 2008-01-17 22:06

Cube中的數學原理
I. Cube的外形及房間的個數
Cube由一個巨大的立方體以及包在立方體外的一層外殼組成，兩者之間存在一定空間，大立方體內還包含許多小立方體房間，類似于魔方。Cube只有一個出口，只有到達了連接外殼與內部立方體的那個房間才能走出Cube，這個房間在影片中被稱為“橋”。每一個房間棱長14尺（略長于4米）。大立方體每條邊有26個房間的長度，所以一共是26*26*26=17576個房間的大小。（但事實上沒有那么多房間，因為房間要移動必須留有一定的空間）
II. 如何識別房間內是否有陷阱
·識別房間是否安全
Cube中的每一個房間都標有三個三位數的數字。因為每個房間的數字都不同，Holloway一開始認為這表示房間的序號（她從而認為一共有幾億個房間，但她錯了）。Leaven隨后認為他們可以憑借這三個三位數的數字來識別房間是否有陷阱，Leaven的記憶力很好，她記下了他們經過的每一個房間的數字，歸納以后她得出結論：凡是三個數字中含有質數的房間存在陷阱（這個理論一開始很好用，但之后在一個不含質數的房間內同樣存在陷阱，至此這一理論被推翻）。最終在影片尾聲時真相才被挖掘出來：識別陷阱的不是質數，而是質數的乘方。Leaven讓Kazan報的是每個數字的質數因子數。
·質數的乘方
每個自然數（1, 2, 3, 4...）如果本身不是質數都可以由質數相乘所得，比如120=2*2*2*3*5。如果不計質數的前后順序，這種表示法是唯一的。現在用乘方的形式來表示，2*2*2在這里被表示成2^3，于是120= (2^3) *3*5。若一個數只含有一個質數因子，那它就是質數的乘方，顯然每一個質數本身也是質數的乘方（這也解釋了為什么Leaven的理論并沒有一開始就出錯）。但是一個質數的乘方不一定是質數，比如說27=3*3*3=3^3，而27卻不是質數，因為它能被表示成3乘以9，也就在這種情況下，Leaven的理論失效了。
III. 房間的空間位置及移動方式
無論房間是否存在陷阱，三個三位數的數字并不表示其本身，經過下面的介紹后你會發覺它們表示了房間的空間位置和移動軌跡。
·房間的坐標
每個房間的數字其實是笛卡爾坐標，它表示了房間在空間中的位置，但卻和直角坐標有區別，兩種坐標可以相互轉換。舉個例子：某個房間的笛卡爾坐標是493 ,454, 967，那它的X軸坐標就是4+9+3=16，Y軸坐標是4+5+4=13，Z軸坐標是9+6+7=22，因此這個房間的直角坐標是(16, 13, 22)，在此坐標單位為一個房間，所以在Z軸方向，此房間離外殼有四個房間的距離。坐標值不可能為負數（因為三個自然數相加無法成為負數），XYZ每個方向的坐標值不會大于26（除了“橋”）。Leaven他們曾經達到過一個Y軸坐標為27的房間，這其實就是通往Cube外部的“橋”。但當時他們卻沒有發現這一秘密，因為這個房間周圍仍舊是其他房間，直到后來Worth被Quentin扔到之前Rennes死去的那個房間后看到有個通道外部什么也沒有，他這才弄明白原來房間是會移動的。他說：“不是我們在移動，而是房間。……這就能解釋為什么我們一直感覺到震感，我們一直隨著房間在移動?！盋ube此時就像個巨大的不停轉動的魔方，每個房間都在不時地移動，每一個坐標只表示這個房間開始時的位置。
·房間的移動方式
每一個房間的移動軌跡也隱藏在了笛卡爾坐標當中，比如坐標為477, 804, 539的房間，它的直角坐標為(18, 12, 17)。要想知道這個房間的移動軌跡，可以這么做，對于每一個三為數數字作如下處理：
1. 百位數減去十位數
2. 十位數減去個位數
3. 個位數減去百位數
對三個數字都進行以上操作，也就是：
1. 477:4 - 7=-3 | 7-7=0 | 7-4=3
2. 804:8 - 0=8 | 0-4=-4 | 4-8=-4
3. 539:5 - 3=2 | 3-9=-6 |9-5=4
這樣就得到了三個向量(- 3, 8, 2)， (0, - 4, - 6)和(3, - 4, 4)。這三個向量表示了這個房間的移動軌跡，將轉換成直角坐標的表示房間初始位置的坐標（可以看成向量）依次加上這三個向量，即：
(18, 12, 17) + (- 3, 8, 2) = (15 ,20, 19)
(15, 20, 19) + (0, - 4, - 6) = (15, 16, 13)
(15, 16, 13) + (3, - 4, 4) = (18, 12, 17)
可以看到經過了三次變化以后又回到了原來的初始坐標(18, 12, 17)。每個房間也就是根據這個規律以(18, 12, 17) --> (15, 20, 19) --> (15, 16, 13) --> (18, 12, 17) -->…的軌跡移動的。
·一段時間內房間的位置變化
根據坐標變化所顯示的，每個房間其實都在周而復始地按照固定的軌跡移動。要想知道所處空間的位置，還必須有參照物，也就是必須至少知道一個鄰近的房間的坐標。例如：
坐標為320, 176, 223的房間（記為房間1），直角坐標為(5, 14, 7)，以 (5, 14, 7) --> (6, 8, 7) --> (8, 9, 6) --> (5, 14, 7) -->…的軌跡移動
它右邊的房間214, 168, 104（記為房間2），直角坐標為(7, 15, 5)，以(7, 15, 5) --> (8, 10, 6) --> (5, 8, 2) --> (7, 15, 5) -->…的軌跡移動
它上面的房間254, 303, 017（記為房間3），直角坐標為(11, 6 , 8)，以(11, 6, 8) --> (8, 9, 7) --> (9, 6, 1) --> (11, 6, 8) -->…的軌跡移動
從這三個房間各自的三次移動中可以看到它們并不總是相鄰的，換句話說，只有當房間1到達(8, 9, 6)，房間2到達(8, 10, 6)時它倆才是左右相鄰的，也只有當房間1到達(8, 9, 6)，房間3到達(8, 9, 7)時它倆才是上下相鄰的，其它時間內3個房間都互相分離。不是所有的房間同時一起移動的，但它們的移動是相互獨立的。這樣Cube就存在一個初始狀態，這個時候所有的房間都停留在它們的初始坐標上，之后房間會各自移動，經過若干時間后還會回到初始狀態，這個循環可能需要幾天時間，完全取決于Cube的大小，這也會影響對到達“橋”所需的時間。
·“橋”和出口
“橋”其實是一個房間，這在上面已經說過了，在其初始位置時它連接著外殼和內部大立方體，出口就在“橋”內。“橋”的Y軸坐標為27，而其他房間的Y軸坐標都不大于26?！皹颉币蚕衿渌块g那樣按照固定的軌跡移動，這就意味著只有等它到達其初始位置時它才是真正的“橋”，人才能通過它走出Cube，其它時間內它都在大立方體內部的其他位置，因此必須把握好時機，錯過初始位置之后就要再等一輪循環。Leaven把Cube比作是保險箱的鎖，只有所有房間到達它們的初始位置時，鎖才能打開，然而接下來只要房間一移動，鎖就關上了。因此想要找到出口就必須先找到一個處于大立方體邊界面的房間（某個坐標為26），然后沿著邊界選擇房間進入，最終找到“橋”，再等它回到初始位置，才能走出Cube。

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