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標題: 圓形的特性推論可以幫你解決系列問題。 [打印本頁]
作者: zerowing 時間: 2013-6-9 13:30
標題: 圓形的特性推論可以幫你解決系列問題。
呵呵，最近說到了基礎。也有人發了一個簡單的題。于是有了這個念頭。其實，有些基礎的東西可以一方治百病，只是看你能不能想起來用了。+ D, v9 F. r: o l/ I
原帖地址：http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=124540&extra=page%3D1
u% c* R ^( L5 \
4 N9 u- S: _! g! C) K
這類題其實都可以用一個推論來解決。原自圓形的特征。1 V5 e* }' K1 A2 w* l9 k5 G4 l
圓，當一個圓沿某一平面做純滾動時，其圓心走過的距離恒等于其自身轉過的弧長。2 I% d u- g2 N, Z% ^2 n! ~# s; I
證明：如圖
4 G e; V1 z8 V: T% Z+ s
[attach]286237[/attach]
" P0 n/ b& {4 x' {# m8 P
假定一個圓轉動一個足夠小的角a，那么其滾過的痕跡為一線段（因為足夠?。?。
" p l$ u/ n! L& X
則有：弧AB長等于線段AB長。 根據幾何關系，OA垂直于線段AB，OB垂直于線段AB，OA=OB，于是有OO線段長=AB線段長。
* j* z2 B# Z- b+ k! g/ q
因此得到推論結果：圓，當一個圓沿某一平面做純滾動時，其圓心走過的距離恒等于其自身轉過的弧長。7 g. C7 u6 N5 ]7 M3 {) ^( `
而這一結果會使得上面提到的一系列題目得到最簡單的解決辦法。因為你可以不用去管它什么形狀，你所需要的只是計算出圓心走過的距離。然后根據這一推論得出結果。" B7 C9 {' M5 V( g( K8 X0 c
3 u1 n: x! ~1 ?
實例1：http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=124540&extra=page%3D1
$ _; [ O2 b' N 解答：[attach]286239[/attach]
（別管里面的標注）
7 n6 w5 |2 I, H# A& t6 J* e 圓心走過的距離為：（中心圓半徑+小圓半徑）*2*pi=m*（Z1+Z2)*pi ——（1）
, |( P, F. g+ z* B+ b7 R 則小圓圍繞中心圓轉一圈走過的弧長為： m*(Z1+Z2)*pi7 k1 Q9 f Y' ~( A# D, l8 z
則小圓轉過的圈數為： n=m*(Z1+Z2)*pi/( m*Z2*pi)=(Z1+Z2)/Z2
( W7 E0 S7 R2 Q+ m$ W' B& j 帶入數據得到： n=38 C1 K# F4 G( p
& r9 R, a' p& _1 B- e( Q2 D
實例2：
[attach]286241[/attach]
5 S+ {, ` d x9 z. I4 W
這樣一個圖形中，小圓轉過的圈數。# ?: _# X* N( @% I% q5 P
同樣。按上面的步驟：圓心走過的距離：6*b7 U! y9 D# W3 W" y4 z, ^
小圓對應的弧長：6*b ~! F2 p. _1 Y) ~- c( M
轉過的圈數：6*b/(a*pi)6 Q& R: J$ U( Y3 Q4 E' P
b怎么得到。有c有a，不要告訴我你算不出b來。哈哈。相似三角形啊。5 {: {2 ^, H) H
; ?! Q3 [* {$ F# }5 R2 d% i# z, a
同理，你可以很方便的計算出例如像實例2種圓在外面滾的結果。還有很多結構復雜，不好判斷的圖形。
& I! Q% r: J0 j! e5 v- x+ T/ i5 J
請注意：齒輪轉動的本質是分度圓的純滾動。因此這個方法對于所有行星輪問題同樣有效。
3 b5 r, x+ N T: {
2 l: f( _# b7 F* n0 k
說這么多，希望對大家有所啟發。
作者: crazypeanut 時間: 2013-6-9 13:36
看到這個，我想起了擺線齒輪
作者: ttlegyq 時間: 2013-6-9 14:03
頂一下，非常實用
作者: 情癲浪子 時間: 2013-6-9 14:17
大俠的見解一直都很透徹，通俗易懂，比那些教授講的都好哇！
作者: datree 時間: 2013-6-10 21:38
看到這個，想到用根不計厚度的繩子繞在圓周上，繩子頭固定住，讓圓滾動起來，繩子就會放出來。繩子的長度就是圓滾過的弧長也是圓心走過的距離
作者: 新新額 時間: 2013-6-12 18:07
謝謝，受教了樓主。
作者: 千浪一石 時間: 2013-6-13 09:12
大俠，你這要點水平才能用好，我等“拿來主義”還是不得其要旨?。M愧~拜服！
作者: 1043 時間: 2013-6-15 13:28
一般復雜問題往往需要這些小的知識點架構起來,啟發了
作者: 咪嗪 時間: 2013-6-15 14:06
樓主，這個原理是不是在擺線針減速機內常用。。。
作者: 上海工作＿2012 時間: 2013-6-17 09:07
正解
作者: 夕陽書生 時間: 2013-7-15 23:19
受教了樓主
作者: 降臺詩春 時間: 2015-4-27 10:29
往往越是簡單的方法越能發人深省，受教了樓主
作者: bigprawn 時間: 2015-6-15 16:04
如果理解了理論力學中瞬心的概念，這個問題就好理解了
作者: 幸會幸會 時間: 2015-6-17 09:33
大俠高見啊，佩服
作者: cosxuan 時間: 2015-6-17 14:57
例一證明有問題，給出以下證明：
首先按照樓主的結論圓，當一個圓沿某一平面做純滾動時，其圓心走過的距離恒等于其自身轉過的弧長。
那么，da=db?，F反證，小圓轉過一個非常小的角度dθ（弧度制），那么r1(小圓圓心繞大圓圓心公轉半徑)×dθ=da, r2（小圓跟大圓的接觸點與大圓圓心的距離）×dθ=db，，假設da=db正確，所以r1×dθ=r2×dθ，得出r1=r2，但是r1=r2+r（小圓半徑），故假設不正確。
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作者: jy297917 時間: 2015-6-23 08:33
謝謝，受教了。
作者: cosxuan 時間: 2015-6-24 06:58
本帖最后由 cosxuan 于 2015-6-24 07:27 編輯
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圓公轉一角度時，小圓滾過的距離是不是AB段？小圓圓心移動的距離是不是CD段？AB=CD?別抓著所謂的定理不放，那都是有條件作為前提的，圓，當一個圓沿某一平面做純滾動時，其圓心走過的距離恒等于其自身轉過的弧長。
9 Z+ B5 E$ I2 i& }: F你自己也寫了，是沿某一平面，何為平面？小圓是沿平面滾動的嗎？你自己都紅色的標出這句話了，我估計你現在還沒搞清楚平面跟面的定義吧！定理本生沒錯，錯的是你用錯地方了，忽略了使用條件。
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作者: cosxuan 時間: 2015-6-26 08:58
本帖最后由 cosxuan 于 2015-6-26 08:59 編輯
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我感覺你一直沒有理解我表達的問題，或許是我的表達有問題，這些咱都不去討論了，也不討論數學問題，只看圖。' Y$ O4 Y* Q; c& Y- @$ T1 Q
首先初始時刻如下左邊圖所示，經一段時間，小圓繞大圓公轉了θ角，小圓自轉了α角，如下右圖（就像你說的，θ不等于α，一開始是我疏忽了，我在此澄清，θ不等于α，自轉角不等于公轉角），這沒有問題吧？8 B! Q% A3 k, a8 M9 v
那么小圓的自轉弧長就是DB段，圓心走過的弧長是O1O2段，按你的意思就是DB段等于O1O2段，自轉的弧長等于圓心走過的路徑對吧？4 B9 F4 F2 h- |) _
因為小圓在大圓上做的是純滾動，所以弧AB=弧DB，這有沒有問題？如果有請你證明出這兩段弧長不等。如果沒有問題，
! V; |0 G: ]% X' z那么弧AB=弧DB，又弧O1O2=弧DB，所以弧O1O2=弧AB，但是很明顯弧O1O2不等于弧AB，所以在例一這種情況下，自轉弧長并不等于圓心走過的路徑。* k; D1 Y. X# a8 `" x) d! O7 C
這樣推理有沒有問題？如果你有問題可以指出來哪錯了，并給出證明。
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