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標題: 我研究數學一點心得：一種從代數式到微分式的快速變換法 [打印本頁]
作者: 逍遙處士 時間: 2013-5-22 21:56
標題: 我研究數學一點心得：一種從代數式到微分式的快速變換法
我研究數學分析（微積分）以來，有那么一點心得，一直想寫出來，幫助初學者，以跨過那些難懂的書籍，以掌握微積分，以產生生產力。6 ] h2 d9 e# B8 T; Q* c& q
+ y6 Q4 l" |: a5 z, U M讓我們把概念拋棄，先把玩法弄會，把玩法弄熟，最后再學習基本理論。: ?8 `; P% \; J3 r' k' [% T. V
本方法能從代數式一步過渡到微分式，只需要簡單的替換、四則運算、省略等操作。
. x+ z% |/ w' K3 `# @" [5 j5 P
. \" _8 O: t# T. @先從最簡單的一元一次方程式開始。3 V4 P. N. E2 k
y = 2x （1）' q8 ~- ~) O' k- I
我們將 y 替換成 y+dy ， 將 x 替換成 x+dx，于是上式變換成：
- w8 L' X1 t) S+ P9 \& z- J0 S(y+dy) = 2(x+dx) （2）6 f: A9 A% X, P+ c
（2）-（1）得：( l9 G* q, }) _+ x8 c
dy = 2dx （3）- W, h! t2 j- t5 [2 `
上面這個（3）式就是（1）式的微分式。快吧？將dx從右邊挪到左邊就變成：- t$ ~" \% Y: q# r0 {7 T8 A
dy/dx = 2 = y' （4）% I. X/ U. @! f3 r) I4 W
上面的（4）式就是（1）式的導數式，導數就是這么求來的。- T, B+ }+ v2 R7 [1 y" t
/ W$ x3 d8 e4 F- l3 O3 R. {, c% x" `下面再來看一元二次方程：
Q% N0 O: y. E: k/ n" zy=x^2 （5）$ Y* A/ b# h# r' F. J1 W# [+ C
做替換，y→y+dy，x→x+dx，得：0 @6 u8 U+ O+ |
(y+dy) = (x+dx)^2
9 i: j6 c/ X' n展開得：
: I8 m: m. @' o+ ~(y+dy) = x^2 + 2x*dx + dx^2 （6）3 Q: l2 F& k% l4 e/ Z$ \8 B/ ^
（6）-（5）得：2 |" l& |) b: \8 a) B
dy = 2x*dx + dx^2 （7）3 ` [: l# a6 U) x! g& k
這里介紹一個關鍵，微積分的精髓——dx屬于一階“無窮小”，而dx^2屬于二階“無窮小”，二者相加，高階者略去，所以：
7 N8 x" e* l' c1 I, F" B- Y. I! D9 Sdy = 2x*dx （8）
9 Y# t+ V1 ~( w. Xdy/dx = 2x = y' （9）1 q& X9 w: I4 @. k/ ]; \% `
上面的第（9）式就是（5）式的導數式。8 k$ k* u# a- q) x; a, _
2 V9 L0 ? L8 L
下面看二元一次方程：( J, K- j3 B" z7 c
z = xy （10）' }( U- a* g0 ?
做替換z→z+dz，y→y+dy，x→x+dx得：
& `4 _; |" M, t(z+dz) = (y+dy)(x+dx)（11）
" {; n/ U O8 \5 N' ^7 K8 ^展開得：/ C) @! t3 ^) J% ?+ s) }2 X7 F
z+dz = xy + ydx + xdy + dxdy （12）
6 h8 @. @6 f; H) g- ^) z" p（12）-（10）得：
& x! f7 u2 n+ B( Edz = xdy + ydx + dxdy（13）$ e2 y& z( y1 i% C9 P# K
看上式，又出現了高階“無窮小”，可以略去，所以：
6 ^) B5 z v m5 X1 Zdz = xdy + ydx （14）
: m# }5 u# L. q上式即為（10）式的微分式。3 E( \2 K2 X$ }0 D T
) b6 G! @) g2 K" @% X5 i$ w
最后再舉一個例子，關于流體的連續性有一個式子：2 K0 [* X+ D0 D X/ J, k5 H
ρvA = C（常數）
8 R; Z* ?2 b, ^* i$ o書上說先兩邊取對數，然后再兩邊微分，得：
3 A6 Y; r( `9 H; ?4 X: f5 u) v: U: Xdρ/ρ + dv/v + dA/A = 0$ v' A8 [! Q5 t3 S( t% ?
用我的方法，不用無中生有去微分，一樣得出這個式子，先做替換得：4 { \# U# T5 }' x, I8 o
(ρ+dρ)(v+dv)(A+dA) = C
' L* u0 t/ c5 ]$ u% D展開得：
# Z* b) E! t; O% {/ X' l) \ρvA + ρvdA + vAdρ + Aρdv + ρdvdA + vdAdρ + Adρdv + dρdvdA = C
* x4 R. m: G2 Q+ T減去第一個式子，再略去二階及三階無窮小，得：5 h9 R: r) x5 _$ r' E- i0 [; L
ρvdA + vAdρ + Aρdv = 0
7 ^) [% x7 ?( O' y' E; S兩邊同除以ρvA，就跟上面一樣了。" n- N% o, [ Y) E# c9 q
1 F e o! d) B5 y
總結一下，第一步替換，第二步相減，第三步“略去高階無窮小”，成功！' {8 U) \$ b4 X! A) W
任何方程式都可以這么干，不涉及極限和無窮等概念，輕松學會微分變換。
# x( b' R3 K1 o- ?0 V/ l
作者: 風隨意 時間: 2013-5-22 22:08
初中畢業表示很難看懂~
作者: 逍遙處士 時間: 2013-5-22 22:09
題目又被改了……聲明一下，冒號前面的字是管理員加的。
1 f* _9 ]+ _" {) l5 `) }鄙人可不敢說研究數學，會讓教授們笑話的。# u. M6 `5 N8 }( o& s
再次聲明，冒號前面的字是管理員加的。
作者: 水水5 時間: 2013-5-22 22:42
最近感覺到處都要用到數學呢/ m' }9 G$ C- P; M& j
往高一點研究都是要用數學的 也在看微積分 復習一下
作者: mfka 時間: 2013-5-22 22:59
很有意思！
6 Q7 M5 w4 N( J/ b3 |謝謝把你研究結果與大家共享！
+ G# _, y N9 Y% k: u2 g8 B我提點我的看法，請不要介意！: c! } S' H- ^+ O b3 W
你用的是數學研究的枚舉法，如果要普通適用就要證明的方法過程，你所謂的無窮小項不一定是真正的無窮小。
作者: zhulongxin1986 時間: 2013-5-22 22:59
不去教數學真是浪費啊。
作者: 逍遙處士 時間: 2013-5-22 23:09
mfka 發表于 2013-5-22 22:597 u0 N) r; `+ W$ W
很有意思！/ w" ]2 L4 E P/ n' E9 G+ n
謝謝把你研究結果與大家共享！, U6 L4 g9 Y& w& m& {. u# _/ T: K9 m
我提點我的看法，請不要介意！- z0 g8 ~! B2 k1 `6 x/ W3 b1 q1 Z
鄙人這是綜合了標準分析、非標準分析以及我國陰陽學說才研究出的結果。
( X+ y; s2 c- }% s- l8 Q6 U v完全符合洋人的標準，所以不存在你說的那些問題。3 J2 O% S" y3 N% [
9 A! o7 x9 ]9 S1 t9 _5 G補充內容 (2013-5-25 22:28):
/ U, V3 c& f$ q這個真不是吹牛，其實我原本的想法，并不是這樣。我原本的想法寫出來，如果用陰陽學說來看，是很容易理解的，但現代人怎能接受？我只能寫成這樣，但這樣更難理解。但是——無論你怎么說，這種方法的結果卻是對的。
' u6 F9 l3 c; C( u; t( p9 n( a7 v9 }# w( v# u( `% b
補充內容 (2013-5-25 22:30):9 C: Z: J+ G+ j5 H% p
我們不妨想一想，這種簡單直接的方法，無論在什么情況下，它的結果都是對的，但它的解釋學起來卻無比艱難——大家想一想，問題出在哪里？就是出在對這種方法的解釋上面！
t" I# M) E) g
; F, n/ y$ i, X' p補充內容 (2013-5-25 22:33):
/ M. _0 e7 p# K6 z. t所以不管什么無窮小、極限、趨近于0等等等等，這些概念都不過是為了說服我們自己而已。如果有一種方法，能讓我們很容易就相信這種做法的正確性，那么，這種學問學起來是不是就會容易很多？
! t. z' W1 Q8 W/ B" D; i. i
6 v* C/ N& o1 b7 [2 l' ~$ i補充內容 (2013-5-25 22:34):
) n- N% r7 ]1 A5 P所以不管什么無窮小、極限、趨近于0等等等等，這些概念都不過是為了說服我們自己而已。如果有一種方法，能讓我們很容易就相信這種做法的正確性，那么，這種學問學起來是不是就會容易很多？
作者: 請叫我小凱 時間: 2013-5-22 23:09
滿新穎的
作者: 大本Ben 時間: 2013-5-22 23:09
嘻嘻。以后遇到這些就簡單多了。
作者: wwfs 時間: 2013-5-23 07:40
這其實就是導數公式的推導過程，用極限的方法，數學分析教材至少我學的版本就是這么處理的，這么看來不清楚極限的可以用樓主的方法，知道的可能就覺得在繞圈子了，小小評論樓主莫在意啊
作者: xlf63 時間: 2013-5-23 08:01
大俠學貫中西，假如此文再用古文作釋義，不知如何。。。呵呵
作者: 王浩429 時間: 2013-5-23 08:02
這推導過程的確讓人看了有豁然開朗的感覺啊，感謝樓主分享！
作者: Michael0576 時間: 2013-5-23 09:18
微分積分導數無限遠，具體用在什么地方的
作者: surfacer 時間: 2013-5-23 10:18
扯蛋，既然都用到高階無窮小了，還能不明白極限？
, \' O: F. j7 T9 R6 H翻下書看看牛頓萊布尼茨它們是怎么推出來的，原著不必讀了，有一本講微積分歷程的書可以一讀，書名忘了
作者: crazypeanut 時間: 2013-5-23 11:04
不推薦初學者用這種方法，這種方法雖然簡單，但是掩蓋了導數是增量無窮小的本質，只會導致知其然不知其所以然, _6 }3 Z. k8 q
. Q# ?9 [1 m5 o6 A. A初學者一定要打好基礎，理解定義以及定理的實質
作者: jiangssli 時間: 2013-5-23 11:48
雖然看不懂,還是來給樓主添加點人氣.....
作者: prima1 時間: 2013-5-23 17:54
很有意義，不過這樣一看好像比較簡單，也不要去背那些公式了
作者: 獨孤峰yi 時間: 2013-5-24 07:57
原來還可以這么來，必須copy了
作者: 千浪一石 時間: 2013-5-24 09:12
真不錯！
作者: 多出來的1 時間: 2013-5-24 10:36
“不涉及極限和無窮等概念，輕松學會微分變換。”本人覺得這句話不妥，微分拋開了極限和無窮還有意義嗎？初學者如果就記這些考試還可以做出題，實際中運用中建模（列公式）才是第一步，計算（樓主的方法）才有用武之地。8 ~" H+ g1 U8 m% D
所以本人覺得理解極限和無窮還是要的！
作者: guo冬至 時間: 2013-5-24 11:36
有意思+ T" ~" m* X& X- k1 c) H( v3 v
作者: pacelife 時間: 2013-5-24 12:20
這種代換無法產生新的實質性結果，并且還掩蓋了微分的本質 ，所以不妥
作者: 逍遙處士 時間: 2013-5-24 12:39
果不其然，新手學習的路又要被堵死了。
作者: crazypeanut 時間: 2013-5-24 12:55
逍遙處士 發表于 2013-5-24 12:39 
j( \4 K1 c9 y9 ?果不其然，新手學習的路又要被堵死了。
不是新手學習的路被堵死的問題，縱觀整個分析學，從數學分析，實變函數論，到最后的泛函，極限概念永遠是最基本的根基；象這樣掩蓋本質，只是為了快速做題，實在覺得本末倒置，甚為不妥
! A5 s) s0 j; n% m& E! @. B$ M. E6 E
就好比蓋房子，為了趕進度，地基草草了事，這房子能蓋的好嗎
作者: 逍遙處士 時間: 2013-5-24 13:01
crazypeanut 發表于 2013-5-24 12:55 / C! b/ m" J. p: ?- O% v) Y- b
不是新手學習的路被堵死的問題，縱觀整個分析學，從數學分析，實變函數論，到最后的泛函，極限概念永遠是 ...
% s+ B9 D2 G3 z6 m( X d$ z長沙蓋高樓，一天一層，模塊式。+ _& J4 r; h- h+ z' J0 r" s4 ]; J" M
我這就是模塊式的。連地基都是模塊式的。已經打好了。不用再打了。* G+ P* b0 t. W' o+ c9 |6 f; x# i
; _2 Y; {+ k. l* c6 Z H! b3 F
作者: crazypeanut 時間: 2013-5-24 16:31
逍遙處士 發表于 2013-5-24 13:01 2 o; z$ v: R9 p, H
長沙蓋高樓，一天一層，模塊式。
: o# N" t4 n& c. m' c0 Q b我這就是模塊式的。連地基都是模塊式的。已經打好了。不用再打了。
5 j _) m6 r: B. O再模塊化的地基，他還是地基，對不？？
) d Z, [! ]( X/ q
& ~7 _6 S! K t$ z R分析學，極限論是地基，單變量微分學是第一層，您現在是拋開了極限論，直接單變量微分學了
作者: icegoods 時間: 2013-5-25 07:37
沒啥好說的啊，這課本基礎知識
5 V: H* E- f# Z9 Q: I1 L我還以為什么呢
作者: ifzhangchao 時間: 2013-5-25 11:34
貌似看懂了一些
作者: 悟寧 時間: 2013-5-25 14:35
閑來無事，拿大俠的題目算了一下，依稀記得我曾經也學過啊
1 A: L. K! L3 d! Y6 n9 w
大俠內功是相當深厚
作者: Pascal 時間: 2013-5-25 22:16
學數學分析，工科的叫高等數學，一開始就要學極限概念。極限這個概念特別繞，也不容易理解。$ p# z+ |- K7 I/ |5 B7 u
張景中和林群兩位院士做了些工作，不學極限，也能學分析。見附件文章。
作者: HKHK90 時間: 2013-5-26 20:01
考研復習，可以用上了
作者: 風追云 時間: 2013-5-26 20:27
這個以前似乎發過，不過這次更完善了，很好。兄弟啥時候再講一下從代數式到積分式的快速變換？
作者: 小灞 時間: 2013-5-26 21:31
受教了
作者: 結構孫 時間: 2013-5-26 22:58
見識了
作者: mfka 時間: 2013-5-27 23:16
本帖最后由 mfka 于 2013-5-27 23:18 編輯
6 ]) N# H7 ]# A$ n, i Y/ r% J* o& q# P7 x8 M z# b. s
[attach]284715[/attach]8 \# N" i- v" ^) B3 T
- G, o) C; B) }9 Q, T" G7 ]) [- i[attach]284716[/attach]' E: s$ u. x& {8 w' O! T( R i
[attach]284717[/attach]
y% L, v9 F5 s- l- H% C- k9 u" r. ]4 S" D: P
B! r& p! t; E9 f
$ _8 _, z, {6 m. `0 a# \
作者: 逍遙處士 時間: 2013-5-28 07:37
mfka 發表于 2013-5-27 23:16
9 h6 ~- G3 ^ W1 f; k$ Q- R我那個相當于定義，一階導數公式我也可以直接拿來用，呵呵。' Q+ w& J/ X9 n3 W9 G/ m! x
但是別忘了，一階導數公式是根據定義推導出來的。所以x^20在推導之前依然要展開。
. _+ g7 X: e k: B# X( D; h+ H# A
作者: shasu 時間: 2013-5-28 11:10
先收藏吧 數學看了頭疼
作者: 745 時間: 2013-5-28 13:01
路過，學習了，感謝樓主的分享。
作者: wjl724 時間: 2013-5-28 23:07
這對剛學積分的初學者挺好的
作者: 趙聰 時間: 2013-5-29 13:48
樓主，人才，指導菜鳥足夠l
作者: 鈑金準專家 時間: 2013-5-29 17:00
哎，忘光了，愧對江東父老呀
作者: 拉普拉斯 時間: 2013-8-19 09:05
樓主，如果你比牛頓早出生就好了，現在他比你發現這個方法8 {! g8 @2 V& x
作者: chengqingbin 時間: 2013-8-19 21:15
這個好像不能在所有情況都適用吧
作者: 1032220424 時間: 2013-8-19 22:54
這種方法滿新穎的
作者: 中等公差belee 時間: 2013-8-21 16:10
Michael0576 發表于 2013-5-23 09:18 : z) n* [$ k; l! T* J% S2 U/ P! d1 ~
微分積分導數無限遠，具體用在什么地方的
為什么高階微分，如dx^2,dx*dy會被忽略
作者: 中等公差belee 時間: 2013-8-22 12:51
中等公差belee 發表于 2013-8-21 16:10
! O' D4 a7 K) ^4 q9 y為什么高階微分，如dx^2,dx*dy會被忽略
dx也是增量無窮小，為什么不可以省略2 `% ?7 i1 [6 \" x- t8 A0 p0 J
作者: 機械hust 時間: 2013-8-22 19:00
逍遙哥最近怎么搞起理論研究來了？
作者: 機械用 時間: 2013-8-24 23:59
的確這種方法會比較容易計算，但對初學者學習來說，還是從導數的基本開始學習會更深刻。
作者: fyy小魚 時間: 2013-8-25 11:53
呵呵又從溫了下高數不錯
作者: 菜鳥hong32696 時間: 2013-8-25 20:19
安心做學問，必然有奔頭。
作者: 機械90后 時間: 2013-8-25 22:12
這不就是導數的定義嗎 f,(x)=lim[f(x+m)-f(x)]/m，m無限接近0。
( ] Y# R0 P) ^$ S9 Q! S
作者: 維尼_0 時間: 2013-8-26 14:13
作為一個高等數學全部刮過的表示樓主方法很好，早知道也不至于連續掛高數了
作者: 宇宙一星 時間: 2013-9-5 21:33
呵呵，方程，導數，積分。
作者: decipher001 時間: 2013-9-12 13:01
學習了！！
作者: 十字路口1015 時間: 2013-9-30 16:24
從求導的定義就是y'=(f(x+dx)-f(x))/dx, 本質上來說是和樓主的方法一摸一樣的。2 R& n2 G3 c& r/ r' U9 Z
樓主把大多數人都給忽悠啦。哈哈。
作者: kent1968 時間: 2013-10-3 23:41
容易理解！1
作者: 宇宙一星 時間: 2013-10-4 07:20
導數，微積分，…lz辛苦了！這方法高中數學好像應該學過，復習一下也很好，呵呵。
作者: Ghostbeing 時間: 2013-10-4 08:30
本帖最后由 Ghostbeing 于 2013-10-4 08:32 編輯
) D2 {+ ~3 }2 G9 ]6 r
% z$ V5 h) M/ [' s" CLZ當我看到你數學代數式的第一步，我就深深的被你震撼，請告訴我，你憑什么知道你所用的方程式就一定是可微的，在一元里面可導與可微分是等價的，但是在多元微分函數里面，可微與可導就不等價，因為多元函數里要涉及多個維度里的可微分性，保證在全空間任一個平面里函數里可導，樓主請你看看多遠微積分那一章節，你僅僅是代數計算而已，忽略了好多，無異于空中樓閣。
$ G/ |* |5 i2 o- P
! z3 Q' R" Q& X/ i A& G
: J1 d+ F5 s; ^2 t+ K* A l補充內容 (2013-10-4 15:06):% X" c' c7 l3 V1 @/ W# Y- V+ ^ z
lz繼續忽悠吧 也許有天你得出的結論會無視你自己
作者: flyhorse1 時間: 2013-10-6 06:47
你能證明兩邊加上dy，dx后兩邊還相等嗎？
作者: flyhorse1 時間: 2013-10-6 07:01
你能證明兩邊加上dy，dx后兩邊還相等嗎？
作者: 蘋果6 時間: 2014-4-4 04:39
挺好的，大家見仁見智，希望大俠別介意6 N- m1 j( m+ N, U( ~
作者: Chris_Piers 時間: 2014-4-4 15:03
太有用了，感謝！
作者: 羊角山 時間: 2014-4-4 16:24
flyhorse1 發表于 2013-10-6 07:01
' {. g/ C7 |9 g+ O0 v& ]4 g你能證明兩邊加上dy，dx后兩邊還相等嗎？
2 b# G# Y1 v4 O- J. v6 G的確是硬傷。
( b$ v& R+ Z# r' c
作者: gjclover 時間: 2014-4-4 16:40
感謝分享 學了種新方法
作者: Pa.Galileo 時間: 2014-4-5 08:39
拿來解題是不錯，但掩蓋了微分的意義。
作者: hnsddm 時間: 2014-4-5 11:18
逍遙處士也是好意，大家也不要上綱上線的討論，不如討論還有什么好方法能讓人更好地理解這些生澀抽象的定義，尤其是對初學者以及百思不得其解者。。
作者: pengzhh 時間: 2014-4-9 15:22
mfka 發表于 2013-5-22 22:59
7 n1 L" _6 b, @* y很有意思！
8 {' u$ s! B+ \" G4 y% q% J1 m* t B謝謝把你研究結果與大家共享！
/ u! ]5 U- a* \1 p! m0 T7 u; B我提點我的看法，請不要介意！
其實我看到的工程里面無群小就是這么處理的! w+ n% Y" d6 F* g
作者: hoot6335 時間: 2014-4-12 12:48
厲害啊，深入淺出
作者: 我愛大機械 時間: 2014-4-13 09:16
這個不對dy = 2x*dx
作者: 獨唱魂之挽歌 時間: 2014-4-22 15:45
眼前一亮！！！
作者: 千門萬戶 時間: 2014-4-26 00:17
不知道理論上有沒有問題
作者: qzeng52 時間: 2014-4-27 18:46
如果涉及到偏微分呢
作者: fuhuafeng72 時間: 2014-4-28 14:05
謝謝樓主分享
作者: ？？？！！！ 時間: 2014-5-5 22:27
樓主好像更接近于高中的求某點處的極限與連續吧？將X看作常量，然后用增量減去原函數，求解.很久以前就有這種方法。不新鮮。并且樓主混淆了可微與可導的概念。
6 T: o4 y5 j A' U. f$ z! C( t一元函數是同一概念，多元函數則可導必定可微，可微不一定可導。0 w1 N6 S- t2 o# l5 L
偏導數是沿坐標軸方向趨進某一點，對一元導數，由于點在x軸上移動，所以只有左右接近一種方法。但多元函數則不同，如y=f(x,y),接近一點(x0,y0)有無窮多個途徑。但偏導數只考慮沿橫軸或縱軸兩種方式接近(x0,y0),這不能保證沿其他方式接近導數也不變。: J# k; R3 A2 n* g
數學結論皆由最初公理遞推出，機械行業亦然，基礎很重要。速成易誤人子弟# |5 n1 L c$ q# T0 U# y
作者: 陸qq1 時間: 2014-5-15 08:06
陰陽學又是怎么解釋的？
作者: 星誠一 時間: 2014-5-27 00:04
很有意思啊' V! X. z! c2 \5 U X# D) g" a
作者: stoplonely 時間: 2014-5-27 08:19
好帖 留名
作者: 小云來了 時間: 2014-5-27 13:08
挺好的推導。。。對剛學個同學應該會有幫助
作者: 檳城6號 時間: 2014-5-27 14:51
好！！！還有嗎？
作者: 張鴻銘 時間: 2014-6-1 19:52
死讀書害死人,其實數學關鍵是應用,不是解題.
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