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標(biāo)題: 一道解方程的題目，有興趣的壇友可以試試 [打印本頁]
作者: pacelife    時(shí)間: 2013-1-10 08:45
標(biāo)題: 一道解方程的題目，有興趣的壇友可以試試
最近壇友比較熱衷于討論數(shù)學(xué)問題，我這邊有個(gè)題目可以讓大家熱熱身
1 o# P( h! a+ m& O0 }8 j其實(shí)題目很簡單，一個(gè)方程題：20sinx＝x
& B6 h& X! M5 J  s) I求滿足的x值
作者: ld314699339    時(shí)間: 2013-1-10 08:53
X=0算一個(gè)。
作者: ld314699339    時(shí)間: 2013-1-10 09:06
按照函數(shù)畫圖分析應(yīng)該是x的值有11個(gè)，其中一個(gè)是0 ，另外的10個(gè)是正負(fù)關(guān)系。坐等高手。
作者: crazypeanut    時(shí)間: 2013-1-10 09:11
超越方程，沒有初等解的  a' P0 S) \' T& y; Q4 I
. q: h0 S; X9 ~( n
牛頓迭代可以求近似解
作者: pacelife    時(shí)間: 2013-1-10 09:13
ld314699339 發(fā)表于 2013-1-10 08:53:29
# |- `# p9 O7 K2 i: V- b/ l. _0 RX=0算一個(gè)。
2 ~7 K; W4 ^' ?& t$ T  z8 d' e
解有很多個(gè)，我可以隨便寫幾個(gè)出來 6.620579107,2.991456433,8.960237641,13.29342428.....關(guān)鍵不是值，而是求解的方法
作者: の小南灬    時(shí)間: 2013-1-10 09:15
提示: 作者被禁止或刪除 內(nèi)容自動(dòng)屏蔽
作者: pacelife    時(shí)間: 2013-1-10 09:17
crazypeanut 發(fā)表于 2013-1-10 09:11:10 - c' \1 c9 G$ q: b" l( [
超越方程，沒有初等解的
) M$ S. R% z0 q2 v+ A; E( G7 M, X! z. E7 P5 e
牛頓迭代可以求近似解
+ z0 |+ e) y9 ^& a8 N7 s0 P( a
這位兄弟說的不錯(cuò)，但現(xiàn)實(shí)中可能出現(xiàn)的方程未必就一定為初等方程，大俠有時(shí)間的話可否一試
作者: 天路客向東    時(shí)間: 2013-1-10 09:17
可以把sinx轉(zhuǎn)化為傅里葉級(jí)數(shù)，但之后怎么解呢？無窮級(jí)數(shù)
作者: crazypeanut    時(shí)間: 2013-1-10 09:21
pacelife 發(fā)表于 2013-1-10 09:17 ' F) m: t  Q/ M. Z) l$ B/ ~8 p
這位兄弟說的不錯(cuò)，但現(xiàn)實(shí)中可能出現(xiàn)的方程未必就一定為初等方程，大俠有時(shí)間的話可否一試
7 b% N+ D$ B) H+ {$ l/ d+ |! \
硬要解也是有辦法的9 k6 U/ `- a2 @* p/ L( s3 ~4 u

4 w) O$ [) q# @  Nsinx=x-x³/3!+x^5/5!-x^7/7!+...
, J: W! P2 S% K' l* e# }1 f5 T此級(jí)數(shù)在全復(fù)平面內(nèi)收斂; i) q  \; w, n# k  Z* K$ D

: `  u& ?; N" @& G" u, P取前4項(xiàng)，化為代數(shù)方程20（x-x³/3!+x^5/5!-x^7/7!）=x來求近似解
/ g' [5 r+ N) s* @6 ]; s6 g" A根據(jù)伽羅華方程理論，可知此方程可用代數(shù)求解
2 k2 R- n6 N. H5 @3 U% E7 }
作者: liangh    時(shí)間: 2013-1-10 09:25
好像只有0？: {+ Z* v% o) t4 ^# U' N9 L
等答案
作者: 小白丶經(jīng)典    時(shí)間: 2013-1-10 09:30
[attach]271598[/attach]
: g6 O- _7 M3 m: v8 B (0,0) (2.99 ,0.15) (6.62 ,0.33) (18.96 ,0.45) (13.29 ,0.66) (14.87 ,0.74)& Y6 n1 X# U) {5 U* m; n
正負(fù)啦
作者: pacelife    時(shí)間: 2013-1-10 09:31
liangh 發(fā)表于 2013-1-10 09:25:03
. |3 Q" _" K$ F" L* G好像只有0？
3 s. T0 r& W# U6 [等答案
: _( O! n7 y/ l/ \- A" V# Q8 T" Q& \
圖形肯定錯(cuò)了，你可以驗(yàn)算一下我之前給的幾個(gè)值
作者: pacelife    時(shí)間: 2013-1-10 09:36
小白丶經(jīng)典 發(fā)表于 2013-1-10 09:30:22 " R$ `- t2 v: h: b6 f/ }: R8 q
0 x- j$ t& v3 r5 w1 U
; s2 Q- G& A# ]3 J$ [$ j
& {' N8 e0 z1 J* {
(0,0) (2.99 ,0.15) (6.62 ,0.33) (18.96 ,0.45) (13.29 ,0.66) (14.87 ,0.74)3 F$ w! t' N4 G* D5 v) `
正負(fù)啦
8 C9 Q4 q9 |' J: B/ L1 i$ t( X" |$ w
這位兄臺(tái)很聰明，不過這種方法不免有些遺憾，這只是通過繪圖軟件掩蓋了算法，不過應(yīng)用于實(shí)踐確實(shí)又快又準(zhǔn)
作者: liangh    時(shí)間: 2013-1-10 09:47
弧度的
2 n, J  {5 I9 \. W# B7 z/ \1 K好像有11個(gè)合適的。
作者: 桂花暗香    時(shí)間: 2013-1-10 09:55
本帖最后由 桂花暗香 于 2013-1-10 10:27 編輯
8 P( B  f" a+ J4 T+ A# K$ c& @7 ]- ]3 K9 d; C) A$ O
令y=20sin(x)   x=1 求出y，3 G+ H% k- t! v8 a+ V+ g6 q
     令x=y  代入20sin(x)求出y
# K% u( P7 ~7 q      這樣一直算下去直到達(dá)到滿意的精度位置  也就是迭代法。5 P7 ]7 R! d7 a7 X: N( W
考慮到函數(shù)的單調(diào)性，x初值賦值要考慮。
+ \: i) Q( s  m+ _! {8 b2 \& K( ]
作者: pacelife    時(shí)間: 2013-1-10 09:55
其實(shí)很清楚，只要求出正值就全出來了，因?yàn)槿绻顇＝-x，可以得到等式仍成立，所以求出的正值的負(fù)數(shù)也是解
作者: 海上音樂史    時(shí)間: 2013-1-10 10:00
桂花暗香 發(fā)表于 2013-1-10 09:55
& j8 e# h+ k+ V# I$ ]令y=20sin(x)   x=1 求出y，5 @' s) k1 a  n* h4 @
     令x=y  代入20sin(x)求出y  l  F0 E" [* Q+ j6 P% q# V- {
      這樣一直算下去直到達(dá)到滿意的精度位置 ...
0 T, m1 v  ^$ s( Y
你好桂花暗香) X" s7 C9 a5 m+ S+ y
作者: pacelife    時(shí)間: 2013-1-10 10:01
桂花暗香 發(fā)表于 2013-1-10 09:55:39
: B- Q" [& n& z, N" d. |& y令y=20sin(x)   x=1 求出y，) E; `* q7 V' R
     令x=y  代入20sin(x)求出y
) {( g* E' w7 o" y- N$ s3 O7 Q7 S      這樣一直算下去直到達(dá)到滿意的精度位置  也就是迭代法。

2 P- {; \2 V' a你的方法我代了121此次都還沒得出結(jié)果
作者: 天路客向東    時(shí)間: 2013-1-10 10:02
各位大俠有點(diǎn)不明白，圖解的方法應(yīng)該是用兩條y=x/20,和y=sinx的曲線求交點(diǎn)吧，那y=x/k，只要k不為0,那都可以在x=0的點(diǎn)相交，豈不是sinx/x=任意不為零的數(shù)了。
作者: 東海fyh126    時(shí)間: 2013-1-10 10:12
{:soso__16984349925490629196_1:}{:soso_e183:}
作者: pacelife    時(shí)間: 2013-1-10 10:29
天路客向東 發(fā)表于 2013-1-10 10:02:43 . _% f0 R, R* g; Z
各位大俠有點(diǎn)不明白，圖解的方法應(yīng)該是用兩條y=x/20,和y=sinx的曲線求交點(diǎn)吧，那y=x/k，只要k不為0,那都可以在x=0的點(diǎn)相交，豈不是sinx/x=任意不為零的數(shù)了。

! B9 D' N2 h' Q你的意思有點(diǎn)不太明白，x＝0確實(shí)是所有sinx＝kx方程的解
作者: 天路客向東    時(shí)間: 2013-1-10 10:37
pacelife 發(fā)表于 2013-1-10 10:29 4 v7 _. b7 F( q" p9 N" s
你的意思有點(diǎn)不太明白，x＝0確實(shí)是所有sinx＝kx方程的解
1 n& b% v% R) N+ y

1 u# h- Y' g/ G4 `我對極限的概念不明確，limx->0，sinx/x=1,應(yīng)用方面常在這種情況下用x，取代sinx。如何理解這個(gè)lim和等于的區(qū)別。
作者: pacelife    時(shí)間: 2013-1-10 11:12
天路客向東 發(fā)表于 2013-1-10 10:37:58
6 I- I& Z5 b) k( F6 [/ {1 j, s% F: f- D. d- r+ u/ ^
9 f7 p" m) [' g& x
我對極限的概念不明確，limx->0，sinx/x=1,應(yīng)用方面常在這種情況下用x，取代sinx。如何理解這個(gè)lim和等于的區(qū)別。

$ I4 }. I* o& C( j( i; ^0 F這個(gè)就得多看看高數(shù)教材了，三言兩句很難說清楚
作者: jiangssli    時(shí)間: 2013-1-10 11:14
本帖最后由 jiangssli 于 2013-1-10 11:17 編輯
9 N# g# x- e; p* p1 X
4 z# B' f' c* n我用數(shù)控系統(tǒng)程序做了一個(gè)求解本題的程序,但是有一個(gè)問題,就是取數(shù)精度問題,數(shù)控系統(tǒng)只能小數(shù)點(diǎn)后面8位數(shù),超過了就不顯示了,同時(shí)計(jì)算時(shí)間太長了,居然算了20多分鐘沒有合適的結(jié)果{:soso_e110:},是不是我對這個(gè)方程理解有錯(cuò)?
作者: pacelife    時(shí)間: 2013-1-10 11:58
jiangssli 發(fā)表于 2013-1-10 11:14:25
0 `0 ?3 |( j& J+ i 本帖最后由 jiangssli 于 2013-1-10 11:17 編輯 1 A; Y* Q0 U- u  L' B! m# H
6 W1 x/ e) i  W* x: A' ]' @
我用數(shù)控系統(tǒng)程序做了一個(gè)求解本題的程序,但是有一個(gè)問題,就是取數(shù)精度問題,數(shù)控系統(tǒng)只能小數(shù)點(diǎn)后面8位數(shù),超過了就不顯示了

, z. B% p' w- c1 L, o應(yīng)該沒關(guān)系吧，程序的話計(jì)算精度應(yīng)該會(huì)受到數(shù)據(jù)類型的影響吧
作者: jiangssli    時(shí)間: 2013-1-10 14:09
天路客向東 發(fā)表于 2013-1-10 10:02 ! ?+ {' h/ ^! `7 \& y5 ~
各位大俠有點(diǎn)不明白，圖解的方法應(yīng)該是用兩條y=x/20,和y=sinx的曲線求交點(diǎn)吧，那y=x/k，只要k不為0,那都可以 ...

" `8 n- D" i7 e& _本人數(shù)學(xué)很差,不知道這個(gè)方程為什么是兩條線,真心求教...{:soso_e100:}
作者: 天路客向東    時(shí)間: 2013-1-10 16:39
jiangssli 發(fā)表于 2013-1-10 14:09 4 X$ O; b: [& B% d) q
本人數(shù)學(xué)很差,不知道這個(gè)方程為什么是兩條線,真心求教...
3 D" w6 o( q( D# R6 [4 V/ u5 ?1 P
這個(gè)方程不是兩條線，分為y=sinx y=x/20,找交點(diǎn)是一種求解方法，因?yàn)橄嘟坏狞c(diǎn)兩曲線x,y是相同的，也就滿足了等式。你也可以畫出y=20sinx-x的曲線，看它和x軸有幾個(gè)交點(diǎn)，也可以找到答案。
作者: qinrj    時(shí)間: 2013-1-10 20:24
這些東東不懂
作者: jiangssli    時(shí)間: 2013-1-10 21:04
天路客向東 發(fā)表于 2013-1-10 16:39
) B' p5 T: y4 S8 \, _7 l1 y5 ?這個(gè)方程不是兩條線，分為y=sinx y=x/20,找交點(diǎn)是一種求解方法，因?yàn)橄嘟坏狞c(diǎn)兩曲線x,y是相同的，也就滿足 ...

- p+ A8 A, d# S* L* q, K還是不懂,怪不得我的程序計(jì)算不出合適的結(jié)果,原來是我理解有誤...
作者: 逍遙處士    時(shí)間: 2013-1-11 09:41
jiangssli 發(fā)表于 2013-1-10 21:04 5 I, x% x  S  T" ]  o
還是不懂,怪不得我的程序計(jì)算不出合適的結(jié)果,原來是我理解有誤...
5 ]# G7 ~+ f- C# r/ g/ \5 n2 D
代數(shù)式變幻萬千，秘訣在一個(gè)“代”字上。
) U& S! Y9 Q% t: J+ F- z/ m20sinx=x，這是一個(gè)方程，它可以變換啊，變成sinx=x/20，還可以變成20=x/sinx。
5 u1 A5 h5 D3 }3 X( m0 t: I* k! L3 S令y1=20sinx，y2=x，它不就是y1=y2嗎？y1和y2都是函數(shù)，凡函數(shù)都有自己的曲線圖像，那么y1=y2不就是求y1和y2兩條曲線的交點(diǎn)嗎？1 C4 i, b5 M* L. j/ C# V! t
玩法可多了，還可以令 x=g(x)*sinx，代入進(jìn)去，得 20sinx=g(x)*sinx，最后得 g(x)=20=x/sinx，玩回去了，哈哈。/ a  ]0 z3 Z/ J) G# V- P
還可以玩差商，把它變成 y = x-20sinx，差商視△x為無窮小，把它略去，則得導(dǎo)函數(shù) y' = 1-20cosx，還可以積分，得原函數(shù)g = ∫y = 0.5x^2 + 20cosx + C1。導(dǎo)函數(shù)還可以繼續(xù)求導(dǎo)，原函數(shù)還可以繼續(xù)求積，上窮碧落下黃泉，兩處茫茫皆不見，子子孫孫無窮盡也。
$ J2 h8 @; O! f9 n- O1 q  }& K( X0 R% E; P' f0 y
作者: jiangssli    時(shí)間: 2013-1-11 10:43
逍遙處士 發(fā)表于 2013-1-11 09:41
, V! J8 o# @( v+ P, l" x代數(shù)式變幻萬千，秘訣在一個(gè)“代”字上。
, ?9 `, Q! h* |* ]" H20sinx=x，這是一個(gè)方程，它可以變換啊，變成sinx=x/20，還可以 ...

4 g8 G7 D  u1 X5 L' ]8 p0 b0 t哎.....太復(fù)雜了,年紀(jì)大學(xué)不會(huì)啊!謝謝您的指教!
作者: 林中臥虎    時(shí)間: 2013-1-13 10:26
liangh 發(fā)表于 2013-1-10 09:47
9 {% f8 `$ P4 \弧度的4 N* d8 |6 s% V7 g% [% n  F$ H
好像有11個(gè)合適的。

' x. Z, _( ]7 {* S3 Q! T! X5 g這個(gè)好！
作者: ypx3293    時(shí)間: 2013-1-14 12:45
sinx里x是角度 等式右邊的x又是個(gè)實(shí)數(shù)  好久沒接觸數(shù)學(xué)了不知道是不是自己鉆牛角尖了
作者: 子子61961    時(shí)間: 2013-1-14 16:49
如果是俺，會(huì)使用Excel的“單變量求解”功能計(jì)算。
( _- [% S# M" W) q! N8 m當(dāng)然因?yàn)槎鄠€(gè)解，所以需要多試幾次。
作者: 草原蒙狼    時(shí)間: 2013-1-15 13:43
14樓的圖像法求交點(diǎn)是最簡單的方法  最直觀  最清晰  
作者: 雨歌風(fēng)    時(shí)間: 2013-1-16 09:21
當(dāng)X=0時(shí)是一個(gè)解，是當(dāng)X趨近于0是sinX/X=1
作者: sanxian    時(shí)間: 2013-1-16 17:06
pacelife 發(fā)表于 2013-1-10 10:01
, [5 k* |$ d! J. E2 Z% f你的方法我代了121此次都還沒得出結(jié)果

' h2 {/ a6 [- S" S) ^$ @+ e8 x, R要用牛頓迭代 有公式的 那個(gè)收斂速度快
! r0 }& n3 A! E! m* Y; z2 F' a/ b4 u
作者: 子子61961    時(shí)間: 2013-1-16 20:04
ypx3293 發(fā)表于 2013-1-14 13:45
1 }3 `3 }) V8 z' ]- A  y+ wsinx里x是角度 等式右邊的x又是個(gè)實(shí)數(shù)  好久沒接觸數(shù)學(xué)了不知道是不是自己鉆牛角尖了

  k1 l) P) G3 v- u4 c' X: M! x$ G$ G2 g9 F角度是可以轉(zhuǎn)化為弧度的，弧度就基本和實(shí)數(shù)可以通用。
作者: hotyemw    時(shí)間: 2013-1-17 12:00
ypx3293 發(fā)表于 2013-1-14 12:45
8 J1 A# ~1 Z/ b, z$ Zsinx里x是角度 等式右邊的x又是個(gè)實(shí)數(shù)  好久沒接觸數(shù)學(xué)了不知道是不是自己鉆牛角尖了
) N6 ~( B. o; ?! `
X是弧度，是以派（π）為基礎(chǔ)的
5 C6 L: d, J: Y6 H( }
作者: ypx3293    時(shí)間: 2013-1-17 12:45
hotyemw 發(fā)表于 2013-1-17 12:00
! Z1 C2 n" D0 S5 k0 A3 JX是弧度，是以派（π）為基礎(chǔ)的
# W0 W$ u% |$ x8 i. G! {
謝了 一段時(shí)間沒用連基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)概念都忘記了 得虧不是大家面對面討論 不然就身敗名裂了
% {0 e& f  d# t2 y: n" ~; e: l
作者: ypx3293    時(shí)間: 2013-1-17 12:46
子子61961 發(fā)表于 2013-1-16 20:04
" p- i2 |+ ?' v, c角度是可以轉(zhuǎn)化為弧度的，弧度就基本和實(shí)數(shù)可以通用。

! w8 _0 P7 M4 P3 }; T謝了 回復(fù)完特意去確認(rèn)了下 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有點(diǎn)差 得虧自己還想拾一下微積分呢 還是先從基礎(chǔ)的來吧
作者: yinzengguang    時(shí)間: 2013-1-17 21:16
matlab一下就求出來啦



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