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標題: 從0.9...=1談起 [打印本頁]
作者: 兩岸猿聲啼不住 時間: 2012-9-11 11:36
標題: 從0.9...=1談起
本帖最后由 兩岸猿聲啼不住 于 2012-9-11 11:39 編輯 ) b% v9 z N0 r9 H7 n' ~+ R
' P5 X$ w. M" x$ M6 c 說到這個話題，首先最好要明白，這是屬于西方科學——數學范疇的問題，既然屬于西方數學的范疇，那么你就得用它的思維方式和語言來談論，而不能用日常生活的話語來談論，大家說是不？研究唐詩宋詞你就得用古漢語，研究俳句你就得融入日本文化，那么探討這個0.9…與1的關系之類的問題，當然就得用規范的數學語言，也就是行話，大家說對吧？
就我所知，在西方數學中，是有數系的說法的。數系最簡單的是自然數系，就是從1、2、3……等一直數下去，繼而是“比例數”系，這個比例數一定要強調，就是兩個自然數之比，現在的教材都翻譯為有理數，把人弄糊涂了。其實好像數學天才陶哲軒也是主張翻譯成“比例數”的，因為本來比例數的定義就是“自然數/自然數”，那么凡是不能用兩個自然數之比來表達的數比如√2，就叫“非比例數”，這比什么有理數無理數清楚明白多了。當初我在學校學習這個有理數無理數的時候就納悶了，既然都無理了，為什么還敢出來……搞不懂，不敢問老師，話說上學時有太多感覺不合常理的東西，都不敢問老師……
那么回過頭來說，這個0.9…到底是指什么呢？是｛0.9, 0.99, 0.999, ...｝這個無窮序列，還是單純指一個數？在這里我傾向于后者。實際上前者的形式只是為了讓人好理解而已，其目的是為了讓人明白無窮數列的極限并不包含在數列之中。
有朋友說，既然 0.1...＝1/9，那么 0.9... = 0.1... × 9 = 1/9 × 9 = 1，是再明顯不過的了，于是 0.9... = 1 得證。如果僅僅看結果而不看過程的話，即使是再高明的大數學家，對這個結果也會無話可說。但是話說回來，如果我們是那種搞粗放種植的莊戶人，我們就完全不必費那么多心思，琢磨這種細枝末節的東西，就一鋤一個坑，然后把種子撒進去，敷上土拉倒。但是這個活卻不像種莊稼那么粗糙，它就像制作機械表。我感覺，設計農用大馬力拖拉機的工程師，如果不經學習，應該設計不了精密機械表，也就是說，研究精密的東西，你得思維也得要匹配，也得要精密細致起來。
我們知道實數系里面有兩種數，一種是“比例數”，一種是“非比例數”。那么0.9...到底是比例數，還是非比例數？我反正是找不到它的比例數表達式，只好把它當作非比例數。但是0.1...=1/9，卻是一個不折不扣的比例數，還有0.3...=1/3也是。這樣一來，就能看出上面那個證明的錯誤所在了。0.1...是比例數，9也是比例數，兩個比例數相乘，怎么就能得出非比例數0.9...呢？所以那個證明，從分析的角度來看，我覺得有點似是而非。因為數學運算除了六種基本代數運算加減乘除乘方開方外，還有一種極限運算即lim運算，而后者正是所謂高等數學的基礎。說點題外話，高等數學這個名稱本身就拒人于千里之外，好像是高等人才能學的一樣……
要嚴格探討0.9...與1的關系，就需要借助更深一層的數學思維。比方說，實數的戴德金分割，也就是數軸的分割。在一條一維數軸上，不知道有多少數，但可以肯定的是，每個數的兩邊都有數，且每兩個數之間都有無窮多個數，更讓粗思維的人困惑的是，“我們無法寫出緊挨著一個數的另一個數”，這句話里面蘊含著“連續性”的意思。比方說，緊挨著1的自然數是2，但緊挨著1的實數是多少，是1.0...（無窮個0）1嗎？在樓主看來，無窮這個詞跟無知是等價的……當然這個問題在這里不做深入討論。
我們把實數系即數軸做一個分割，也就是分成兩部分，其中左邊的數都小于右邊的數，那么這個分割的界限，根據其理論，要么是比例數，要么是非比例數。那么我們把數軸比方說分成(-∞, 1)與[1, +∞)兩部分，那么這個分割的界限就是比例數1，且這個界限屬于右區間，而不是左區間。這個時候，不知道大家注意到沒有，那就是在左區間，存在最大的數嗎？這個最大的數是多少，你能寫出來嗎？右區間最小的數是1，可左區間最大的數是多少？你在網上搜索到的這些問題的答案，都很讓人困惑，包括樓主。還有，就這個分割看來，應該是包含了全部的實數了，那么那個所謂的0.9...，肯定也是被包含在其中了。那么它是被包含在左邊還是右邊呢？顯而易見是在左邊。那么它跟1之間到底相差多少呢？從非標準分析的觀點來看，相差一個無窮小。那么為什么大家都說0.9...=1呢？而又有人說不相等呢？因為從非標準分析的觀點看來，相差一個無窮小的兩個數可以認為是等價的。但對于普通人來講，等價跟相等差別不大，所以也可以認為它們相等。就像y=x^2的導數或者說微分，或者說微商或差商的極限，嚴格來說，其表達式應該是△y/△x=2x+o(x)，但是大家都默認是y'=2x一樣，二者只相差一個無窮小。所以有學者認為微積分的精髓就是“略去高階無窮小”。明白了這其中的因由，你就能體會到那種從看山是山，到看山不是山，到最后看山又是山的感覺了。
說實話，我覺得對有志于補習一點微積分知識的初學者來說，上面說的這些簡單的提綱，如果你能明白一些，不知能給你節省多少時間，而且還是徹底清楚明白的掌握微積分，而不是云里霧里，只會查手冊套公式，套起來心里還沒底。話說外行照抄答案都不一定能抄對。當然了，在機械論壇里談這些東西，難免有賣弄的嫌疑，但我是知無不言，并且我把好多專業名詞術語給白話化了，但也有好多話題沒有展開。因為我認為思維無分貴賤，很多時候并不是作者所談的東西人家不明白，而是作者沒能說得人家能明白。當然了，如果真的一點兒基礎也沒有，也真讓別人難為其說了。
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作者: 兩岸猿聲啼不住 時間: 2012-9-11 11:39
這個行間距很小，不知道怎么調行間距。
作者: 機械師加油 時間: 2012-9-11 11:59
看完了！！！！好！！勾起了我對微積分沒好的回憶
作者: 哥是個傳說 時間: 2012-9-11 12:05
{:soso_e183:}
作者: 張鼎 時間: 2012-9-11 14:30
0.99999....是有理數。
作者: 十年一夢 時間: 2012-9-11 14:45
樓主功力高深，厲害！不過，這句話：“那么它是被包含在左邊還是右邊呢？顯而易見是在左邊。那么它跟1之間到底相差多少呢？從非標準分析的觀點來看，相差一個無窮小。”您再仔細想想？
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" v3 h( f9 @ y) `您認為0.9999....與1之間差一個無窮小量，正是見山不是山啊。多有得罪，請原諒。
作者: wangjian30 時間: 2012-9-11 14:57
0.99999....和1之間不是相差一個無窮小, 是絲毫不差.% N5 j2 c0 A5 p0 G3 A
: D4 I; w4 E: K: l9 a
設 x = 0.99999...4 t l9 X" c( d
那么10x - x = 9.999999.... - 0.99999.... = 9( @5 N$ ~9 V* H% f6 [
即 9x = 9 7 ?3 g; |/ B( V. T' o$ L
所以必有 x = 1
作者: 張鼎 時間: 2012-9-11 15:11
無限循環小數就是有理數。說白了，這道題就是等比數列求極限。
作者: 煙雨飄秋夢 時間: 2012-9-12 13:13
頭痛。我想我沒有數學腦細胞！
作者: h283789796 時間: 2012-9-12 23:43
感覺回到教室了
作者: dhf654 時間: 2012-9-13 10:17
我認為0.9.....與1的區別在于這個世界是不斷變化和不確定的所以我們的真實世界是0.9......；而我們要確實要個確定值最簡單的是1，而我們精確的位數越高，科技就越發達
作者: 夏，末 時間: 2012-9-13 10:27
懷念我的數學老師4 h" ]1 ^% O; E5 K. p
……
作者: 兩岸猿聲啼不住 時間: 2012-9-13 12:07
張鼎 發表于 2012-9-11 15:11 
! c9 U% [7 _; W5 h3 m$ P無限循環小數就是有理數。說白了，這道題就是等比數列求極限。
: }" w) N3 U$ f8 f. U, |$ Z等比數列求極限，跟您商榷幾道題，答案只有是與否：1 A! Z3 v* d: h7 _3 t) s' [
1、無窮數列{1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...}的極限是0嗎？+ n. A5 V; V$ D2 N1 V
2、1/32包含在上述數列之中嗎？+ y7 D4 e/ P0 s, D+ u6 N+ b' d
3、0包含在上述數列之中嗎？
) R) I5 c# u( { R/ t: ?, r7 N4 B6 ]; a
作者: 張鼎 時間: 2012-9-13 12:17
是，是，否。
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作者: 兩岸猿聲啼不住 時間: 2012-9-13 12:20
謝謝您的探討，我亦如是作答。仍有幾個問題同您繼續商榷：
5 }$ T) J' c' P$ t0 Y; R4、無窮數列{0.9, 0.99, 0.999, ...}的極限是1嗎？
* H; |3 |7 @- ^4 A; J9 o' G5、實數0.9...包含在上述數列之中嗎？
9 _$ c; W8 N+ n, h! p6、1包含在上述數列之中嗎？
作者: _Jason_Terry、 時間: 2012-9-13 16:18
能感受到LZ的智商
作者: _Jason_Terry、 時間: 2012-9-13 16:19
微積分
作者: 917617960 時間: 2012-9-13 19:31
0.999999...../3=0.33333333.....=1/3
作者: zhongdong163 時間: 2012-9-13 20:25
喜歡這篇文章。有段時間沒看數學了，感覺有點荒廢了
作者: 笨手笨腳 時間: 2012-9-13 22:19
不錯不錯
作者: 兩岸猿聲啼不住 時間: 2012-9-14 17:45
感覺這個話題很無聊，樓主與各位參與的朋友都累壞了……
% s( I2 h3 b) b0 W! C; W% I建議有興趣的朋友看看官方的東西吧：
' G. @2 t% J- hhttp://zh.wikipedia.org/wiki/0.999%E2%80%A6
5 ]# Q+ p$ f( { r溫馨提示：前半部分大家都知道了，重點在后半部分。
' R6 U( \% u( [! f& t0 x3 N# _凡事琢磨的太清楚也不好，難得糊涂，洗洗睡吧。
作者: 2388843618 時間: 2012-9-20 21:46
張鼎 發表于 2012-9-13 12:17 # l- w9 g) r! \" a7 L
是，是，否。
同感！: d. d; M. ?# J' g2 |
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