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標題: 證明0.9999999....=1 [打印本頁]
作者: 冷水黃金    時間: 2012-8-23 23:36
標題: 證明0.9999999....=1
[attach]258654[/attach]
作者: 林の屋    時間: 2012-8-24 00:07
精彩......!!!
作者: robaiming    時間: 2012-8-24 00:31
額。。。。。
% S' R" U4 f3 [3 k如果你去買菜，賣菜的都會怕你
作者: wawaadd    時間: 2012-8-24 03:27
只能說極限等于1吧，不知道乘法是否有從理論上嚴格地擴充定義到無限小數的情況，如果沒有，第一步到第二步就是不成立的
作者: xiaoshxin    時間: 2012-8-24 06:48
0.999999999=0.333333333+0.333333333+0.333333333% g2 Y& E. U( Y( F) j& C5 |4 |
0.999999999=1/3+1/3+1/3/ V; h+ o  W; E$ o/ \* h
0.999999999=1# k, _+ o! B: Z) O. ^+ }
證明完畢
作者: 原諒我今天    時間: 2012-8-24 06:59
這個以前數學老師給我們講過，它確實就是相等的。要不然，誰能證明1比0.99999999...大？大多少？
作者: 無冕游俠    時間: 2012-8-24 08:28
等式之所以成立，錯在第四步
作者: waiwai0809    時間: 2012-8-24 08:51
有才
8 Z+ K4 @: N2 Z, X& {
作者: 一碗湯wh    時間: 2012-8-24 09:02
10a=9+a，，，
作者: charles006    時間: 2012-8-24 09:05
第四步錯了：10a=9+a-0.000000000.....9
作者: 悠悠南山    時間: 2012-8-24 10:25
偷換概念，呵呵！
作者: 天天工作室    時間: 2012-8-24 10:25
樓主你真能忽悠啊。
作者: 旋子    時間: 2012-8-26 20:49
哈，有意思！！
作者: 木子亻    時間: 2012-8-27 09:27
差不多精神
作者: 風之舞-蛋炒飯    時間: 2012-8-27 09:43
天才
作者: 楊鋮皓    時間: 2012-8-27 09:49
誰讓這小數無限循環起來的呢？
作者: 楊鋮皓    時間: 2012-8-27 17:28
1/3是約等于0.333333333333.......吧？？？
作者: Twiney123    時間: 2012-8-28 23:01
   樓主精彩！
作者: william78    時間: 2012-8-30 16:58
10a＝9＋a，我愚笨，不明白
作者: Top璀璨    時間: 2012-9-2 17:48
太給力了，這算術
作者: liang271887922    時間: 2012-9-4 20:30
有意思，結論是正確的，但感覺證明過程不嚴謹，好像有問題，讓人不放心！
作者: 是成功    時間: 2012-9-5 14:23
等式成立，參見維基百科。
0 O3 i! \- S2 @) K; k
: Z% u" o0 Q- e" Chttp://zh.wikipedia.org/wiki/0.999%E2%80%A6
( G: b: E& n/ i, {. F# A# W1 w
  [* }  P3 m* b. {) Z* B4 G4 y" \' r7 {
作者: zc812163754    時間: 2012-9-9 10:44
精彩~
作者: 雪豹LZW    時間: 2012-9-11 08:11
第四步的a和第一步的a數學意義是不一樣的。所以第四步的等式不成立
作者: 給我二兩面    時間: 2012-9-11 10:42
10乘以a的意思是，10從a的最后一位乘起，但我們找不到a的最后一位，所以等式是不成立的。所以，要用加法。五樓才是正解。
作者: 帥的離譜    時間: 2012-9-11 18:57
0.9999。。=0.111。。*9=1/9*9=1
作者: zhelongchen    時間: 2012-10-20 00:02
犀利！
作者: huhaofei    時間: 2012-10-20 09:14
這證明也成立？騙子橫行
作者: gushuaiqi17    時間: 2012-10-20 11:47
標題: 我也可以證明
如圖所示' j% ]7 o1 ]0 _" ?
作者: frazil    時間: 2012-10-22 11:27
可以看看北京大學一個博士論文，關于上帝的存在性的，主要從極限方面進行論述的，名字記不清了，看完之后你會覺得很有意思。
6 s. l9 R9 K: f在博士論文庫里面搜索上帝，應該可以找到。就是利用無限大圓和直線的關系來闡述的。: u2 e# l, d/ R
作者: 老四123    時間: 2012-11-10 15:52
小學時看過
作者: vooha    時間: 2012-11-10 16:24
第三到第四的時候，那個已經不是原來的那個了，雖然他很想那個，所以不能簡單的就出來第四步，要付出代價的
作者: vooha    時間: 2012-11-10 16:26
本帖最后由 vooha 于 2012-11-10 16:35 編輯 $ X) W* d3 W) B

! L, ~* p0 C% p- o# R第三到第四的時候，那個已經不是原來的那個了，雖然他很想那個，所以不能簡單的就出來第四步，要付出代價的
4 ~& w+ v3 g0 {/ h* g/ [: o# _* {7 f) O! R
1和0.99999....如果相等的話，那么他們的差應該是0，但顯然他們的差肯定大于0,所以不相等
6 D! J, h; G$ y) z7 L1 F* B; Z
作者: 方圖    時間: 2012-11-16 21:31
咱們別整極限等數學概念吧， 應該還是有區別的吧， ! {: e0 C" w# l4 }' v
0.9999... 就像“發展中國家”， 像是個動態概念？  W* |1 z8 z8 d5 N
1 就是發達國家了  4 Y% C' }5 z; r- {. }* \% ?: {

0 z2 M1 I/ H7 c: w: @$ i$ h4 I古語云，失之毫厘，差之千里！* M8 P, ]/ n! g/ i9 ]5 J
作者: 胡胡胡胡    時間: 2013-1-15 13:37
3*(1/3)haha
作者: kongping    時間: 2013-1-15 14:27
樓主的證明本身是正確的。' C# D4 J% Q( U1 Y9 i+ w: K
0.9999999...是無限循環小數，這個無限循環小數就等于1。
" p, N" Y0 [. |' m只是一看到0.9999999...，就感覺這個數接近1但不等于1。這個感覺就不對。" f0 S, t. Y4 g# R3 ~
作者: liang271887922    時間: 2013-1-16 19:43
本帖最后由 liang271887922 于 2013-1-16 19:48 編輯
" S  I- V6 c: P' D5 m1 e1 N9 P6 ?, I
  好好研究一下再發表7 A8 d9 W5 u  j3 f0 h
作者: 秋高麥子    時間: 2013-1-25 11:46
不讀大學真可怕，什么叫極限，什么叫無限接近，什么叫接近
作者: sunlight_1988    時間: 2013-1-25 12:04
哈哈！
作者: ★知足常樂★    時間: 2013-7-10 17:08
公說公有理婆說婆有理   這不是一般人討論的話題  弄點正事吧
作者: zxjcxx    時間: 2013-7-11 10:05
0.9999999是理性，只有人類具備這種能力；
" T! V( S& C7 Q; x+ V1是感性，動植物也可能具備這種能力。# q. I) Y9 {; {7 q
但人類很難將理性和感性和諧地統一為一體，這是人類痛苦的根源。
作者: zxjcxx    時間: 2013-7-11 10:07
理性，是在時間維度上的無限操作。
作者: Ghostbeing    時間: 2013-7-26 09:59
精彩你妹啊！$ G/ z7 t8 {; A
樓主你把a帶進去的時候就默認0.9999999+一個無窮小量。。。。! l3 w1 c$ ]* O, }5 S5 z& b  n
你學的啥高數啊。。。。。
作者: landxie    時間: 2013-8-10 18:50
從實數的角度來看, 0.999999...=1, 實數可以從數列極限的角度來定義數； 但是爭執的點在于, 如果從有理數的角度來看, 我們該如何定義0.99999....., 因為有理數的定義是 a/b, a和b都是整數. 我所學的有理數概念并沒有整合無限這個概念. 所以這也是為什么有些人覺得0.9999...不等于1, 這個爭執在于定義
作者: 1032220424    時間: 2013-8-11 17:35
還真沒看出錯誤來9 A2 m6 N: N4 N
作者: 狂飆的蝸牛Ky    時間: 2013-10-11 16:17
10a=9+a？ 這是什么推理？
作者: 旋子    時間: 2013-10-11 16:51
無限接近于1
作者: 茉莉素馨    時間: 2013-10-23 10:02
實數域對加法和乘法都是封閉的，這么做是沒有問題的
' z# I3 k. n2 ]; f# p" M+ e. f( [根據極限的定義，任意給定一個數ε>0，總是存在一個N，N=1/ε，4 A3 f$ V1 f+ `
當有，n>N+1后，|1 - 0.999999...|<ε
" u% T; s( e# {所以，0.9999... 的極限就是12 j& K5 E9 g3 d2 y9 I  a# Y1 i: Z# L
數學分析里面寫的很清楚
作者: 阿俊-Hansen    時間: 2013-10-24 21:29
等式在第二部就不成立了
作者: wzdybyqhtt    時間: 2013-12-25 23:15
[b]1=1/3乘以3=0.3333333........乘以3 =0.999999.......
作者: 中等公差belee    時間: 2013-12-26 11:13
哈哈厲害
作者: crylament    時間: 2013-12-27 15:45
林の屋 發表于 2012-8-24 00:07 1 J% S# j, `& y' E; G. W5 L
精彩......!!!

& [; T+ g9 G7 o5 s* ?' ~! Z; a: o精彩個P，它論證的有問題，上面a=0.9999。。。
! |) `/ [' x$ s4 V2 ~$ |5 A. F# k" ?下面a=1，什么東西啊。。。。。。。。。。。。。。。拍馬屁。  ^0 P/ _7 z) t: [6 ]0 b

6 e& X0 H" o/ E9 @) O3 [" f1/3=0.3333333333。。。。。。
$ u1 w) n' d* z1 s/ e3*1/3=0.3333333。。。。。*3=0.9999999999。。。。。
$ }9 u, w; O8 F2 \% ]4 ?8 L4 |; d3*1/3=1/3+1/3+1/3=1
4 i$ h! J, \7 ]( U0.999999。。。=1; p2 k; o' s+ p5 f2 V7 f2 F
作者: crazypeanut    時間: 2013-12-27 17:01
這個問題，回過頭來再看，應該這么解決
0 D) i2 ~( i2 z1 M6 C: v; E
/ _' C4 h8 e- ^4 \0.9999.......在平時我們常用的微積分中（稱為標準分析，建立在實數集基礎上），是一個柯西序列，他是收斂到1的，所以可以認為0.9999......=1* H6 ]/ X) k! N7 S# D- X& d

1 Y" `# N; C/ G4 x: D. Z$ Y% q6 R8 X但是，還有種非標準分析，他是建立在擴充的實數集上的，所謂擴充實數集，就是把無窮大，無窮小，也作為一個實數，加入到標準的實數集中。這種情況下，0.9999......無法收斂到1，他和1差一個無窮小
  W1 g3 C2 @5 P! d. N
" E; k$ [8 Q; M1 ^* V所以，現代數學就是這樣，一個命題成立不成立，你得看他在哪個框架下，很多命題，在一個框架下是成立的，在另一個框架下就不成立了。比如1+1=3，在勒貝格測度下，是錯誤的（平時我們做的加法，乘法，就是在勒貝格測度下），想使1+1=3成立，而且不引起邏輯錯誤和矛盾，你只要自行定義新的測度即可。
作者: qq5655980    時間: 2013-12-27 20:02
提示: 作者被禁止或刪除 內容自動屏蔽
作者: suyingyyy    時間: 2014-1-14 00:23
第三部就錯了   10*a  最末尾怎么也是0   和10+a差那么一點點
作者: 軒轅相濡    時間: 2014-2-12 20:42
第一步到第二部 你確定可以乘？
作者: 軒轅相濡    時間: 2014-2-12 20:43
1/3+2/3=1
作者: 胡工hugong    時間: 2014-3-5 16:06
牛啊" C  P/ [  b8 j7 J
作者: 世界第一等の    時間: 2014-3-12 14:56
0.11111...=1/9  i6 v1 W/ p% W
0.22222...=2/9: A6 V: h9 s$ Q, H
0.33333...=3/99 o9 [* Y0 ^/ T7 H  [- Z6 k
.
! L3 C, \" w) E: F9 e.  }- ~+ r' ~, g: [: x- R! H
.
* I0 [1 R- v% V7 q, {9 H0.99999...=9/9=1
作者: xi315    時間: 2014-3-13 10:27
我覺得第二個等號就已經有問題了，一個無窮的數 x 10是沒法運算的，不是簡單的移個小數點就算乘以10了。
作者: 千門萬戶    時間: 2014-4-26 00:39
0.9999....=0.3333....*3=(1\3)*3=1
作者: qzeng52    時間: 2014-4-27 18:40
第二步絕對有問題
作者: fuhuafeng72    時間: 2014-4-28 21:58
有意思
作者: 陸qq1    時間: 2014-5-15 08:17
混淆公式啊，這是
作者: panycbob    時間: 2014-5-16 09:00
提示: 作者被禁止或刪除 內容自動屏蔽
作者: syxgale    時間: 2014-5-16 09:24
我也覺得證明過程有點問題，無限循環參與計算不能不考慮誤差啊
作者: 麻神machine    時間: 2014-5-17 19:42
極限的情況這種算法不成立的
作者: 光111光    時間: 2014-5-21 14:07
數學知識還給老師了，給個準確的答案吧
作者: huangzhenbao    時間: 2015-2-4 15:15
等式之所以成立，錯在第四步
3 M4 N$ V9 X4 C$ Y
作者: 袁光金    時間: 2015-2-5 09:29
9a=9是怎么做到的。前面一直用a做加法，后面直接就9a做乘法合適嗎？
作者: wq27265390    時間: 2015-2-6 14:27
好強大
作者: Pascal    時間: 2015-2-6 15:25
袁光金 發表于 2015-2-5 09:29
) I+ e6 F8 F5 z8 w9a=9是怎么做到的。前面一直用a做加法，后面直接就9a做乘法合適嗎？
5 d1 `9 w2 B$ i# B5 e
可參考下這個帖子/ N- T. J! e. @2 v7 Z( F' e* n
http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=360758&extra=&page=1
作者: 刀切面    時間: 2015-2-9 06:42
標題: RE: 證明0.9999999....=1
xiaoshxin 發表于 2012-8-24 06:48
2 D; g( \& ^& y3 Z; o/ |* h+ a0.999999999=0.333333333+0.333333333+0.333333333! B7 F4 v7 J- \! J* a( D' H  [
0.999999999=1/3+1/3+1/3
0 l& j* y5 A) |( c8 K# C8 e0.999999999=1
0 r  w/ h6 J* i
好神奇
作者: dxx347    時間: 2015-2-9 11:32
0.99999......=3*0.3333333.....=3*（1/3）=1
作者: 陳小困    時間: 2015-5-22 16:40
逗  
作者: 颶天使    時間: 2015-12-29 16:19
一種混淆概念的方法
作者: cosxuan    時間: 2015-12-29 16:51
這個極限可以寫成1-1/（10^n）
作者: boa65432    時間: 2015-12-29 19:58
10a no 等于 9+a
作者: ustb_anays    時間: 2015-12-31 20:58
根本不用證明 我說兩者相等 有誰不服 可以給我找出介于1和0.9999...之間的數 哈哈  找不到吧
作者: cuiwu    時間: 2018-12-12 14:43
無冕游俠 發表于 2012-8-24 08:28
, {8 d) l# z  }* W. T等式之所以成立，錯在第四步

. C: W) k2 h$ }3 ], J/ g同意7 F+ n+ }# p/ i5 ]( H2 J) s

/ W% e' g, i+ y) ]0 L; U
作者: move3309    時間: 2021-5-20 16:38
第四步不對，所以推導不成立
作者: Kai_CC    時間: 2021-5-21 02:08
啊。。。這個都成月經問題了，各個論壇上都會吵一遍/幾遍。。我也吵過幾次，淡定了一些，既然壇子里的兄弟們感興趣我也就說說我的看法。: j5 f; S9 }7 `( K
有人說這個題是能看出人學沒學過高數的分水嶺，其實不然。這其實只關于對于極限思想的理解而已。。. X8 C$ Z, {5 I2 e# L

+ _! W7 G/ S; h2 ?! x其實0.999...999是嚴格=1的。
- H( K2 K9 Z" a+ p: M& u( k$ ?: z9 O5 `% \( y
一個簡單的證明：
4 F/ O  ?9 U% e1 M
# j; p5 n3 d8 z3 J【定理】在任意兩個不同的有理數之間必定存在著無窮多個有理數。7 v7 ~; U) t) S! n1 V& ?7 Y
3 d' f* c% f7 C
先證定理：a和b兩有理數，如果a!=b,那么一定存在n個c,c=m*(b-a)/n+a, m定義域（0，n)
! B2 k& r/ E2 r5 e, a+ f0 R. c6 G+ \( R: @% l1 r1 {
顯而易見吧？意思就是它們之間的小區間可以無限再分，從而構成無窮多新的有理數。- ?5 T, p+ w: r% ?4 r
+ ]" R) J  p) L( ?3 b* \2 w
回到題目：0.999...999和1是不是不同？
& [8 g1 Z7 x( C4 M0 m" l! B; f& Y
+ N% e1 G5 e6 Q! j6 a/ I反證法，假設不同： 那么一定存在a,使a=（1+0.999...999）/27 ^' W: P$ v8 O8 o; Y/ }
$ R7 M) g; E; |3 _
這個數是什么呢？那一定是有一個小數，比0.999...999擁有更多的9. 那是不是表示，這個新的數就應該是你之前的那個數？
+ E* H9 N; h) h  m+ f" d5 ~6 z" ^2 h$ \0 O/ y
所以說明了什么？要么存在一個新數取代了原來的數，要么兩數相等。如果新數取代了原來的數，證明你的9還不夠多。
" r2 H' o( H" C  Y! ~: \! h5 x$ t1 y. J
所以，0.999...999和1只能相等，證畢
  v  B* W; x' i2 G( ~4 y5 G: c+ M6 Z+ }& P

& j9 O- Q) g4 h$ K+ ^" J, g更簡單的證明方式也有, 壇子里不少大俠也說過了：
' E0 z. Q. O$ y; l. G# G1/3=0.33..33， 這個居然還有人質疑？小數（或者說根本不存在小數）和分數是一一對應的，或者說根本就是相等的，這個也不需要質疑的好吧？后面就不證了，有想杠一下的再說。. w6 I6 [7 l1 f. U

$ N' `) }! y7 t+ N- D再細說一下第三種。
' R5 P3 r# u. z1 K3 O1 B0.999...999*10=9.999...999
3 D  W5 \5 G4 g! r. ], Z4 e這個式子成不成立？顯然成立。但是是不是有一種右邊小數點少一個9的感覺？為什么？
; u/ _: R% N! r: ~- {, D! |伽利略悖論有一句話：正偶數和自然數一樣多。
, |. \2 h& Z8 |9 L解讀過來，在無窮的層面上，每一個自然數都和他的2倍一一對應，有n個自然數，就有n個正偶數。
0 e$ z- s* p# s! c（多提一句：上例可以一一對應，但涉及無理數和實數則不行，實數對于有理數屬于高階包含，不存在映射關系了）8 a; i- E8 P4 [
同理，每一個左邊的9，都與右邊的等位的9(其實是前一個)一一對應，相當于編程里的n=n+1,沒問題吧？9 Z+ }3 I# h0 g! T0 c
因為是循環小數，數位后是n位，在無限的概念下，n和n+1沒有區別。這一點可能不太好理解，但如果你理解了上面的伽利略悖論，就很好懂了。
7 E/ a, d0 `1 F+ E; S# M2 g1 @+ J+ {. Y$ d" s
另外說什么無限小數不能計算的，純屬扯淡。無限小數是位數不限，不是大小不限。再無限的小數，他的值也是有限的，不能混淆他和無窮大之間的區別。7 E! c2 ?8 |7 r* I

" Z; W/ r$ {' `, ~. n大家都是工程師，感覺理解能力和接受能力應該高于各門戶網站的網友群體吧。有問題或者不同意見，歡迎交流。
- M8 y. B# g% e) Q' v1 s. ~( o' E
作者: 新手駕駛    時間: 2021-5-21 19:15
c=0.999...2 O' Y- |1 \0 o. j$ x; Q; r5 F
10c=9.999...% w  a; _* U; r6 r
10c-c=9.999...-0.999..." d0 ^# t; P0 N  t5 B7 @1 z1 v7 j
9c=9* j. H. v0 [" @( f* `* t; d
c=1; n) _- Q1 l. B/ j2 v9 r6 E
/ Z9 [5 _! A* L& V: Z" ?
作者: 喝酒不吃肉    時間: 2021-5-22 14:42
第四步代換不對，不滿足一元一次不等式要求，等號左右未知數必須同時替換
作者: majingfeng    時間: 2021-5-23 08:37
吃飽撐的 不務正業的東西
作者: m2006410    時間: 2021-5-24 06:04
本帖最后由 m2006410 于 2021-5-24 10:39 編輯 8 t. P2 T+ t+ {8 V8 q# R
; h' l6 p3 j( J% F. v3 [: \
這個厲害了
作者: 指天為地    時間: 2021-5-24 08:48
雖然你證明了0.999999....=1，但是P夕夕還是不會給你體現的！% h2 K4 f2 A8 C; O) G
作者: m2006410    時間: 2021-5-24 09:51
本帖最后由 m2006410 于 2021-5-24 10:38 編輯 ! K% w+ V$ D9 X' i

3 |/ g) ~: p0 S7 h( v# G# B4 m. I% G這個厲害的
作者: 陳浩南98    時間: 2021-5-24 11:24
微乎其微，忽略
作者: 未來第一站    時間: 2021-5-24 23:33
作者: 鳳笙龍笛    時間: 2021-5-25 06:46
搞機械的都成數學家了
作者: 總點外賣先生    時間: 2021-5-25 11:46
優秀
作者: 一尾錦鯉    時間: 2021-5-25 14:34
請先證明9a＝9
作者: babty    時間: 2021-5-26 08:43
wawaadd 發表于 2012-8-24 03:27- Z" X5 Z* G/ h0 M( \& v
只能說極限等于1吧，不知道乘法是否有從理論上嚴格地擴充定義到無限小數的情況，如果沒有，第一步到第二步 ...
1 H5 u; A: ]8 j! x3 G' g3 Y. L6 l5 g
+1/ q! y+ s: u1 o/ ]7 k* o. F
作者: oceantomas    時間: 2021-5-27 10:37
不知道對不對，畢竟曾經學的是數學分析
作者: jxzdh1002    時間: 2022-11-16 10:22
讓我想起了宋小寶的小品，吃完湯面不給錢。因為湯面是用炒面換的
; Y% R$ f% S* I* T& {% F; W/ a0 W
作者: 老魚DH    時間: 2022-11-19 17:59
咕咕咕，要有光
作者: 平凡yjr    時間: 2022-12-6 07:56
xiaoshxin 發表于 2012-8-24 06:48$ E0 R' b; V* s% m$ h; p
0.999999999=0.333333333+0.333333333+0.3333333334 b1 i$ e0 H* a5 b6 p
0.999999999=1/3+1/3+1/3
" k, x/ @: D7 B8 F1 o0.999999999=1
) a( A* i$ o5 i& h! j" F5 `9 B

% D3 ~' U+ W& C3 ^
作者: 藏鋒聚氣    時間: 2022-12-19 11:19
1:我怎么少了一點？我想想，少了哪一點？
* \, }. B- h( ~( U" K嗯！少了一點腦子
作者: 武漢老虎    時間: 2022-12-20 09:27
模糊的人可以



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